用數學軟件mathematica做線性代數

矩陣的秩求特解矩陣的特征值矩陣的特征向量矩陣的正交化 cd aa cd aababc 2a A//MatrixForm（給出A的矩陣形式{a,b,c,{a,a+b,a+b+c,{a,2a+b,3a+2b+c,4a+3b+2{a,3a+b,6a+3b+c,10a+6b+3 a0000b0a00b000a0000b0a00b000ab0000cd000c00d0c0000d;-b3c3+3ab2c2d-3a2bcd2+a3-(bc-a 例

{1,1,1,1,{x[1],x[2],x[3],x[4],{x[1]2,x[2]2,x[3]2,x[4]2,{x[1]3,x[2]3,x[3]3,x[4]3,{x[1]4,x[2]4,x[3]4,x[4]4,x[1]4x[2]3x[3]2x[4]-x[1]3x[2]4x[3]2x[4]-x[1]4x[2]2x[3]3x[4]+x[1]2x[2]4x[4]+x[1]3x[2]2x[3]4x[4]-x[1]2x[2]3x[3]4x[4]-x[1]4x[2]3x[3]x[4]2+x[1]3x[3]x[4]2+x[1]4x[2]x[3]3x[4]2-x[1]x[2]4x[3]3x[4]2-x[1]3x[2]x[3]4x[2]3x[3]4x[4]2+x[1]4x[2]2x[3]x[4]3-x[1]2x[2]4x[3]x[4]3-x[1]4x[2]x[4]3+x[1]x[2]4x[3]2x[4]3+x[1]2x[2]x[3]4x[4]3-x[1]x[2]2x[3]4x[4]3-x[1]3x[3]x[4]4+x[1]2x[2]3x[3]x[4]4+x[1]3x[2]x[3]2x[4]4-x[1]x[2]3x[3]2x[4]4-x[2]x[3]3x[4]4+x[1]x[2]2x[3]3x[4]4-x[1]4x[2]3x[3]2x[5]+x[1]3x[2]4x[5]+x[1]4x[2]2x[3]3x[5]-x[1]2x[2]4x[3]3x[5]-x[1]3x[2]2x[3]4x[5]+x[1]2x[3]4x[5]+x[1]4x[2]3x[4]2x[5]-x[1]3x[2]4x[4]2x[5]-x[1]4x[3]3x[4]2x[3]3x[4]2x[5]+x[1]3x[3]4x[4]2x[5]-x[2]3x[3]4x[4]2x[5]-x[1]4x[2]2x[5]+x[1]2x[2]4x[4]3x[5]+x[1]4x[3]2x[4]3x[5]-x[2]4x[3]2x[4]3x[5]-x[1]2x[4]3x[5]+x[2]2x[3]4x[4]3x[5]+x[1]3x[2]2x[4]4x[5]-x[1]2x[2]3x[4]4x[5]-x[3]2x[4]4x[5]+x[2]3x[3]2x[4]4x[5]+x[1]2x[3]3x[4]4x[5]-x[2]2x[3]3x[5]+x[1]4x[2]3x[3]x[5]2-x[1]3x[2]4x[3]x[5]2-x[1]4x[2]x[3]3x[5]2+x[1]x[3]3x[5]2+x[1]3x[2]x[3]4x[5]2-x[1]x[2]3x[3]4x[5]2-x[1]4x[2]3x[4]x[2]4x[4]x[5]2+x[1]4x[3]3x[4]x[5]2-x[2]4x[3]3x[4]x[5]2-x[1]3x[3]4x[5]2+x[2]3x[3]4x[4]x[5]2+x[1]4x[2]x[4]3x[5]2-x[1]x[2]4x[4]3x[5]2-x[1]4x[4]3x[5]2+x[2]4x[3]x[4]3x[5]2+x[1]x[3]4x[4]3x[5]2-x[2]x[3]4x[4]3x[5]2-x[2]x[4]4x[5]2+x[1]x[2]3x[4]4x[5]2+x[1]3x[3]x[4]4x[5]2-x[2]3x[3]x[5]2-x[1]x[3]3x[4]4x[5]2+x[2]x[3]3x[4]4x[5]2-x[1]4x[2]2x[3]x[5]3+x[1]2x[3]x[5]3+x[1]4x[2]x[3]2x[5]3-x[1]x[2]4x[3]2x[5]3-x[1]2x[2]x[3]4x[2]2x[3]4x[5]3+x[1]4x[2]2x[4]x[5]3-x[1]2x[2]4x[4]x[5]3-x[1]4x[3]2x[5]3+x[2]4x[3]2x[4]x[5]3+x[1]2x[3]4x[4]x[5]3-x[2]2x[3]4x[4]x[5]3-x[1]4x[4]2x[5]3+x[1]x[2]4x[4]2x[5]3+x[1]4x[3]x[4]2x[5]3-x[2]4x[3]x[4]2x[5]3-x[3]4x[4]2x[5]3+x[2]x[3]4x[4]2x[5]3+x[1]2x[2]x[4]4x[5]3-x[1]x[2]2x[5]3-x[1]2x[3]x[4]4x[5]3+x[2]2x[3]x[4]4x[5]3+x[1]x[3]2x[4]4x[5]3-x[2]x[4]4x[5]3+x[1]3x[2]2x[3]x[5]4-x[1]2x[2]3x[3]x[5]4-x[1]3x[2]x[3]2x[2]3x[3]2x[5]4+x[1]2x[2]x[3]3x[5]4-x[1]x[2]2x[3]3x[5]4-x[1]3x[2]2x[5]4+x[1]2x[2]3x[4]x[5]4+x[1]3x[3]2x[4]x[5]4-x[2]3x[3]2x[4]x[5]4-x[1]2x[4]x[5]4+x[2]2x[3]3x[4]x[5]4+x[1]3x[2]x[4]2x[5]4-x[1]x[2]3x[4]2x[5]4-x[3]x[4]2x[5]4+x[2]3x[3]x[4]2x[5]4+x[1]x[3]3x[4]2x[5]4-x[2]x[3]3x[5]4-x[1]2x[2]x[4]3x[5]4+x[1]x[2]2x[4]3x[5]4+x[1]2x[3]x[4]3x[5]4-x[2]2x[3]x[4]3x[5]4-x[1]x[3]2x[4]3x[5]4+x[2]x[3]2x[4]3x[5]4Det[Van]//Simplify（化簡以上結果）(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])(x[1]-x[2])(x[1]-x[3])(x[2]-x[3])(x[1]-x[4])(x[2]-x[4])(x[3]-x[4])(x[1]-x[5])(x[2]-x[5])(x[3]-x[5])(x[4]-x[5])2x1x25x3x4x 6x 例 法則解線性方程組：

