2023北京房山高三（上）期末數(shù)學（教師版）

2023北京房山高三（上）期末

數(shù)學

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.已知集合人={-2,（）,1,2},8=卜,241},則AB=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.2,0,1D,2,0,1,2

2.若復數(shù)z滿足z（l+i）=2i,則在復平面內(nèi)z對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知數(shù)列{/}滿足2。,用=。“，且％=2,則數(shù)列{6,}的前四項和S4的值為（）

1515

A.—B.

1616

1515

C.—D.

44

1_AX

4已知函數(shù)〃無則/（x）（）

A.圖象關于原點對稱，且在［0,+8）上是增函數(shù)

B.圖象關于原點對稱，且在［0,+8）上是減函數(shù)

c.圖象關于y軸對稱，且在［0,+。）上是增函數(shù)

D.圖象關于y軸對稱，且在［0,+。）上是減函數(shù)

5.若角/是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則下列各式中一定成立的是（）

Acosa>cos/3B.sina<sin/?

C.cosa>sin￡D.cosa<sin￡

6.設平面a與平面￡相交于直線/,直線團在平面a內(nèi)，直線〃在平面￡內(nèi)，且加，/.則'是

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.若拋物線丁=2px（〃>（））上一點M到拋物線的準線和對稱軸的距離分別為5和3,則。的值為（）

A.1B.2C.1或9D.2或9

8.已知半徑為1的動圓P經(jīng)過坐標原點，則圓心尸到直線加x+y-2=0（meR）的距離的最大值為

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()

A.1B.2C.3D.4

9.某教學軟件在剛發(fā)布時有100名教師用戶，發(fā)布5天后有1000名教師用戶.如果教師用戶人數(shù)R(r)與天

數(shù)f之間滿足關系式：其中左為常數(shù)，R。是剛發(fā)布時的教師用戶人數(shù)，則教師用戶超過20000

名至少經(jīng)過的天數(shù)為()(參考數(shù)據(jù)：坨2,0.3010)

A9B.10C.11D.12

10.在..ABC中，8C=4,AB=3AC,則BC.氏4的取值范圍為()

A.[-3,12]B.(-3,12)C.[12,24]D,(12,24)

第二部分(非選擇題共H0分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=」一+Igx的定義域是.

12.V)的展開式中常數(shù)項是.(用數(shù)字作答)

2

13.若雙曲線工-y2=i的離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為.

m

14.若函數(shù)/(x)=,2存在最小值，則加的一個取值為______；m的最大值為______.

[X-2mx+4m,x>m

15.函數(shù)/a)=0.03sin(100()m)+0.02sin(2000m)+0.01sin(3000b)的圖象可以近似表示某音叉的聲音

圖象.給出下列四個結(jié)論:

①工是函數(shù)/0)的一個周期;

②的圖象關于直線，=焉對稱:

,0|對稱;

11

上單調(diào)遞增.

@/(06000'6000

其中所有正確結(jié)論序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.在ABC中，。是邊AC上一點，CD=1,BD=2,AB=3,cosZB￡)C=-.

8

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A

(2)求.ABC的面積.

17.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA1.平面ABC。，Q為棱PO的

(2)再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，

求：直線PC與平面ACQ所成角的正弦值，以及點尸到平面ACQ的距離.

條件①：AQVPC.

條件②：AQ,平面PQ9；

條件③：CQ瀉.

18.為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營造良好的文化氛圍，增強文化自覺和文化自信，某區(qū)組織開展了中華優(yōu)秀

傳統(tǒng)文化知識競答活動，該活動有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項.據(jù)統(tǒng)計，中小學生參與該項知

識競答活動的人數(shù)共計4.8萬，其中獲獎學生情況統(tǒng)計如下：

單人賽

PK賽獲獎

組別

一等獎二等獎三等獎

中學組4040120100

小學組3258210100

(1)從獲獎學生中隨機抽取1人，若已知抽到的學生獲得一等獎，求抽到的學生來自中學組的概率；

(2)從中學組和小學組獲獎者中各隨機抽取1人,以X表示這2人中PK賽獲獎的人數(shù)，求X的分布列

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和數(shù)學期望：

(3)從獲獎學生中隨機抽取3人，設這3人中來自中學組的人數(shù)為4，來自小學組的人數(shù)為〃，試判斷

。(4)與的大小關系.(結(jié)論不要求證明)

19.已知函數(shù)=+e*(x-2)(aeR).

