浙江省寧波市余姚小曹娥鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

浙江省寧波市余姚小曹娥鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，其一條漸近線方程為y=x，點(diǎn)在雙曲線上、則?=(

)A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由雙曲線的漸近線方程，不難給出a，b的關(guān)系，代入即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而可以求出F1、F2，及P點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量坐標(biāo)后代入向量?jī)?nèi)積公式即可求解．【解答】解：由漸近線方程為y=x知雙曲線是等軸雙曲線，∴雙曲線方程是x2﹣y2=2，于是兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（﹣2，0）和F2（2，0），且或、不妨令，則，∴?=故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，處理的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的性質(zhì)（頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、漸近線、實(shí)軸、虛軸等與a，b，c的關(guān)系），求出滿足條件的向量的坐標(biāo)后，再轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積運(yùn)算．2.已知

，則S1,S2,S3的大小關(guān)系為（

）A.S1＜S2＜S3

B．S2＜S1＜S3

C．S2＜S3＜S1 D．.S3＜S2＜S1 參考答案：B略3.已知（3，1）和（﹣4，6）在直線3x﹣2y+a=0的兩側(cè)，則a的取值范圍是(

)A．a(chǎn)＜1或a＞24 B．a(chǎn)=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7參考答案：C【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】將兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入直線方程中，只要異號(hào)即可．【解答】解：因?yàn)椋?，1）和（﹣4，6）在直線3x﹣2y+a=0的兩側(cè)，所以有（3×3﹣2×1+a）＜0，解得﹣7＜a＜24故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃知識(shí)的應(yīng)用．一條直線把整個(gè)坐標(biāo)平面分成了三部分，讓其大于0的點(diǎn)，讓其大于0的點(diǎn)以及讓其小于0的點(diǎn)．4.設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，則當(dāng)取得最小值時(shí)，x+2y﹣z的最大值為（）A．0 B． C．2 D．參考答案：C【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】將z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化簡(jiǎn)即可求得x+2y﹣z的最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z為正實(shí)數(shù)，∴=+﹣3≥2﹣3=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值為2．故選：C．5.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（

）A.(－2,0)∪(0,2) B.(－2,0)C.(0,2) D.(－2,0)∪(2,+∞)參考答案：D【分析】先令，對(duì)求導(dǎo)，根據(jù)題中條件，判斷函數(shù)單調(diào)性與奇偶性，作出的圖像，結(jié)合圖像，即可求出結(jié)果.【詳解】令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞增；又為奇函數(shù)，所以，因此，故為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減；因?yàn)?，所以，故；作出?jiǎn)圖如下：由圖像可得，的解集為.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于常考題型.6.已知全集，集合，那么集合的子集有（

）A.6個(gè)B.7個(gè)C.8個(gè)D.9個(gè)參考答案：C7.無(wú)窮數(shù)列1，3，6，10…的通項(xiàng)公式為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C

8.設(shè)全集，，,

則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.用更相減損術(shù)得111與148的最大公約數(shù)為（）A．1 B．17 C．23 D．37參考答案：D【考點(diǎn)】用輾轉(zhuǎn)相除計(jì)算最大公約數(shù)．【專題】計(jì)算題；綜合法；推理和證明．【分析】用更相減損術(shù)求111與148的最大公約數(shù)，先用大數(shù)減去小數(shù)，再用減數(shù)和差中較大的數(shù)字減去較小的數(shù)字，這樣減下去，知道減數(shù)和差相同，得到最大公約數(shù)．【解答】解：用更相減損術(shù)求111與148的最大公約數(shù)．148﹣111=37，111﹣37=7474﹣37=37，∴111與148的最大公約數(shù)37，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)，這是案例中的一種題目，這種題目解題時(shí)需要有耐心，認(rèn)真計(jì)算，不要在數(shù)字運(yùn)算上出錯(cuò)．10.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中所有元素的和為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，則A∩Z={0，1，2}，則A∩Z中所有元素的和為0+1+2=3，故選：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一條直線和一個(gè)平面所成的角為，則此直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)斜足的所有直線所成的角中最大的角是____________．參考答案：

解析：垂直時(shí)最大

12.已知，，若，或，則m的取值范圍是_________參考答案：首先看沒(méi)有參數(shù)，從入手，顯然時(shí)，；時(shí)，。而對(duì)，或成立即可，故只要，，(*)恒成立即可．①當(dāng)時(shí)，，不符合(*)式，舍去；②當(dāng)時(shí)，由<0得，并不對(duì)成立，舍去；③當(dāng)時(shí)，由<0，注意，，故，所以，即，又，故，所以，又，故，綜上，的取值范圍是。13.在的展開式中，若第七項(xiàng)系數(shù)最大，則的值可能是