2x

31

例A

2B 912AB和4A 8 {{-1,14,10},{-{{-1,47,28},{-12,31,-{-1,14,{-4,8,{-1,47,{-12,31,-

0 3例設A ，B ，求

2

1 4 A.A.{1,0,3,-{2,1,0,{4,1,{-1,1,{2,0,{1,3,{{9,-2,-{9,-2,-{9,9,例設A 4，B 4，求AB和BA（同濟5版，35頁 A.{{-16,-{-16,-{8,{0,{0,cos

sint

cos

sinnt例sin

cost

sin

（5，38

{{-2Sin[t](-2Cos[t]Sin[t]2+Cos[t](Cos[t]2-Sin[t]2))(2Cos[t]2Sin[t]-Sin[t](Cos[t]2-Sin[t]2))(2Cos[t]2Sin[t]+Sin[t](Cos[t]2-Sin[t]2))),2Cos[t](-Cos[t]Sin[t]2+Cos[t](Cos[t]2-Sin[t]2))(-2Cos[t]2Sin[t]-Sin[t](Cos[t]2-Sin[t]2))-((-2Cos[t]Sin[t]^2+Cos[t](Cos[t]^2-Sin[t]^2))2+(-2Cos[t]2Sin[t]-(Cos[t]2-Sin[t]2))(2Cos[t]2Sin[t]+Sin[t](Cos[t]2-Sin[t]2)))},{2Cos[t](-2Sin[t]2+Cos[t](Cos[t]2-Sin[t]2))(2Cos[t]2Sin[t]+Sin[t](Cos[t]2-Sin[t]2))+Sin[t]((-Cos[t]Sin[t]^2+Cos[t](Cos[t]^2-Sin[t]^2))2+(-2Cos[t]2Sin[t]-Sin[t](Cos[t]2-(2Cos[t]2Sin[t]+Sin[t](Cos[t]2-Sin[t]2))),2Sin[t](-2Cos[t](Cos[t]2-Sin[t]2))(-2Cos[t]2Sin[t]-Sin[t](Cos[t]2-Sin[t]2))+Cos[t]((-2Sin[t]^2+Cos[t](Cos[t]^2-Sin[t]^2))2+(-2Cos[t]2Sin[t]-Sin[t](Cos[t]2-Sin[t]2))(2Cos[t]2Sin[t]+Sin[t](Cos[t]2-Sin[t]2)))}}{{Cos[7t],-Sin[7t]},{Sin[7t],Cos[7{Cos[7t],-Sin[7{Sin[7t],Cos[7

1 0 例設A 11，求其轉置矩陣A（同濟5版，39頁 {{1,2,0},{3,-{1,2,{3,-1,{{1,3},{2,-{1,{2,-{0, T例設A ，B ，求(AB)T，并驗證：(AB)TBA（同 2

