2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市自力實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年遼寧省沈陽市自力實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2，則a8的值為(

)A．15 B．16 C．49 D．64參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題．【分析】直接根據(jù)an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）即可得出結(jié)論．【解答】解：a8=S8﹣S7=64﹣49=15，故選A．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的基本性質(zhì)，解題時要注意公式的熟練掌握．2.已知二面角的平面角是銳角，內(nèi)一點(diǎn)到的距離為3，點(diǎn)到棱的距離為4，那么的值等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D3.如果執(zhí)行右邊的程序框圖，那么輸出的S等于

（

）A、2550

B、2500

C、2450

D、2652參考答案：A略4.(理)現(xiàn)有2門不同的考試要安排在5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多進(jìn)行一門考試，且不能連續(xù)兩天有考試，那么不同的考試安排方案種數(shù)有

參考答案：C5.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置．【分析】把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得出圓心與半徑，進(jìn)而得到圓心的極坐標(biāo)方程．【解答】解：由圓，化為，∴，化為=，∴圓心為，半徑r=．∵tanα=，取極角，∴圓的圓心的極坐標(biāo)為．故選A．6.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，若4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則S4=（）A．7 B．8 C．16 D．15參考答案：D【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】利用a1=1，4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，求得等比數(shù)列的公比，即可求出S4的值．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則∵a1=1，4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，∴4q=4+q2，∴q=2∴S4=1+2+4+8=15故選D．7.已知集合,則A∩B=A.{0,1} B.{1} C.[0,1] D.(0,1]參考答案：A【分析】解不等式得集合A、B，根據(jù)交集的定義寫出．【詳解】解：集合,1,，，則,1．故選：A．8.已知三角形的三邊長分別為，設(shè)，則與的大小關(guān)系是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D略9.x=2是=0的（

）A

充分條件

B

必要條件C

充要條件

D既不充分也不必要條件參考答案：C略10.方程表示的曲線為

（

）A.直線

B.橢圓

C.雙曲線

D.拋物線參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.周長為3cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為_______cm3.參考答案：【分析】由已知中周長為3cm的矩形,繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱,我們設(shè)出圓柱的長和寬,然后可以寫出圓柱體積的表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)法,分析出體積取最大值時,自變量的值,代入即可求出圓柱體積的最大值.【詳解】解:矩形的周長為3cm設(shè)矩形的長為xcm,則寬為設(shè)繞其寬旋轉(zhuǎn)成一個圓柱,則圓柱的底面半徑為xcm,高為則圓柱的體積則當(dāng),則當(dāng)，則即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故當(dāng)圓柱體積取最大值此時故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是圓柱的體積,其中根據(jù)已知條件,設(shè)出圓柱的長和寬,然后可以寫出圓柱體積的表達(dá)式,是解答本題的關(guān)鍵.12.方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是______

_____

參考答案：13.

有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如右圖所示），，則這塊菜地的面積為_____________。參考答案：略14.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：01231357則與的線性回歸方程必過點(diǎn)______________.參考答案：15.已知向量，若∥，則______.參考答案：略16.已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=3x2+2xf′（2），則f′（5）=．參考答案：6【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】將f′（2）看出常數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．【解答】解：f′（x）=6x+2f′（2）令x=2得f′（2）=﹣12∴f′（x）=6x﹣24∴f′（5）=30﹣24=6故答案為：6【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、考查通過賦值求出導(dǎo)函數(shù)值．17.函數(shù)f（x），x∈R，滿足如下性質(zhì)：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，則f（2）=．參考答案：﹣3【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】推導(dǎo)出f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵函數(shù)f（x），x∈R，滿足如下性質(zhì)：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案為：﹣3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓，為右焦點(diǎn)，圓，P為橢圓C上一點(diǎn)，且P位于第一象限，過點(diǎn)P作PT與圓O相切于點(diǎn)T，使得點(diǎn)F，T在OP的兩側(cè).（Ⅰ）求橢圓C的焦距及離心率；（Ⅱ）求四邊形OFPT面積的最大值.參考答案：（Ⅰ）在橢圓：中，，，所以，故橢圓的焦距為，離心率．（Ⅱ）設(shè)（，），則，故． 所以，所以，．又，，故．因此．由，得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立.19.如圖所示，已知ABCD是直角梯形，，．（1）證明：；（2）若，求三棱錐的體積．參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）由題可得：,，可得：，即可證得，再利用證得，即可證得平面，問題得證。（2）利用及錐體體積公式直接計(jì)算得解?！驹斀狻浚?）由題可得：,所以所以又所以，又所以平面，又平面所以（2）【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明，考查了轉(zhuǎn)化能力及線面垂直的定義，還考查了錐體體積公式及計(jì)算能力，屬于中檔題。20.已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）通過離心率得到a、c關(guān)系，通過A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面積表達(dá)式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），由條件知，得?又，所以a=2?，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（Ⅱ）依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意，故設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，當(dāng)△=16（4k2﹣3）＞0，即時，從而??又點(diǎn)O到直線PQ的距離，所以△OPQ的面積=，設(shè)，則t＞0，，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，k=±等號成立，且滿足△＞0，所以當(dāng)△OPQ的面積最大時，l的方程為：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…21.如圖，在四面體A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD．M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．（1）證明：BC⊥CM；（2）證明：PQ∥平面BCD．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）由AD與平面BCD垂直，得到BC與AD垂直，進(jìn)而得到BC與平面ACD垂直，即可得證；（2）取BD的中點(diǎn)E，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3FC，連接PE，EF，QF，利用中位線定理得到PE與DM平行，進(jìn)而得到PE與AD平行，等于AD的四分之一，在三角形CAD中，根據(jù)題意得到DF與AD平行，且DF等于AD的四分之一，得到PE與DF平行且相等，進(jìn)而確定出四邊形EDQP為平行四邊形，得到PQ與EF平行，即可得證．解答： 證明：（1）∵AD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，且CD、AD?平面ACD，CD∩AD=D，∴BC⊥平面ACD，∵CM?平面ACD∴BC⊥CM；（2）取BD的中點(diǎn)E，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3FC，連接PE，EF，QF，∵P、E分別是BM、BD的中點(diǎn)，∴PE為△BDM的中位線，∴PE∥DM，且PE=DM，即PE∥AD，且PE=AD，在△CAD中，AQ=3QC，DF=3FC，∴QF∥AD，且QF=AD，∴PE∥QF，且PE=QF，∴四邊形EFQP為平行四邊形，∴PQ∥EF，∵EF?平面BCD，PQ?平面BCD，∴PQ∥平面BCD．點(diǎn)評：此題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面平行的判定，熟練掌握性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．22.如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且，，，且.（1）求平面PCD與平面ABPE所成的二面角的余弦值；（2）線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由.參考答案：（1）（2）當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時，直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于。試題分析：（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，所以直線，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,為平面的一個法向量，利用向量垂直的性質(zhì)列方程組求出平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（2）設(shè)，．由（1）知，平面的一個法向量為，利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可.試題解析：（1）因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEPAB，BP⊥AB，所以BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，所以直線BA，BP，BC兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，