(1)當。=0時，求曲線y=/(x)在點光=1處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若函數(shù)/(x)恰有一個零點，則a的取值范圍為.(只需寫出結(jié)論)

JJ

20.已知橢圓C：/+立一1(。>/>0)經(jīng)過點尸(2,3),且點P到兩個焦點的距離之和為8.

(1)求橢圓。的方程；

(2)直線/：y="+m與橢圓C分別相交于A5兩點，直線PA,尸8分別與y軸交于點"，N.試問是

否存在直線/，使得線段MN的垂直平分線經(jīng)過點/>,如果存在，寫出一條滿足條件的直線/的方程，并證

明；如果不存在，請說明理由.

21.若對VM,?eN+,當加—時，都有%-/eA,則稱數(shù)列｛4｝受集合A制約.

(1)若。"=2",判斷｛4,｝是否受N+制約，｛4｝是否受區(qū)間［0,1］制約；

(2)若4=1,。2=3,｛?！保芗希?｝制約，求數(shù)列｛4｝的通項公式;

⑶若記P："｛q｝受區(qū)間［1,2］制約“，4：“｛%｝受集合｛2｝制約”，判斷P是否是4的充分條件，P是

否是4的必要條件，并證明你的結(jié)論.

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參考答案

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1.【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求得集合B,進而求得AcB.

【詳解】x2<l,(x+l)(x-l)<0,解得TW1,所以3=｛x|-lVxWl｝,

所以A8=｛0』｝.

故選：B

2.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給等式求出z用i表示，然后運用復數(shù)的除法運算解決.

【詳解】z(l+i)=2i=J)=^^~=l+i,所以復數(shù)z(l+i)=2i在復平面上的點

1+1(1+1)(1-1)2

為(1,1),所以點在第一象限

故選：A

3.【答案】C

【解析】

【分析】由題意｛4｝是首項為2、公比為g的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前”項和公式求$4的值.

【詳解】由題設｛4｝是首項為2、公比為g的等比數(shù)列，即凡=白，

2x(l—R15

所以S4,1--7

1-

2

故選：C

4.【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)定義判斷了(x)奇偶性，由解析式外幻=5-2’判斷單調(diào)性，即可得答案.

]_4T4V-1

【詳解】由/(一x)=L?=±一=一/(x)且定義域為R,

所以/(X)為奇函數(shù)，即關于原點對稱，

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又/（x）=*-2'在R上遞減，故在［0,+。）上是減函數(shù)?

故選：B

5.【答案】D

【解析】

7TTT

【分析】根據(jù)題設可得0<—一￡<a〈一〈兀一￡<兀，結(jié)合誘導公式判斷內(nèi)角a、/對應三角函數(shù)值的

22

大小關系.

TTTT

【詳解】由銳角三角形知：］<。+夕<冗且0<a，Z?<5，

TT兀

所以0<萬一/<2<5<71-/?<71

兀.兀

則sin（］-/7）<sina,即cos4<sina,且cos（—―尸）〉cosa,即sin￡>cosa.

又已知角的大小不確定，故A、B不一定成立，而C錯，D對.

故選：D

6.【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)線面、面面垂直的判定及性質(zhì)判斷題設條件間的推出關系，結(jié)合充分、必要性定義確定答案.

【詳解】已知a/?=/,mua,"u￡且,

當a_L〃時，則而〃u￡,故充分性成立；

當zn_L”時，

若/，〃相交，又〃?_U,且人〃在夕內(nèi)，則加J_〃，且加ua,故a_L/7；

若/，〃平行，,〃_L尸不一定成立，即不能確定a_L/7；

所以必要性不成立，

故“a_L￡”是“用J,〃”的充分不必要條件.

故選：A

7.【答案】C

【解析】

【分析】由題設拋物線準線為x=-5且對稱軸為x軸，令茄;）且機20,結(jié)合己知列方程組求參

數(shù)P即可.

【詳解】由拋物線V=2px（〃>（））知：準線為x=-當且對稱軸為x軸，

第6頁供18頁

m+R=50n

不妨令M(m,y/2pm)且m〉0,則<_,可得丁+3=5,

所=32P2

所以〃2_i0p+9=(p_l)(p_9)=0,解得p=］或p=9,均滿足題設.

故選：C

8.【答案】C

【解析】

【分析】利用圓上的點到直線的距離的最值可求解.