1 {{0,17},{14,13},{-{0,{14,{-3, 這是{{0,17},{14,13},{-{0,{14,{-3, AB)TBT 例設A 1，求其逆矩陣A1，并驗證AA1E（單位矩陣）（同濟5 頁{1,3,-{-(3/2),-3,{1,1,-AA1E{1,0,{0,1,{0,0,

2 A2 A241，B ，C 45{{-2,1},{10,-4},{-{-2,{10,-{-10,

例設A 2，B

0AXB（5，65 2 解AXBX

5 {-4,{0,{-3,B

2 4 4 9{2,-1,-1,1,{1,1,-2,1,{4,-6,2,-2,{3,6,-9,7,{{1,0,-1,0,4},{0,1,-1,0,3},{0,0,0,1,-{1,0,-1,0,{0,1,-1,0,{0,0,0,1,-{0,0,0,0, B{1,0,-1,0,{0,1,-1,0,{0,0,0,1,-{0,0,0,0,{1,0,0,{0,1,0,{-1,-1,0,{0,0,1,{4,3,-3,{1,0,0,0,{0,1,0,0,{0,0,1,0,{0,0,0,0, 例設A 2，求A其行最簡形F（同濟5版，64頁 2 {1,0,-{0,1,-{0,0,

矩陣的秩 0 1例設A

AA的一個最高階非零子式（同濟 4 版，673（矩陣的秩{1,0,1/2,0,{0,1,-(3/4),0,-{0,0,0,1,-{0,0,0,0,有行最簡形中三個1的位置，知原矩陣的前三行以及1、2、4x1x2x3x4例2x15x23x32x40的基礎解系與通解（5977x7x3xx {1,0,-(2/7),-{0,1,-(5/7),-{0,0,0,

77x2x377 x4

或

7 7

xxxxx2c3

2 3 7 7

7 7 x

方程組的通解： 或2c c 2 x2

17 27 3

1 0

x4

x x2 7

其中

5 7

4 x1x2x3x4例2x15x23x32x40的基礎解系與通解（5977x7x3xx (這個基礎解系不理想{1,0,-(2/7),-{0,1,-(5/7),-{0,0,0, （與上面的結果一致x1x2x3x4例x1x2x33x4x1x22x33x4

12{1,-1,0,-1,{0,0,1,-2,{0,0,0,0,xxx

x1 x4 x1x2x4

x 2或

1或 x2x

x 2x

x 2x

x xcc

1

1 1

2x

x 1 0 0原方程組的通解：

或2c

x

1x 2c

3

x4

0 1 2x

0 1 11 0

12 2 0其中

,

是對應其次方程組的基礎解系，* 0

2

1

20 0 求特解用LinearSolve[A,b]AXb的一個特解x1x2x3x4例x1x2x33x4x1x22x33x4

12{{x11/2+x2+x4,x31/2+2x1x 即1

x 1 1 1 11 2 0例設,, ,試將表示成,

（ 2 1 4 3

1 0解只需將矩陣A 化為行最簡 3 1 {1,0,3,{0,1,-2,-{0,0,0,{0,0,0,2倍，加上第二列的-1倍A2倍，加上第二列的-1倍，2111127

244499AA列向量組的極大無{1,0,-1,0,{0,1,-1,0,{0,0,0,1,-{0,0,0,0, 1 2 1例A

22 22

122 22AATE（單位矩陣{1/2,-(1/2),1/2,-{1/2,-(1/2),-(1/2),2222

,

,0,22{0,0,22{1,0,0,{0,1,0,{0,0,1,{0,0,0,

,

}（這是}\[NoBreak])（AATE矩陣的特征值矩陣的特征向量 例求矩陣A 3 {4,2}（特征值{{-1,1},{1,1}}（特征向量 例求矩陣A {2,1,1}（特征值{{0,0,1},{-1,-2,1},{0,0,0}}（特征向量）（將最后一個零向量刪去 例求矩陣A {2,2,-1}（特征值 11 例設A 0 頁P=Eigenvectors[A]（求A的特征向量（為行向量））P=Transpose[P]（將特征行向量的矩陣轉置）{-{-1,1,-{-1,0,{1,1, （得到矩陣{-2,0,{0,1,{0,0, （P1AP為對角陣，對角線元素為三個特征值矩陣的正交化 11 例設A 1，求正交矩陣P，使得P1AP 0 Eigenvalues[A]（特征值P=Eigenvectors[A]（特征向量）P=Orthogonalize[P]（特征向量的矩陣正交單位化）P=Transpose[P]（轉置）Inverse[P].A.P//MatrixForm（P1AP{-2,1,1}（特征值{{-1,-1,1},{1,0,1},{-1,1,0}}（特征向量（特征向量的矩陣正交單位化3{{-3

},{-

332262363{{-332262363

,-

2632332626323326{1,0,{0,1,{0,0, 32632623{-23

),

,-

3{-3

),

1312 11312 623 2