2023北京東城高三（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

2023北京東城高三（上）期末

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合4=｛川-1<%<2｝,5=,則()

A.(-oo,2)B.(-l,+oo)C.(一1,1]D.[1,2)

2.在下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是()

A/(x)=x-cosxB./(x)=xcosx

c./(x)=ln|x|D,/(%)=Vx

3.在(x+'l的展開(kāi)式中，若第3項(xiàng)的系數(shù)為10,則〃=()

A4B.5C.6D.7

4.在等比數(shù)列｛?！埃校?1,a2a3=8，則%=()

A8B.16C.32D.64

5.北京中軸線是世界城市建設(shè)歷史上最杰出的城市設(shè)計(jì)范例之一.其中鐘鼓樓、萬(wàn)寧橋、景山、故宮、端

門(mén)、天安門(mén)、外金水橋、天安門(mén)廣場(chǎng)及建筑群、正陽(yáng)門(mén)、中軸線南段道路遺存、永定門(mén)，依次是自北向南

位列軸線中央相鄰的11個(gè)重要建筑及遺存.某同學(xué)欲從這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)游

覽，則選取的3個(gè)中一定有故宮的概率為（）

6.在平面直角坐標(biāo)系X?！抵?，角a以O(shè)x為始邊，終邊位于第一象限，且與單位圓。交于點(diǎn)P,

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軸，垂足為若一OMP的面積為色，則sin2a=（）

25

6八12〃18.24

A.—B.—C.—D.—

25252525

22

VV

7.已知雙曲線。：三一3=1e>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E，F(xiàn)2,其漸近線方程為>=±2%，P

是。上一點(diǎn)，且尸6，尸鳥(niǎo).若△尸月鳥(niǎo)的面積為4,則C的焦距為（）

A.V3B.26C.2#>D.475

8.在..ABC中，”對(duì)于任意|氏4一加4>,4”是"./8。為直角三角形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.在平面直角坐標(biāo)系X。》中，若點(diǎn)P（。⑼在直線以+處+4。+3=0上，則當(dāng)。，人變化時(shí)，直線OP

的斜率的取值范圍是（）

B.

_V|V5

D.

10.如圖，在正方體A6CO-中，點(diǎn)。是棱。。上的動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法中正確的是（）

①存在點(diǎn)。，使得CQ//A。；

②存在點(diǎn)。，使得GQ_LAC；

③對(duì)于任意點(diǎn)Q,。到4。的距離為定值；

④對(duì)于任意點(diǎn)Q,△ACQ都不是銳角三角形.

A.①③B.②③C.②④D.③④

第二部分（非選擇題共no分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若復(fù)數(shù)z滿足（z+i）i=-3,則忖=.

第2頁(yè)供22頁(yè)

12.已知函數(shù)〃x)=6sinx-cosx,貝"!Jb；若將/⑺的圖象向左平行移動(dòng)孑個(gè)單位長(zhǎng)度得

到g(x)的圖象，則g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為.

13.經(jīng)過(guò)拋物線丁=2px(p>0)焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的

直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)。，則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)力的大小關(guān)系為為如.(填

或

"21

14.設(shè)函數(shù)/(力=1,當(dāng)“=()時(shí)，"X)的值域?yàn)開(kāi)_____；若/X的最小值為1,則a

\x-a-]\,x<a

的取值范圍是.

15.對(duì)于數(shù)列｛%｝,令%+…+(—1)&見(jiàn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若冊(cè)=n，則T2023=1012；

②若Tn=n,則。2022=-1；

③存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列｛為｝,使得因>對(duì)任意的neN*都成立；

④若對(duì)任意的〃wN*,都有圜<“，則有

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

16.如圖，在銳角ABC中，B=~,AB=3娓,AC=6,點(diǎn)。在8C邊的延長(zhǎng)線上，且CD=10.

4

(1)求NAC8；

(2)求.ACO的周長(zhǎng).

17.如圖，在四棱僚P—ABC。中，底面A8CO是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=2,PA1AB,E為BC

的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD上一點(diǎn)、,EF//平面PA8.

第3頁(yè)供22頁(yè)

(1)求證：E為PO的中點(diǎn)；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求直線AD與平面AE尸所成角的正弦值.

