復(fù)變第5講1原函數(shù)與不定積分概念

§4 2.由§2基本定理的推論知:若f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)B內(nèi)的任意曲線C，積分Cf(z)dz

0,終點(diǎn)z在B內(nèi)變動(dòng)時(shí)

f在B內(nèi)確定了一個(gè)以終點(diǎn)z為變量的單值函數(shù),F(z)=f(z)dz0定理設(shè)f(z在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則F(z(z)j(z)上面定理表明F(z

G(z)(z)G(zH(z) (c為任意常數(shù)(見第二章§2例定義設(shè)F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，稱F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作f(z)dz=F(z)+2.定理設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是ff(z)dz=F(z1)-F(z0 0 .1例1Cz2dz1其中C為半圓周z3Rez起點(diǎn)為3i,終點(diǎn)為3i. 1在Re(z)?0，z?0上解析

2 2+1

dz z-2+1 另解

1dz

p

p1p 1p

3-2 例2計(jì)算積分1C其中C為單連通區(qū)域pargzp內(nèi)起點(diǎn)為1,終點(diǎn)為z的任意曲線.解 1在D內(nèi)解析,又lnz是1的一個(gè)原函數(shù) 1dz=lnz-ln1=lnz(z?C例3] ]z2dz=

bzndzba

=[

zn+1

=

-an1ai0zsinai

0 0 -e-

+e- C

f(z)dz=limf(zkndfi0knf(z)dz=Cudx-vdy+iCvdx+b f(z)dz= )]z(tb 若f(z)解析,B單連通 B,則f(z)dz=若f(z)在內(nèi)解析B單連通,zf(z)dz=[F(z)]z1 (z)z §5Cauchy解析函數(shù)內(nèi)部值的積分，該不僅給出了分析設(shè)D是單連通區(qū)域，f(z)在D內(nèi)解析則f(z)z-

在z0不解析,所以

f(z)Cz-C

dz?CDCDf(z)dz=f(z)Cz- C1z-

C1=

z-

d(d0可充分小f(z)的連續(xù)性在Cf(z)CD當(dāng)dfi0時(shí),f(zfifCDf(z) f(z) dz= dfi

z-

1z-1fif(z01

z-

dz=2pif(z0 f(z)在D內(nèi)處處解析證明設(shè)K

z-

C的內(nèi)部fz)dzfz)dz與KR無關(guān)Cz- z-

f(z)dz=2pif(zff(z )0 f(zCz-dz00Rfi0

z-

f(z)dz-2pif(z)<e Kz- f(z)dz-2pif(z)=

f(z)dz-f(z

00kz-00

z-z0

kz-=f(z)-f(z0)dz￡

f(z)-f(z0)ds

eds= z- z- limf(z)=f(z0)Rdf(z)-f<e\

f(z)dz=2pif(z)f(z)

f(z)Rfi

z-

若定理?xiàng)l件改為f(z)在C所圍區(qū)域B內(nèi)解析,及在C+B=B上連續(xù),Cauchy積分 仍成立.Cauchy積分表明函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值可以用它在邊界的值來表示.即若f(z)在區(qū)域邊界上的值一經(jīng)確定,則它在區(qū)域內(nèi)部任一處的值也就確定了.若Czz0Reiqf(z0)

f(z)dz Cz-0 2pf(z0+Reiq

= 2pf(z +Reiq 求

2pi z

zz

解1) 2pi

z=

sinzdz=sinz

z=

dz

zzfz)=1及

z-3

z+1 z-z z=2pi1+2pi2= 求

2z-1Cz2-C為包含z1在內(nèi)的任意簡(jiǎn)單正向曲線. 2z-1dz=2z-1dz+2z-12Cz2- C1z2- z2-22z- 2z- =z-1dz+ dz

z-

z-1

設(shè)C表示正向圓周z

3,f(z)=

1解3z27z1

z>3,\f(z)=

+7z+1),z<3,故f(1)=22pi f(3)=f(z)

z>3,z<3,f1i)2pi[6(1i7]2p(13i§6 .研究表明:一個(gè)解析函數(shù)不僅 f(z)

1

f(z)dz(z?0 Cz-00的右端在積分號(hào)下對(duì)z0f(z0)

f(z dzp (p 0(z0

2! f(z) C(z-z0

f(n)(z)=n!

f

(n=1,

C(z-z0 定理解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)它的n階導(dǎo)數(shù)為f(n)(z)f(n)(z)0f(z)C(z-z10其中C為在f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任意正向簡(jiǎn)單閉曲線,而且它的內(nèi)部D.證明用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義先證n的情形"z? f'(z)= f(

+Dz)-f(z0 Dzfi

f(z)=

f(z)0 2pi z-0f(z+Dz)

f(z) 0 2piCz- 0f(z0+Dz)-f(z0)=

f(z) f(z)

z-

dz

Cz-

1 f dz2piC(z-z0-Dz)(z-z0

f(z=

dz2piC(z-1Dzf(2piC(z-1Dzf(z -Dz)(z-z000I=

Dzf(z (z-(z- -Dz)(z-z 1￡2p

z-z0

Dz f(z2-DzDz f(z2則$M,使f(z)￡M,d=minz-z 取Dz<1d,則z-z0?d

z-z z- -Dz?z- -Dz>d

<

z-z0-D \ <D

pd

LC的長(zhǎng)度 I=0,從而Dzfif(z)=limf(z0+Dz)-f(z0)

f

0dz0 Dzfi

2pi(z-zf(z)= f(

+Dz)-f(z00C2!=2piC2!

Dzfif(z 0(z-z)30

f(n)(z0)

f(z) 0C(z-z)n+10定理表明f(z)在z平面上D內(nèi)解析 f(z)在D內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù),即在D內(nèi)解析--無窮次可導(dǎo).00

f(z0C(z-z0

dz

f(n)(z cos

C:

r1為正向e1)C(z-1)5 2)C(1+z2)2 \cospzdz= pz)(4)C(z-=2pi(-p4)=

5p5pi

(z2+

在zi處不解析,取C1

:z-i=r1C2

z+i

r2,C1,C2互不相交且在C的內(nèi)部2 2則

2dz=

2dz+

21ez ez1(z+i)2 (z-i)2 C1(z-i)2dz+C2(z+i)2