抽簽摸獎有先后

抽簽摸獎有先后，對各人公平么？315700浙江省象山中學(xué)張宗余元素中抽出元素中抽出2個進(jìn)行排列，它的種數(shù)是嗎‘在新教材第十章“概率”一節(jié)中，安排兩篇材料，其中有一篇是“抽簽有先后，對各人公平嗎？”。恰巧期間象山舉行為期3天的2600萬福利彩票大抽獎，筆者結(jié)合本節(jié)內(nèi)容，以摸獎的問題為背景，設(shè)計(jì)了這節(jié)閱讀課，促使學(xué)生對情景的感性認(rèn)識，使之課堂之初就激起了學(xué)生對問題討論，將研究性學(xué)習(xí)引進(jìn)課堂。問題：“何時(shí)去摸獎？抽獎有先后，對各人公平嗎?！睂⑦@一問題先拋于學(xué)生?！昂蟪槿耸欠裰狼俺槿说慕Y(jié)果，”當(dāng)然的成為學(xué)生爭議的關(guān)鍵點(diǎn)，讓學(xué)生自行設(shè)計(jì)問題解決，“授之與魚，不如授之與漁?！?，下面是兩組學(xué)生設(shè)計(jì)的方案：方案一：前提是后抽人不知道先抽人抽出的結(jié)果。特例1：從5張彩票中僅有1張中獎彩票，問摸獎先后對結(jié)果有影響嗎？學(xué)生分析：對第1個抽票者來說，他從5張票中任抽1張，得到獎票的概率15為了求得第2個抽票者抽到獎票的概率，我們把前2人抽票的情況作一整體分析，從5張票中先后抽出2張，可以看成從5個而其中第2人抽到獎票的情況有C-A4種,因此，第2人抽到獎票的概率A-C-―4_1A25通過類似的分析，可知第3個抽票者C1A2 1抽到獎票的概率p=—^~4=。A3 55如此下去，我們可求得第4個抽票者和第5個抽票者抽到獎票的概率也都是5?？v向推廣1：一般地，如果在n張票中有1張獎票，n個人依次從中各抽1張，且后抽人不知道先抽人抽出的結(jié)果，那么第i個抽票者（i=1，2，…，n）抽到獎票的概率：C1An-1 1P=十亠=。即每個抽票者抽到獎iAnnn票的概率都是1，也就是說，抽到獎票的概n率與抽票先后順序無關(guān)。特例2：如果在5張票中有2張獎票，5個人依次從中各抽1張，我們來研究一下各個抽票者抽到獎票的概率。顯然第1個抽票者抽到獎票的概率2是5，下面來求第2個抽票者抽到獎票的概率，在前2個抽票者抽票的所有A2種情況5中，第2個抽票者抽到獎票的情況有CiAi14種，因此，第2個抽票者抽到獎票的概率是C1-A1—2 4A25同理，可求得以后各個抽票者抽到獎票2的概率也都是5?？v向推廣2：一般地，假定在n張票中有2張獎票(n上,n個張隨機(jī)地放到編號為1~n的盒子中,一盒一簽，共有An種可能放法，第i盒內(nèi)n有中獎票的可能放法為C1An-1種，故第ikn-1CiAn-1k內(nèi)有中獎票的可能性為七1二—，即每An nn個盒子有中獎的可能性是一樣的。1234???i???n三2),n個人依次從中各抽一張，且后抽人不知道先抽人抽出的結(jié)果，那么第i個抽票者i=1,2,?,n)抽到獎票的概率是：教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的體驗(yàn)，并用自己的思維方式重新創(chuàng)造出有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。在特例1中，學(xué)生用表示“沒C1-Ai-1——2 n—1Ain這就是說，每人抽到獎票的概率者是2，與抽票先后順序無關(guān)。n推廣到一般，假定在n張票中有k張獎票(n三2),n個人依次從中各抽一張，且后抽人不知道先抽人抽出的結(jié)果，那么第i個抽票者(i=1,2,…,n)抽到獎票的概率是:C1-Ai-1——k n—1Ci