條件①：ADLPB；

條件②：PC=2?

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.“雙減”政策執(zhí)行以來(lái)，中學(xué)生有更多的時(shí)間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動(dòng).某校為了解學(xué)生課

后活動(dòng)的情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)選取100人，統(tǒng)計(jì)了他們一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間(單位：小時(shí))，分

別位于區(qū)間[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19],用頻率分布直方圖表示如下，假設(shè)

用頻率估計(jì)概率，且每個(gè)學(xué)生參加課后活動(dòng)的時(shí)間相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間[13,17)的概率;

(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記歲表示這3人一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間[15,17)的人數(shù)，求J

的分布列和數(shù)學(xué)期望磯4)；

(3)設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動(dòng)的時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的估計(jì)值分別為。，b,c,請(qǐng)直接寫(xiě)

出這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.(樣本中同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代)

19.已知橢圓C：二+與=1(a>8>0)離心率為且，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為6,月,工分別

a~b~2

為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

(1)求橢圓。的方程；

(2)設(shè)p為橢圓。上一點(diǎn),拉(1,0).若|「耳|,41PM,|尸閶成等差數(shù)列,求實(shí)數(shù)2的范圍.

20.已知函數(shù)f(x)=xe”.

(1)求曲線y=在點(diǎn)(0,/⑼)處的切線方程；

(2)求的極值；

⑶證明：當(dāng)〃>1時(shí)，曲線C|：y=/(x)與曲線C2：y=欣+8+加至多存在一個(gè)交點(diǎn).

21.已知數(shù)列A：%,%滿足：a,6{0,1}(i=l,2....n,n>2),從A中選取第4項(xiàng)、

第4項(xiàng)....第)項(xiàng)(&<4<<<?<m>2)稱(chēng)數(shù)列4,”>???>4”為A的長(zhǎng)度為機(jī)的子列.記

第4頁(yè)供22頁(yè)

T(A)為A所有子列的個(gè)數(shù).例如A：0,0,1,其T(A)=3.

(1)設(shè)數(shù)列A：1,1,0,0,寫(xiě)出A的長(zhǎng)度為3的全部子列，并求T(4)；

(2)設(shè)數(shù)列A：%,a2,an,4：an,.......q,A"：l-a1,l-a2,\-an,判斷

T(A),T(A),T(A")的大小，并說(shuō)明理由；

(3)對(duì)于給定的正整數(shù)〃，k(l<k<n-l),若數(shù)列A：q,a2,滿足：

a1+a2+???+??=k,求T(A)的最小值.

第5頁(yè)/共22頁(yè)

參考答案

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

I.【答案】A

【解析】

【分析】直接利用并集的概念運(yùn)算即可

【詳解】因?yàn)榧?={川一1<8<2},B={x|x<l),

所以AB={x\x<2\.

故選：A.

2.【答案】C

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)/(x)=無(wú)一COSX的定義域?yàn)镽,且/(一x)=-x-cosx,所以

故函數(shù)不為偶函數(shù)；

對(duì)于B,函數(shù)〃x)=xcosx的定義域?yàn)镽,§.f(-x)=-xcosx,所以/(T)K/(X),故函數(shù)不為偶

函數(shù)；

對(duì)于C,函數(shù)〃x)=lnW的定義域?yàn)?一8,0)(0,4-00),且〃一%)=1#M，所以=故函

數(shù)為偶函數(shù)；

對(duì)于D,函數(shù)/(x)=4的定義域?yàn)椋?,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)不為偶函數(shù).

故選：C.

3.【答案】B

【解析】

【分析】直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.

【詳解】fx+-1展開(kāi)式的通項(xiàng)為人=(：：爐-211),故C="(7)=10,〃=5.

故選：B

4.【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)生生=8及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{4,}的公比為4,

第6頁(yè)供22頁(yè)

因a2a3=8，4=1,所以/=8,解得q2.

66

所以%=atq=2=64.

故選:D.

5.【答案】D

【解析】

【分析】分別求出這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)的種數(shù)和選取的3個(gè)中一定有故宮的種數(shù)，

再由古典概率代入即可得出答案.