【詳解】由題設，半徑為1的動圓P經(jīng)過坐標原點,

可知圓心P的軌跡為以原點為圓心，半徑為1的圓，即一+丁=1

,2,

則該圓上的點到直線〃吠+y-2=0的距離的最大值為d=廠—+1

7nr+1

2

又加220，.?.m2+izi，/.0<<2,gpi<J<3

yjm4-1

故距離的最大值為3

故選：C

9.【答案】D

【解析】

In10

【分析】根據(jù)已知條件求得Ra)=100ek'，結(jié)合R?)>20000及指對數(shù)關系、對數(shù)運算性質(zhì)求解集，即

可得結(jié)果.

6=100

R(0)=?)e°=100

【詳解】由題設《可得《,InlO>

R(5)=?e"=1000k=-------

5

In10gio,故，=^^=51g200=5x(lg2+2)=11.505>ll,

所以R(f)=100產(chǎn)，則100eh>20000

所以教師用戶超過20000名至少經(jīng)過12天.

故選：D

10.【答案】D

【解析】

【分析】設AC=m,利用余弦定理可求得cos8,根據(jù)向量數(shù)量積定義可得8c?84=4〃22+8,利用三

角形三邊關系可求得加的范圍，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】設AC=加，則AB=3m,

,AnBC2+AB2-AC216+Sm22+m2

由余弦定理得：cos8=-----------------------=------------

2BCAB24m3m

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/.3czM=12mcos3=4(2+m2)=4m2+8；

3m+m>4-i/、

一v,l<m<2,/.4m~+8G(12,24),

3m-m<4

即8c.84的取值范圍為(12,24).

故選：D.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.【答案】(0,1)51,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)分式、對數(shù)的性質(zhì)列不等式組求定義域即可.

【詳解】由題設《八，故xe(0,l)(1,+8),

x>0

所以定義域為(0,1)。(1,+8).

故答案為：(0,l)u(l,+8)

12.【答案】一4

【解析】

【分析】根據(jù)(L-V)的展開式的通項公式可求出結(jié)果.

【詳解】。?一V)的展開式的通項為加=C(F)=(_琰?.—

令4左一4=0,得k=1,

所以V)的展開式中常數(shù)項是-C；=-4.

故答案為：-4.

13.【答案】y=±JL;

【解析】

【分析】根據(jù)離心率求得加，然后求得雙曲線的漸近線方程.

色丫1R1

-=—=3,m=~,

\aJm3

則雙曲線的漸近線方程為y=±V3x.

第8頁供18頁

故答案為：y—±V3x

14.【答案】①.0（答案不唯一）②.4

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合絕對值、二次函數(shù)的性質(zhì)，討論m范圍及"X）存在最小值確定機的范

圍，進而確定答案.

【詳解】對于y=|x|,在（-8,0）上遞減，（0,+8）上遞增，在R上的最小值為0；

對于y=X?-2mx+4m=（x-m）2+4/n-m2,開口向上且對稱軸為工=加，

所以，在Joo,加）上遞減，（見+8）上遞增，在R上的最小值為4〃?-根乙

綜上，對于/（X）:當機<0時，/（X）在上遞減，O,+<?）上遞增，

此時|m|=-m>m2—2m2+Am=4m—nr恒成立，所以/W不存在最小值;

當〃?=0時，”X）在（-=。,0]上遞減，（0,+8）上遞增，此時最小值為0；

當機〉0時，/5）在（-00,0）上遞減，（0,刈，（m,+8）上遞增，且/（0）=0,

又|加|-（m2-2m2+4〃z）=m2-3m=m（m-3）,

若0<〃z<3時，0<|加|<4加一加2,此時最小值為o；

若帆=3時，0<|加|=4/〃一=3,此時最小值為0；

若3c機<4時，|根|>4加一〃，〉0,此時最小值為0；

若機=4時，|m|=4>4根—〃『=0,此時最小值為0；

若/〃〉4時，|/n|>0>4zn-zn2,此時/"）不存在最小值；

綜上，me[0,4],故加的最大值為4.