▲

．參考答案：略14.拋物線形拱橋，當(dāng)水面離拱頂2米時(shí)，水面寬4米，若水面下降1米后，則水面寬是

米參考答案：15.已知向量，且，則

參考答案：或16.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是_________，切線的方程為_______________；參考答案：略17.已知拋物線，為其焦點(diǎn)，為拋物線上的任意點(diǎn)，則線段中點(diǎn)的軌跡方程是________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.二手車經(jīng)銷商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的某一型號(hào)二手汽車的使用年數(shù)x（0＜x≤10）與銷售價(jià)格y（單位：萬(wàn)元/輛）進(jìn)行整理，得到如表的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：使用年數(shù)246810售價(jià)16139.574.5（1）試求y關(guān)于x的回歸直線方程；（參考公式：=，=y﹣）（2）已知每輛該型號(hào)汽車的收購(gòu)價(jià)格為w=0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2萬(wàn)元，根據(jù)（1）中所求的回歸方程，預(yù)測(cè)x為何值時(shí)，小王銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤(rùn)L（x）最大？（利潤(rùn)=售價(jià)﹣收購(gòu)價(jià)）參考答案：【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)計(jì)算b，a，即可寫出回歸直線方程；（2）寫出利潤(rùn)函數(shù)L（x）=y﹣w，利用導(dǎo)數(shù)求出x=6時(shí)L（x）取得最大值．【解答】解：（1）由已知：，，…，，，…所求線性回歸直線方程為…（2）L（x）=y﹣w=﹣1.45x+18.7﹣（0.01x3﹣0.09x2﹣1.45x+17.2）=﹣0.01x3+0.09x2+1.5（0＜x≤10）…L′（x）=﹣0.03x2+0.18x=﹣0.03x（x﹣6）…x∈（0，6）時(shí)，L′（x）＞0，L（x）單調(diào)遞增，x∈（6，10]時(shí)，L′（x）＜0，L（x）單調(diào)遞減…所以預(yù)測(cè)x=6時(shí)，銷售一輛該型號(hào)汽車所獲得的利潤(rùn)L（x）最大．…19.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)（1，0），且與直線x=﹣1相切． （l）求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程 （2）是否存在直線l，使l過(guò)點(diǎn)（0，1），并與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，使以PQ為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？ 參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【專題】綜合題；方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 【分析】（1）如圖，設(shè)M為動(dòng)圓圓心，根據(jù)圓M與直線x=﹣1相切可得|MF|=|MN|，結(jié)合拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，從而解決問(wèn)題； （2）對(duì)“是否存在性”問(wèn)題，先假設(shè)存在，設(shè)直線l的方程為x=k（y﹣1）（k≠0），與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合根的判別式求出k的范圍，再利用向量垂直求出k值，看它們之間是否矛盾，沒(méi)有矛盾就存在，否則不存在． 【解答】解：（1）如圖．設(shè)M為動(dòng)圓圓心，F(xiàn)（1，0），過(guò)點(diǎn)M作直線x=﹣1的垂線，垂足為N， 由題意知：|MF|=|MN|… 即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F與定直線x=﹣1的距離相等， 由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中F（1，0）為焦點(diǎn)，x=﹣1為準(zhǔn)線， ∴動(dòng)點(diǎn)R的軌跡方程為y2=4x

… （2）由題可設(shè)直線l的方程為x=k（y﹣1）（k≠0）， 由得y2﹣4ky+4k=0△=16k2﹣16＞0，k＜﹣1或k＞1… 設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1+y2=4k，y1y2=4k 因?yàn)橐訮Q為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)， 則，即，于是x1x2+y1y2=0

… 即k2（y1﹣1）（y2﹣1）+y1y2=0， ∴ ∴4k（k2+1）﹣k24k+k2=0，解得k=﹣4或k=0（舍去） 又k=﹣4＜﹣1，∴直線l存在，其方程為x+4y﹣4=0… 【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查曲線與方程，直線和拋物線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求解存在性問(wèn)題的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力． 20.（本小題滿分12分）在數(shù)列中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）設(shè)，求證：為等比數(shù)列；（Ⅲ）求的前項(xiàng)積.參考答案：（Ⅰ）

-----------------------1分

-----------------------2分（Ⅱ）-----------------5分∴為等比數(shù)列，公比為

----------------------6分（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為

-----------------------8分∴，

-----------------------10分∴

-----------------------12分21.(本小題滿分16分)在等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則

成等差數(shù)列.(1)寫出這個(gè)命題的逆命題；(2)判斷這個(gè)命題的逆命題何時(shí)為真，并給出證明.參考答案：(1)這個(gè)命題的逆命題是：在等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列.

………3分(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為，則當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題的逆命題為假，………4分理由如下：因，若成等差數(shù)列，則，，顯然.

………7分

當(dāng)時(shí)，這個(gè)命題的逆命題為真，

………8分理由如下：因，，，若成等差數(shù)列，則，即，………10分也就是