【詳解】設(shè)11個(gè)重要建筑依次為4,笠，,&4/心,/1工/,」,,其中故宮為d,

從這11個(gè)重要建筑及遺存中隨機(jī)選取相鄰的3個(gè)有：(a,b,cMb,c,d),(c,d,e),(d,e,f),

共9種情況，

其中選取的3個(gè)中一定有故宮的有：(b,c,d),(c,d,e),(d,e,f),共3種,

所以其概率為：--

3

故選：D.

6.【答案】D

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合三角形面積列出方程，再由倍角公式求出答案.

【詳解】由三角函數(shù)的定義可知：OM=cosa,PM=sina,

故.PM=』cosasincz=色，故'sin2a=包，

2225425

解得：sin2(z=—.

25

故選：D

7.【答案】C

【解析】

h

【分析】由雙曲線C的漸近線方程為y=±2x,所以-=2.再結(jié)合題意可得到

a

|附卜附||=2〃

<|尸￡「+「入『=同"「=402=4(/+〃)，解出〃，即可求得c的焦距.

小用忖圖=4

【詳解】由題意，雙曲線C的漸近線方程為〉=±2工，所以2=2,

a

因?yàn)镻R1PF2,△尸片尸2的面積為4,

第7頁(yè)/共22頁(yè)

I附HP周=2a

所以產(chǎn)制用2=內(nèi)用2=4c2=4d+/）,解得。2=1,〃=4,

%耳卜%=4

所以。2=/+/=5,即。的焦距為2c=2后.

故選：C.

8.【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)8O=fBC，根據(jù)平面向量的運(yùn)算可得|0《〉,。卜從而可得。=^；若A8C為直角三角形,

7T

不一定有。=—,根據(jù)充分條件與必要條件的定義判斷即可.

2

【詳解】設(shè)BD=tBC，則8A-r8C=8A—8O=OA，

所以|區(qū)4—"。|>\AC\即為|。小>\AC\,

所以|AC|是邊3C上的高，即C4J.CB,即C=],

故.ABC為直角三角形.

若.ABC為直角三角形，不一定有C二5,故不一定有|瓦1一，3。|>卜4.

所以“對(duì)于任意rwl,|剛一出是"..ABC為直角三角形”的充分而不必要條件.

故選:A.

9.【答案】B

【解析】

【分析】將點(diǎn)P代入直線方程中得出點(diǎn)尸為圓上的動(dòng)點(diǎn)，

結(jié)合圖像分析即可求出直線0P的斜率的取值范圍.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線以+處+4。+3=0上，

所以。?〃+/??/?+4。+3=0，

即。2+/+4。+3=00（。+2）2+〃=1,

則尸（〃⑼表示圓心為（-2,0）,半徑為1的圓上的點(diǎn)，

如圖：

第8頁(yè)供22頁(yè)

由圖可知當(dāng)直線OP與圓相切時(shí)，直線OP的斜率得到最值，

設(shè)L:y="，

由圓與直線相切，故有圓心（-2,0）到直線的距離為半徑1,

解得：k=，

3

由圖分析得：直線。P的斜率的取值范圍是一與號(hào).

故選：B.

10.【答案】C

【解析】

【分析】建立以A為原點(diǎn)，分別以AB,AD,44,的方向?yàn)閤軸，丫軸，z軸正方向得空間直角坐標(biāo)系

A-xyz,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,運(yùn)用空間向量法逐個(gè)判斷解決即可.

【詳解】由題知，在正方體ABC。—AqG"中，點(diǎn)Q是棱。A上的動(dòng)點(diǎn)，

建立以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)椤份S，y軸，Z軸正方向得空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)

正方體邊長(zhǎng)為1.