故答案為：0（答案不唯一），4

15.【答案】①③④

【解析】

17

【分析】①應用誘導公式判斷判斷了?+而）=/（。是否成立即可；②③/（彳五一。、/⑺的等量關系判

斷正誤;④判斷1000mG[-±,上],200071/63000nre±sin（10007r/）,sin（2000叫，

663322

sin（3000w）對應單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】①f（t++）=0.03sin（1000加+2K）+0.02sin（2000”+4兀）+0.0Isin（3000m+6兀）

=0.03sin（lOOOnr）+0.02sin（2000nr）+O.Olsin（3000nt）=f（t）,

所以一二是函數(shù)/（f）的一個周期，正確；

第9頁供18頁

2

"^65一')=0.03sin(47r-lOOOTTZ)+0.02sin(8K-2000兀/)+0.0Isin(12兀-3000TI/)

=-0.03sin(1000K/)-0.02sin(20007rr)-0.0Isin(3000K/)=-/(/),

所以/(f)不關于直線r=—!—對稱，而關于點［七,0)對稱，②錯誤，③正確；

5001500j

④"一嬴'焉］’則1°°°兀9吟》2000兀yj爭3000無ygg,

而產(chǎn)sinx在［一沈］、［―申學、［―}/均遞增，故/⑺在一康，焉上單調(diào)遞增,正確.

故答案為：①③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.【答案】(1)2(2)2y2.

8

【解析】

【分析】(1)△A3。中，根據(jù)余弦定理求A。的長；

(2)△48。中，根據(jù)余弦定理求COSA,即可求sinA,再根據(jù)三角形的面積公式求解.

【小問1詳解】

因為cosNBDC=—,

8

則0)5/4。8=(：05(兀一/8。。)=一(：05/8￡)。=-3，BD-2,AB=3,

△ABD中，AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosNADB,

即9=A￡>2+4_2X2XAOX(_1),解得：AO=2或=(舍)，

所以AO=2：

【小問2詳解】

AB2+AD2-BD29+4-43

cosA=----------------=-------=—，

2-AB-AD2x3x24

因為0<A<n,

所以sin4=71-cos2A=，AC-AD+DC=2+1=3,

4

所以S4?r=—xABxACxsinA=—x3x3x^-=.

"8c2248

17.【答案】(1)證明見解析

(2)答案見解析

第10頁/共18頁

【解析】

【分析】（1）連接80,交AC于。，連接。。，由中位線性質(zhì)有。Q//PB,再由線面平行的判定證結(jié)論;

（2）根據(jù)所選的條件求得PA=1,以A為原點，為-y、z軸建立空間直角坐標系，應用空

間向量夾角的坐標表示求線面角正弦值，點面距離的向量求法求P到平面ACQ的距離.

【小問1詳解】

連接30,交AC于。，連接。。，

底面A3CD是正方形，故。是8。的中點，又。為棱的中點，

所以，在△P8O中0Q//PB,而。Qu面AC。，PBM面ACQ,

選①：若反尸分別是A8,PC中點，連接

由。為棱的中點且底面ABC。是正方形，易知：FQ//CD//AB,FQ=^CD=^AB,

又AE,AB共線且AE=：AB,故FQ/1AE,FQ=AE,

所以AEF。為平行四邊形，故E///AQ,而AQJ.PC,則

在△PEC中，EE垂直平分PC,故PE=EC,即=百方F，

由AE=3E,故尸A=BC=1,

又PAJ_平面ABC。，AB,AOu平面ABC。，則PALAB,PALAO,又ABJ_A￡>,

以A為原點，z軸建立空間直角坐標系，

則A(O,O,O),C(1,1,O),￡>(0,1,0),2(0,1),P(0,0,1),故AQ=(0,；,；),AC=(1,1,0),PC=(1,1,-1),

第11頁/共18頁

m?AQ=—y+—z=0

令m=(x,y,z)為面ACQ的一個法向量，貝?卜22,令x=l,m=(l,-l,l),

m-AC=x+y=0

m-PC111

所以|cos<m,PC>H-----------1=7―尸即直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為-,

|m||PC|V3xV333

所以點P到平面ACQ的距離L\pc\=^-.

選②：AQ,平面PC。，「。匚平面「。。，則4。，「0,。為棱PO的中點，

在△PA。中，AQ垂直平分P。，故PA=AO=1,

又PA_L平面ABC。，A3,ADu平面AB。。，則尸A，AB,PA_LAO,又ABJ_AO,

以A為原點，AB,AD,AP為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0),C(l,l,0),￡>(0,1,0),2(0,；,g),P(0,0,1),故AQ=(0,；,g),AC=(1,1,0),PC=(1,1,-1),

m?AQ=-y—z=0

令根=(x,y,z)為面ACQ的一個法向量，則j22,令x=1,=,

-AC=x+y=0

m-PC111

所以|cosv丸PC>H-------1=廠廠=—,即直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為一，

\m\\PC\V3xV333

所以點P到平面ACQ的距離1|PC|=—.