n顯然學(xué)生提出的方案與例題的設(shè)想與課本的閱讀材料雷同，但在設(shè)計(jì)過程中，從特殊到一般，從類比到模仿，從歸納到猜想，處處都體現(xiàn)學(xué)生探索與創(chuàng)新的精神。而且學(xué)生的奇思妙想，往往教師所料不及的。我們還可以從另外一個角度來考慮這一問題，我們將n個彩票隨機(jī)地放到編號為1~n的盒子中，其中k張中獎,一盒一張(如圖)。事實(shí)有抽到中獎”，“、”表示“抽到中獎”。畫出圖2所示的樹形圖，由圖可知，第一或第二、三、四、五次抽到彩簽的可能性均為5，即不論先抽還是后抽，抽到可能性均為5，抽簽次序不會影響抽簽的結(jié)果。圖2用樹形圖，使抽象問題具體化、直觀化，其實(shí)質(zhì)是表示事件A在事件B發(fā)生下的條件概率。獲得獎票的概率可用下面的概率乘法公式計(jì)算:TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"P(A?A A)=P(A)?p(A/A) P1 2n1 21(A/A,?A2 A,)，其中P(A,/A2)\o"CurrentDocument"n1 2 n-1 1 2表示事件A2在A］發(fā)生下的條件概率，依此類推，作為例子，可算得第2個抽票者獲得獎票的概率是：11P(A1-A)-P(A1)P(A/A)=^7=-1 2 1 2 1 5 4 5第3個抽票者獲得獎票的概率是：P(A,-A2-A)=P(A,)P(A2/A)P(A/A-A2)1231213124311=XX=?5435橫向推廣1：1．有5把鑰匙，其中有1把可以打開房門，逐把試插，第三次打開房門的概率是多少？分析：將問題轉(zhuǎn)化為抽獎模型“5張彩票，其中僅1張中獎，第3次抽到獎的概率是多少？”故P(A)=5。2．有10個白球，1個黑球，逐個抽取，第5次抽到黑球的概率是多少？分析：將問題轉(zhuǎn)化為抽獎模型“11張彩票，其中僅1張中獎，第5次抽到獎的概率是多少？故P(A)=+。橫向推廣2：1．有5把鑰匙，其中有2把可以打開房門，逐把試插，第三次打開房門的概率是多少？分析:將問題轉(zhuǎn)化為抽獎模型:“有5張彩票，其中僅2張中獎,第三次中獎的概率?！惫蕄(A)=5。2．一批產(chǎn)品有8個正品和2個次品，任意不放回地抽取兩次，求第二次抽出次品的概率？分析：記事件A為“第二次抽出次品”。將問題轉(zhuǎn)化為抽獎模式，即有10把彩票，其中有2張是獎票，逐個抽取，求第二次抽21到獎票的概率？故P(A)=jo=5?？v向推廣3：彩票模式的推廣，有m+n張彩票，其中n張是獎票，逐個抽取，第k次取到獎票的TOC\o"1-5"\h\zC1"Am+n-1 n概率為：P(A)=nm+n-1= 。Am+n m+nm+n方案二：前提后抽人知道先抽人抽出的結(jié)果。抽簽分先后，真的公平嗎？特例3：有5張彩票(可當(dāng)場對獎)其中有2張是有獎的，由甲、乙、丙、丁戊5人依次各抽一張，求：(1)甲、乙都中獎的概率；只有乙中獎的概率；若甲、乙均中獎，則丙、丁、戊中獎的概率各為多少？解：(1)因?yàn)橄扔杉壮?，所以甲中獎的概率?，當(dāng)甲中獎后，剩下4張彩票中有一張是有獎的，所以乙中獎的概率為1，因此甲、乙都中獎的概率為4211X= -04 10(2)因?yàn)橹挥幸抑歇劊馕吨紫瘸闆]有中獎，然后剩下4張彩票在有2張有獎的情況下去抽獎，甲沒有中獎的概率為3，然后乙中獎的概率為所以4P3 3 3P二x二-025410（3）當(dāng)甲、乙兩人均把有獎的彩票抽去,剩下3張無論抽哪一張均無獎,