所以A（0,0，l），C（l,l，0），C?，l，l），設(shè)。（0,1,。），其中0<aWl,

所以GQ=（T，0，aT），AC=（l，l，-l），

第9頁(yè)供22頁(yè)

當(dāng)GQ=4AC時(shí)，九無(wú)解，故①錯(cuò)誤；

當(dāng)。1。.4。=—1+0+1-4=0時(shí)，解得。=0,故②正確；

因?yàn)锳Q=（0,l，。一1），其中OWaWl，

所以。到4c的距離為

rV1..........-12L-44「

卜。『-皆［小百一也逅］,不是定值，故③錯(cuò)

2’3

誤；

因?yàn)镼C=（l,O,-a）,QA=（0,—1,1一。），其中OAaWl,

所以cos（QC,QA,）=?ef--,ol<O

所以W9兇阿?+入口+（~）2［5,J，

所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，不可能為銳角三角形，故④正確

故選：C

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算解決即可.

【詳解】由題知，（z+i）i=-3,

-3-3i

所以z=-—i=」-i=2i,

i-1

所以目=2.

故答案為：2

12.【答案】①.1②.（0,0）（答案不唯一）

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)〃x）=2sin（x—?）,代入即可求出

:由三角函數(shù)的平移變換求出g（x）,再由三角

函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的對(duì)稱(chēng)中心，即可得出答案.

【詳解】/（x）=v3sinx-cosx=2sinx---,

l6J

所以，圖=2s喑4卜,

第10頁(yè)/共22頁(yè)

將/（X）的圖象向左平行移動(dòng)g個(gè)單位長(zhǎng)度得到g（x）的圖象，

6

則=2sinIx+---I=2sinx,

所以g（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（版",0）.

故g（x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（0,0）.

故答案為：1；（0,0）（答案不唯一）.

13.【答案】=

【解析】

【分析】設(shè)人（玉,乂）,5（々,必），求出直線。4的方程，與準(zhǔn)線方程聯(lián)立可得力=-2-.設(shè)直線A3的方

X

程為加），=X—日,與拋物線方程聯(lián)立可得乂必=-。2,從而可求為與的關(guān)系，即為與力的關(guān)系.

【詳解】設(shè)4（百,%）,5（工2，%），

_M_X

V——X——z-X-_2PX

則直線。4的方程為.X,尤乂，

而

令x=y,可得％=一2.

2y

設(shè)直線AB的方程為my=x--^,

my-x--..

聯(lián)立，”2,可得曠一2〃my-p-=0,

y2=2px

所以必必=-/,即%=-2.

x

所以如=%，即為=%?

故答案為:=.

14.【答案】①.（T,+℃）;②.[&,+8）.

【解析】

【分析】當(dāng)4=0時(shí)，根據(jù)單調(diào)性分段求值域，再取并集即可求值域；討論可得。=（）與。＜0不符合題意：

當(dāng)。＞0時(shí)，”+1＞1,畫(huà)出圖象，設(shè)y=d-l與y=|x-a-l|在（1,+8）上的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為。，討論可得

時(shí)，/（x）的最小值為1,求出吃,解不等式即可求。的取值范圍.

第11頁(yè)/共22頁(yè)

,、x-l,x>0

【詳解】若4=0,則｛,,、，

|x-l|,x<0

當(dāng)X>0J(X)=f_l單調(diào)遞增,所以〃x)>〃0)=-l；

當(dāng)X40J(x)=|x-l|=l-x單調(diào)遞減,所以/(X)可(0)=1.

故/(X)的值域?yàn)?—1,+8).

當(dāng)0=0時(shí)，/(X)的值域?yàn)?-1,+00),不符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，/(%)=/一1在(。,+=0)上的最小值為-1,不符合題意；

當(dāng)。>0時(shí)，4+1〉1,

畫(huà)出y=》2-l,y=|x-1]的圖象，如圖所示：

\\|/尸

AKzL

-l\IZxoa+lx

設(shè)y=f-1與>=上一。一1|在(1,+8)上的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方,

又/(a)=|a_a_l|=l,

當(dāng)0<。</時(shí)，由圖象可得/(x)無(wú)最小值；

當(dāng)a2%時(shí)，由圖象可得/(%)有最小值=1,

由/-]=-(尤一q-l),可得/+無(wú)_2=0,

?,——]+Jl+4(a+2)

故可rZ得Bx=Y1L,

o2

所以aJ+J"/'+?),即(2a+lJNl+4(a+2),

2

化簡(jiǎn)得MN2,解得a2近.