33

選③：由平面ABC。，COu平面ABC。，則PA_LC。，又AOLCO,

由PAcAD=A,PA,A。u面PA。，故COJ_面PAO,POu面PA￡),

所以CD_LPD,

3F)

在Rt^COQ中，。。2=。。2+。。2=1+。。2=e,則。。=在，故PD=2OQ=&，

22

又AOu平面ABC。，則PALAO,在RtZXPA。中，pA2=PD2-AD2=1.即PA=1,

又PAJ_平面ABC。，ABu平面ABC。，則P4_LAB,又ABLAD,

以A為原點，A8,4DAP為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則A(0,0,0),C(l,1,0),0(0,1,0),2(0,1,g),P(0,0,1),故AQ=(0,；,g),AC=(1,1,0),PC=(1,1,—1),

m?AQ=—y+—z=0

令m=(x,y,z)為面ACQ的一個法向量，則<22，令x=l,m=,

m-AC-x+y=0

第12頁/共18頁

fTl.P(J|||

所以|cos〈九PC>H.1=r-r-=一，即直線PC與平面ACQ所成角的正弦值為一，

|w||PC\V3xV333

所以點尸到平面ACQ的距離“PC|=且.

33

18.【答案】(1)-

9

7

(2)分布列見解析，期望為一

12

(3)D(g)=D⑺,理由見解析

【解析】

【分析】(1)應用條件概率公式求概率即可；

(2)由題設X可能值為0,1,2,結(jié)合表格數(shù)據(jù)及超幾何分布概率公式求分布列，進而求期望；

(3)由4+〃=3,應用方差的性質(zhì)判斷。0=。(3-〃),。(〃)的數(shù)量關系即可.

【小問1詳解】

若事件A表示抽到的學生獲得一等獎，事件B表示抽到的學生來自中學組，

所以抽到的1個學生獲得一等獎，學生來自中學組的概率為P(B|A)=與華，

P(A)

40725

由表格知：F(AB)=—,P(A)=——，則P(8|A)=/.

7007009

【小問2詳解】

由題意，X可能值為01,2,

X的分布列如下:

X012

51

p(x)

212n

所以E(X)=0x工+lxa+2x-!-7

21212n

【小問3詳解】

由題設知€+〃=3,所以OC)=0(3—77)=。(3)+(―1)2?D⑺=D⑺.

19.【答案】(1)y=-e

(2)答案見解析(3)a<Q.

【解析】

第13頁/共18頁

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求y=/(x)在點》=1處的切線方程；

(2)由題設/'(用=(2。+6')。一1),討論參數(shù)。，結(jié)合/'(X)不同區(qū)間上符號確定“X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)根據(jù)(2)所得的單調(diào)性，討論參數(shù)。，結(jié)合零點存在性定理判斷/(x)零點的個數(shù)，即可得參數(shù)范圍.

【小問1詳解】

由題設/(x)=e、(x-2),則/'(x)=e%x-l),

所以/6=-e,r(l)=O,故曲線y=/(x)在點x=l處切線方程為y=-e.

【小問2詳解】

由/'(x)=(2a+e')(x—l),

當aNO時,2a+e*>0,則時/'(x)<0,尤w(1,+8)時/'(x)>0,

所以/(”)在(-8,1)上遞減，(1,+8)上遞增；

當“<0時，令/'(x)=O,可得x=ln(-2a)或x=1,

A

若ln(—2。)<1,即一時，(—8』n(—2a))、(1,+8)上/'(幻〉0,(In(-2a),l)上/'(x)<0,

所以〃x)在(一甩儂―2。))、(l,+=o)上遞增，(ln(—2。),1)上遞減；

若ln(—2a)=l,即。=-|時，r(x)NO在R上恒成立，即/⑺在R上遞增；

若ln(-2a)〉l,即時，(-8,1)、(ln(-2a),+oo)±f'(x)>0,(l,ln(-2a))±/,(x)<0,

所以/(*)在(-8,1)、(ln(-2a),+s)上遞增，(l,ln(—2。))上遞減；

綜上，a>0,"X)在(-8,1)上遞減，(1,+8)上遞增；

A

——<a<Q,f(x)在(-00,ln(-2a))、(1,+:?)上遞增，(In(-2”),1)上遞減；

2

a=--,/(x)在R上遞增；

2

a<-1,/(X)在(一8,1)、(In(-2a),+00)上遞增，(l』n(-2a))上遞減;

