江蘇省鹽城市東臺(tái)溱東中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

江蘇省鹽城市東臺(tái)溱東中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.拋物線y=4x2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A．4 B．2 C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】直接利用拋物線方程求解即可．【解答】解：拋物線y=4x2，即x2=y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：p=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．2.在等比數(shù)列{an}中，a1=1，則“a2=4”是“a3=16”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：在等比數(shù)列{an}中，a1=1，若a2=4，則公比q=，則a3=a2q=4×4=16．若a3=16，則a3=1×q2=16，即q=±4，當(dāng)q=﹣4時(shí)，a2=a1q=﹣4，此時(shí)a2=4不成立，即“a2=4”是“a3=16”的充分不必要條件，故選：A．3.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，，則（）A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i參考答案：A試題分析：由題意，得，則，故選A．考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、復(fù)數(shù)的幾何意義．4.曲線|x―1|+|y―1|=1所圍成的圖形的面積為

A.1

B.2

C.4

D.參考答案：B5.設(shè)集合A={2,3,4}，，則A∩B=(

)A.{4} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}參考答案：C【分析】先解不等式求出，再利用交集定義求解．【詳解】＝或∴＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，不等式求解法\要準(zhǔn)確．6.用“更相減損術(shù)”求98和63的最大公約數(shù)，要做減法的次數(shù)是（

）

A.3次 B.

4次 C.

5次

D.

6次參考答案：D7.點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）

A.或

B.

C.或 D.參考答案：A8.已知，若，則的值為（

）A.－1 B.0 C.1 D.2參考答案：A【分析】先根據(jù)定積分的幾何意義求得的值，再分別令和，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，定積分表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的面積的四分之一，則，所以，令可得，即，令，可得，即，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及定積分的應(yīng)用，其中解答合理賦值求解二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9.函數(shù)的定義域是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.已知若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B. C. D. 參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若采用系統(tǒng)抽樣方法從420人中抽取21人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為，，…，，則抽取的人中，編號(hào)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)是

．參考答案：6

12.已知，刪除數(shù)列{an}中所有能被2整除的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)從小到大構(gòu)成數(shù)列{bn}，則b55=______________．參考答案：599513.已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B，則a=_______.參考答案：0或略14.在等差數(shù)列{an}中，已知a4=﹣15，公差d=3，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為．參考答案：﹣108【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】求出首項(xiàng)a4=﹣24，公差d=3，從而得到Sn=（n﹣）2﹣，由此能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}中，a4=﹣15，公差d=3，∴a1=a4﹣3d=﹣15﹣9=﹣24，∴Sn=﹣24n+=（n﹣）2﹣，∴n=8或n=9時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取最小值S8=S9=﹣108．故答案為：﹣108．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．15.若函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在[－1,1]上的最大值與最小值的和為__________．參考答案：－3分析：先結(jié)合三次函數(shù)圖象確定在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的條件，求出參數(shù)a,再根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即得結(jié)果.詳解：由得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)且，所以，因此從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可利用函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)取值條件．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．16.觀察下列等式：由此猜測(cè)第個(gè)等式為

..參考答案：

17.已知函數(shù)f（x）=2f′（1）lnx﹣x，則f′（1）的值為．參考答案：1【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令x=1即可求出f′（1）的值．【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2f′（1）﹣1，令x=1得f′（1）=2f′（1）﹣1，即f′（1）=1，故答案為：1三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.如圖，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求證；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱錐C﹣BGF的體積．參考答案：解：（Ⅰ）證明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，則AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．（Ⅱ）證明：依題意可知：G是AC中點(diǎn)，∵BF⊥平面ACE，則CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中點(diǎn)．在△AEC中，F(xiàn)G∥AE，∴AE∥平面BFD．（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）∵G是AC中點(diǎn)，∴F是CE中點(diǎn)，且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．∴，∴略19.已知函數(shù)（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若存在，使成立，求的取值范圍；參考答案：（1）y=（e﹣1）x﹣1；（2）解析：（1）∵函數(shù)f（x）=ex﹣1﹣x．f′（x）=ex﹣1，f（1）=e﹣2，f′（1）=e﹣1．∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y﹣e+2=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x﹣1．（2）a＜ex﹣1﹣x，即a＜f（x）．令f′（x）=ex﹣1=0，x=0．∵x＞0時(shí)，f′（x）＞0，x＜0時(shí)，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，0）上減，在（0，+∞）上增．又時(shí)，∴f（x）的最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取到，，，∴，∴f（x）在上最大值為，故a的取值范圍是，略20.如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直線AE和平面PDB所成的角．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面所成的角；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（Ⅰ）判斷AC⊥面PBD，再運(yùn)用直線垂直直線，直線垂直平面問題證明．（II）根據(jù)題意得出AC⊥面PBD，運(yùn)用直線與平面所成的角得出∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 證明：（Ⅰ）∵四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，AC⊥BD，∵PD∩DB=D，∴AC⊥面PBD，∵PB?面PBD，∴AC⊥PB．（Ⅱ）連接EO，∵點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)，O為DB中點(diǎn)，∴OE∥PD，∵PD=2∴OE=1∵AC⊥面PBD，∴∠AEO直線AE和平面PDB所成的角∵底面ABCD是正方形，AB=，∴AC=2，AO=1，∴Rt△AEO中∠AEO=45°即直線AE和平面PDB所成的角45°點(diǎn)評(píng)：本題考查了棱錐的幾何性質(zhì)，直線與平面角的概念及求解，考查學(xué)生的空間思維能力，運(yùn)用平面問題解決空間問題的能力．21.已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱．(1)求圓C的方程；(2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值；(3)過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A、B，且直線PA與直線PB的傾斜角互補(bǔ)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：(1)設(shè)圓心C(a，b)，則解得則圓C的方程為x2＋y2＝r2.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2，故圓C的方程為x2＋y2＝2.(2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以·的最小值為－4(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)．(3)由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1一定是該方程的解，故可得xA＝．同理，xB＝，所以kAB＝＝＝＝1＝kOP，所以，直線AB和OP一定平行．22.(本小題滿分15分)如圖，四邊形是正方形，△與△均是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的平面角的正弦值.參考答案：（1）證明：∵是的中點(diǎn)，且，

∴.

∵△與△均是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

∴，.∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵四邊形是正方形，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………6′（2）解法1：作于，連接，∵⊥平面，平面∴.

∵，平面，平面，∴⊥平面.∵平面，∴.

∴∠為二面角的平面角.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，在Rt△中，，

在Rt△中，，，在Rt△中，.∴二面角的平面角的正弦值為.

…………