故答案為：(-1,+8)；[及,+8).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)分段函數(shù)問(wèn)題中參數(shù)值影響變形時(shí)，往往要分類(lèi)討論，需有明確的標(biāo)準(zhǔn)、全面的考

慮；

(2)求解過(guò)程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求.

15.【答案】①②④

【解析】

第12頁(yè)/共22頁(yè)

【分析】逐項(xiàng)代入分析求解即可.

【詳解】對(duì)于①：

因?yàn)?q-。2+。3-。4+…+(-1)an'

且因?yàn)閍“=H,

所以7；=1—2+3—4+…—I)"””，

所以與023=1—2+3—4+…+2021—2022+2023=—1011+2023=1012,

故選項(xiàng)①正確；

對(duì)于②：若(=〃，則

，+l

r=q---H(-l)an=n

所以l,+|=q—。2+。3一。4'I--^(一1)""+(—1)4升|=〃+］，

所以兩式相減得(—1)24川=1,

所以(一1)2°2"%2。22=1，

所以一。2022=1，

所以〃2022=-1，

故選項(xiàng)②正確；

對(duì)于③：|北|=|。［—々2+。3-/+…+(T)""QJ，

l&J=1%-。2+。3-。4+...+(T)""a"+(T)"%"+1|,

所以若|蜀>|加I對(duì)任意的〃eN*都成立，

則有因>園>園>圜>園>聞>...>圜,

所以同>何一“』>|?!+%|>|ai+“3_%|〉W_42+。3_。4_%|>

|?1+。3-%-%+%|>…>\a\~a2+a3~ai+a5~ab+…+>|fl|~a2+%+。5一g+...+(~|,

因?yàn)楦黜?xiàng)為整數(shù)，則不等式串中絕對(duì)值只能從同越來(lái)越小，之后甚至?xí)霈F(xiàn)。大于某數(shù)絕對(duì)值的情況，例

如：1000>300>100>20>5>3>2>1>0>...,后續(xù)還會(huì)有絕對(duì)值，但是會(huì)有矛盾，故選項(xiàng)③錯(cuò)

誤；

對(duì)于④：

若對(duì)任意的“eN*，都有叫<M,

則有|a“+i.

aa

=\n+\-n+?).-1-??-l-??-2+…一〃2+4-4+q|

第13頁(yè)/共22頁(yè)

=|(可+1+a“-l一凡-2+…+4+??_2-...-?2+?|)|

-|an+l-4+一%-2+…+。2-%|+\~an-\+4-2-…-。2+%|

4&J+|%|<M+M=2M.

故選項(xiàng)④正確；

故答案為：①②④.

三、解答題共6小題，共85分?解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程.

16.【答案】(1)y;

(2)30.

【解析】

【分析】(1)在ABC中，利用正弦定理即可求解；

2兀

(2)由(1)可求得NACQ=—,在;ACO中，利用余弦定理可求C。，從而可求..ACO的周長(zhǎng).

3

【小問(wèn)1詳解】

在.ABC中，B=~,AB=3瓜，AC=6,

ABsin8_曰三_且，

由正弦定理可得

sinZACBsinBAC—一6~~

TT

因?yàn)锳BC是銳角三角形，所以ZACB^-.

【小問(wèn)2詳解】

TTZjr

由（1）得NACB=^,所以NACO=」

在，ACO中，AC=6,CD=10,ZACD=—

3

所以AD=VAC2+CD2-2AC-CD-cosZACD=）62+102-2x6xl0xf-1=14.

所以ACO的周長(zhǎng)為6+10+14=3().

17.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

叫.

【解析】

【分析】(1)取AO的中點(diǎn)M,可證明平面EFM〃平面PA8,故MF〃平面，從而可證明MF〃PA,

可得F為P。的中點(diǎn)；

第14頁(yè)/共22頁(yè)

（2）選擇條件①，可得PA,AB,AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A8,AO,AP為X,y,z軸建立空間

直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求直線與平面所成角的正弦值；

選擇條件②，利用勾股定理的逆定理可得AO_LPB,可得PA,AB,A。兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分

別以AB,AD,AP為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求直線與平面所成角的正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

取AD的中點(diǎn)易知EM/IAB.

因?yàn)镋M仁平面PAB,ABu平面PAB，所以EM〃平面PAB.