【小問3詳解】

由(2),當?！?時，f(^)min=/(I)=-e<0,而x趨向TO、+oo時/(x)趨向于+8,

所以，/“)在(-8,1)、(1,+8)各有一個零點，共兩個零點，不合題設；

當。=0時/(x)=e*(x-2),f(x)min=/(I)=-e<0,

在xw<-oo,l)±/(x)<(),x趨向時/(x)趨向于”，

所以，此時/(x)在(1,+8)有一個零點，滿足題設；

當一■IvavO時，極大值/(ln(-2n))=a[ln(-2?)-I]2-2a[ln(—2a)—2]=?[(ln(-2a)-2)2+1J<0,極

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小值/(l)=-e<0,x趨向+00時/(*)趨向于+?,

所以，/“)在(1,+8)有一個零點，滿足題設；

當a=—￡時，/(I)=-e<0,x趨向+oo時f(x)趨向于+oo,

2

所以，/(*)在R上有一個零點，滿足題設；

當時，極大值/(1)=一e<0,極小值

/(ln(-2a))=?[ln(-2?)-ll2-201n(-2。)-2]=a[(ln(-2a)-2)2+l]<0,x趨向飲時fW趨向于

■Ko,

所以，〃了)在(皿—24),+00)上有一個零點，滿足題設；

綜上，函數(shù)/(X)恰有一個零點，a<Q.

r22

20.【答案】(1)—+^v-=1

1612

(2)y=x+\(答案不唯一)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義，得到。=4,代入22,3),可得6,計算得到橢圓。的方程.

(2)聯(lián)立直線/與橢圓C,利用韋達定理，得至1」司+々和王/，再分別利用P，A,B,得到直線PA和直線

PB,進而得到加與外，利用線段MN的垂直平分線經(jīng)過點P,必有加+以=6,整理可得

工2兇+為%-3(玉+々)-2(/+%)+12=0,此時，利用韋達定理進行換元，得到2k—3=T〃,然后，對

k進行賦值，即可得到滿足題意的直線方程.

【小問1詳解】

r2V2

點尸到兩個焦點的距離之和為8,故2。=8,。=4,橢圓。的方程為七+==1,

16b2

2

代入P(2,3),可得一4+9=1,解得人=2百L，故橢圓。的方程為：二JC+乙v=1

16b-1612

【小問2詳解】

由題意，設4%,%),例無2，%)，聯(lián)立直線/與橢圓。的方程，可得，

屋2y2

7612，整理得，(16/+12)爐+32公m+16(加2-12)=0,

y=kx+m

化簡△得，16/+12-m2>。，故16女2+12〉加2；

—32km16(??2-12)

…=前6,當%]6父+12又，22,3),

第15頁/共18頁

可設直線PA：y-3=2~：?(x-2),設直線PB：y-3=2jg-(x-2),

x{-2x2-2

故如=比』(-2)+3,%=&4<-2)+3,

若線段MN的垂直平分線經(jīng)過點P,必有>M+yN=6,故有

2)+3+上|-(-2)+3=6,整理得，

玉一2x2-2

y.-3y―3八

^^+上」97=0,化簡得，(彳,一2)(%-3)=-(％-3)(%-2),

%-2x2—2

得到，x2y}-3々-2y?+6=-x1y2+2y2+3x(-6,

/X+玉%―3(玉+々)一2(弘+)2)+12=()，

x2(AXj+w?)+X](仇+m)-3(X1+x2)-2(yl+y2)+12=0,

2kxix2+(m-3)(xi+x2)-2(Ax,+m+kx2+///)+12=0,

2kx[x2+(/九一3)(玉+x2)-2k(xt+x2)-4/n+12=0,

2"]/+(，〃一3-2女)(玉+々)-4加+12=0,利用韋達定理，得

32攵(蘇—12)(in-3-2k)-32km.八

-------；--------------------------------------4m+12=0，

16公+1216^+12

32k