因?yàn)楹?//平面PA8,EMcEF=E,EM,EFu平面EFM,

所以平面EFM〃平面PA6.

因?yàn)镸bu平面EFM,所以MFII平面EFM.

因?yàn)镸Eu平面PAO,且平面PAO平面PAB=PA,所以MF//PA.

因?yàn)椤盀榈闹悬c(diǎn)，所以『為PQ的中點(diǎn).

【小問(wèn)2詳解】

選擇條件①：AD1PB,

因?yàn)榈酌鍭BC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以AO1A8.

因?yàn)镻8|=平面PAB,所以AO,平面PAB.

因?yàn)镻Au平面尸A8,所以AD，PA.

因?yàn)镻A_LA3,所以PAAB,A。兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以48,40,4P為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

第15頁(yè)/共22頁(yè)

則A（0,0,0）,￡＞（0,2,0）,E（2,1,0）,尸（0,1,1）,

所以AO=（0,2,0）,AE=（2,1,0）,Ab=（0,1,1）,

設(shè)平面AEF的法向量為〃=（x,y,z）,

n?AE=2x+y=0

則《令尤=1,得〃1,2,2,

n-AF=y+z=0

設(shè)直線AD與平面AEF所成角為。,

/\ADn42

則sin0=cos(AD.n)=---—=----=—.

'/AD^nn2x33

2

故直線AD與平面AEF所成角的正弦值為y.

選擇條件②：PC=2百，

因?yàn)镻A_LA8,PA=AB=2,所以PB==20?

因?yàn)镻C=2百，BC=2,所以PC?=BC?+PB?,

所以BCLPB,即A￡)_LP3.

因?yàn)榈酌鍭BC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以AO1AB.

因?yàn)镻BC\AB^B,PB,ABu平面PAB,所以A。，平面PAB.

因?yàn)镻Au平面PAB,所以A。，PA.

因?yàn)镻4_LA5,所以PA,AB,AO兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以4氏4。,4尸為羽％2軸建立空間直角坐標(biāo)系,

第16頁(yè)/共22頁(yè)

則A（0,0,0）,D（0,2,0）,E（2,l,0）,F（0,l,l）,

所以4力=（0,2,0）,=（2,1,0）,4戶=（0,1,1）,

設(shè)平面AEF的法向量為〃=（x,y,z）,

n-AE=2x+y=0

則1，令x=l,得〃1,2,2,

n-AF=y+z=0

設(shè)直線AD與平面AEF所成角為。，

/、ADn42

則sin0=cos(AD,n)=-----rr—=-----=—.

'/A3〃2x33

2

故直線AD與平面AEF所成角的正弦值為--

18.【答案】(1)0.65

(2)答案見(jiàn)解析(3)c<b〈a

【解析】

【分析】(1)直接計(jì)算得到答案.

(2)概率Pi=0.200x2=0.4,J的可能取值為0,1,2,3,計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答

案.

(3)根據(jù)公式計(jì)算眾數(shù)，平均數(shù)和中位數(shù)，再比較大小即可.

【小問(wèn)1詳解】

參加課后活動(dòng)的時(shí)間位于區(qū)間［13,17)的概率〃=(0.125+0.200)x2=0.65.

【小問(wèn)2詳解】

活動(dòng)的時(shí)間在區(qū)間［15,17)的概率p|=0.200x2=0.4,

。的可能取值為0,1,2,3,

p(^=0)=(l-0.4)3=0.216,p偌=1)=C；?0.4x(1-0.4)2=0.432,

第17頁(yè)/共22頁(yè)

p楂=2)=C]0.42x(l-0.4)=0.288,=3)=O.43=0.064.

故分布列為：

0123

P0.2160.4320.2880.064

￡,(^)=0x0.216+1x0.432+2x0.288+3x0.064=1.2

【小問(wèn)3詳解】

眾數(shù)為：a=16；

(0.025+0.050+0.075)x2=0.3<0.5,

(0.025+0.050+0.075+0.125)x2=0.55>0.5,

則僅一13)x0.125=0.5-0.3=0.2,6=14.6；

c=8x0.025x2+10x0.050x2+12x0.075x2+14x0.125x2+16x0.200x2

+18x0.025x2=14,

故c<b<a

19.【答案】（1）—+/=1

4

-2-

（2）A€—,V6

_3_

【解析】

【分析】（1）由離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和列出方程組求解即可；

22^2=

（2）由等差關(guān)系推導(dǎo)出a=進(jìn)而化簡(jiǎn)為h^_4j+：1’結(jié)合橢圓有界性可求出范圍.

3

【小問(wèn)1詳解】

c_V3

a-Vfa2=4

由題意〈2,22??1,

c-+b2^a2[/=]

2b+2a=6

2

=1,

4

r2

故橢圓C的方程為上+y2=i.

4

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)P（x,y）,xe[—2,2]

第18頁(yè)/共22頁(yè)

尸耳I，41PMi,歸國(guó)成等差數(shù)列

:.2X\PM\=\PF^+\PF2\=2a=4

.?-2_22

20.【答案】(1)x-y=0

(2)極小值為-2,無(wú)極大值；

e

(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，得到了'(O)=e°=l,并得到/(。)=0,從而寫(xiě)出曲線的切線方程；

(2)求導(dǎo)后得到x>—l時(shí)，fx0,當(dāng)x<—1時(shí)，尸(“<0,從而得到函數(shù)單調(diào)性，求出/(x)的極

小值為-1，無(wú)極大值；

e

⑶令g(x)=xe"-l聯(lián)一》一相，求出定義域和導(dǎo)數(shù)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)變形得到g'(x)=(x+l)(e*T，令

If1A1

〃(x)=e'-一，得到其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理得到h-,1,即e&=一,此時(shí)g(x)取得極

x12J冗o

小值g(x())=l-m,從而得到當(dāng)機(jī)1時(shí)，曲線C|：y=/(x)與曲線。2：y=lnx+x+/n至多存在一個(gè)

交點(diǎn).

【小問(wèn)1詳解】

"0)=0，

/(x)=(x+l)ex,則//(0)=e°=1,

故曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為：y=x,即x—y=0；

【小問(wèn)2詳解】

//(x)=(x+l)ev,當(dāng)x〉-l時(shí)，/x0,

第19頁(yè)/共22頁(yè)

當(dāng)》<-1時(shí)，/(x)<0,

故/(x)在x>-l上單調(diào)遞增，在x<-1上單調(diào)遞減,

/(X)在x=-l處取得極小值，〃-1)=一：,

故“X)的極小值為無(wú)極大值;

【小問(wèn)3詳解】

令g(x)=xe*-hu-x-/7i,定義域?yàn)?0,+e),

g'(x)=(x+l)eX-，1-l=(x+l)(e*-L],其中x+]>0,

X

令=e*—1，則/?尤)=e*+2>0在(0,+的上恒成立,

XJC

=e，-J在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤?1)=e-l>0,h—=/一2<0,

由零點(diǎn)存在性定理可知：3xoef

當(dāng)工€(0,天)時(shí),7z(x)<0,即g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)X€(%,+00)時(shí)，/z(x)>0,即g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)％=不時(shí)，〃(x)=0,即此時(shí)g(x)取得極小值gG),

g(x0)=/e%-lnx0-x0-m,

%1

因?yàn)閑"=—，所以Xoe"。=1,%,=-In/,

故g(玉)=1一加,

當(dāng)機(jī)<1時(shí)，g(無(wú)0)=1-"2〉0,此時(shí)在xe(O,+8)上，g(x)〉O,

則曲線G：y=/(x)與曲線。2：y=3+x+m無(wú)交點(diǎn)，

當(dāng)初=1時(shí)，^(xo)=l-m=O,此時(shí)，有且僅有一個(gè)x()€,使得g(x)=O,

當(dāng)X€(0,+oo)且xr/時(shí),都有g(shù)(x)〉O,即/(x)21nx+x+zn,

故當(dāng)機(jī)=1時(shí)，曲線C|：y=/(x)與曲線。2：y=lar+x+m存一個(gè)交點(diǎn)，

第20頁(yè)/共22頁(yè)

故當(dāng)機(jī)1時(shí)，曲線C：y=/'(x)與