中考數(shù)學三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強化練習十一（含答案）

中考數(shù)學三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強化練習十一LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋2交x軸于點A(﹣3，0)和點B(1，0)，交y軸于點C．已知點D的坐標為(﹣1，0)，點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，連接AP、PC、CD．(1)求這個拋物線的表達式．(2)點P為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，求四邊形ADCP面積的最大值．(3)①點M在平面內(nèi)，當△CDM是以CM為斜邊的等腰直角三角形時，求出滿足條件的所有點M的坐標；②在①的條件下，點N在拋物線對稱軸上，當∠MNC＝45°時，求出滿足條件的所有點N的坐標．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，已知直線y＝eq\f(4,3)x＋4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A，C兩點，且與x軸的另一個交點為B，對稱軸為直線x＝﹣1．(1)求拋物線的表達式；(2)D是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設點D的橫坐標為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時D點的坐標；(3)若點P在拋物線對稱軸上，是否存在點P，Q，使以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形？若存在，請求出P，Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣AB在x軸上，且AB＝8dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度OC＝8dm．現(xiàn)計劃將此余料進行切割：(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣AB上且面積最大，求此正方形的面積；(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣AB上且周長最大，求此矩形的周長；(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3dm的圓，請說明理由．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=mx2﹣(m＋n)x＋n(m＜0)的圖象與y軸正半軸交于A點．(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸必有兩個交點；(2)設該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點中右側的交點為點B，若∠ABO=45°，將直線AB向下平移2個單位得到直線l，求直線l的解析式；(3)在(2)的條件下，設M(p，q)為二次函數(shù)圖象上的一個動點，當﹣3＜p＜0時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，求m的取值范圍．LISTNUMOutlineDefault\l3已知拋物線y=a(x﹣2)2+c經(jīng)過點A(2，0)和C(0，eq\f(9,4))，與x軸交于另一點B，頂點為D．(1)求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；(2)如圖，點E，F(xiàn)分別在線段AB，BD上(E點不與A，B重合)，且∠DEF=∠A，則△DEF能否為等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；(3)若點P在拋物線上，且=m，試確定滿足條件的點P的個數(shù)．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸交于點A和點B(1，0)，與y軸交于點C(0，3)，其對稱軸I為x=﹣1．(1)求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；(2)若動點P在第二象限內(nèi)的拋物線上，動點N在對稱軸I上．①當PA⊥NA，且PA=NA時，求此時點P的坐標；②當四邊形PABC的面積最大時，求四邊形PABC面積的最大值及此時點P的坐標．LISTNUMOutlineDefault\l3如圖1，拋物線y=ax2＋bx＋3(a≠0)與x軸、y軸分別交于點A(﹣1，0)、B(3，0)、點C三點．(1)試求拋物線的解析式；(2)點D(2，m)在第一象限的拋物線上，連接BC、BD．試問，在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P，滿足∠PBC=∠DBC？如果存在，請求出點P點的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)如圖2，在(2)的條件下，將△BOC沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，記平移后的三角形為△B′O′C′．在平移過程中，△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S，設平移的時間為t秒，試求S與t之間的函數(shù)關系式？LISTNUMOutlineDefault\l3定義：若兩個函數(shù)的圖象關于某一點P中心對稱，則稱這兩個函數(shù)關于點P互為“伴隨函數(shù)”．例如，函數(shù)y＝x2與y＝﹣x2關于原點O互為“伴隨函數(shù)”．(1)函數(shù)y＝x＋1關于原點O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為，函數(shù)y＝(x﹣2)2＋1關于原點O的“伴隨函數(shù)”的函數(shù)解析式為；(2)已知函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G關于點P(m，3)互為“伴隨函數(shù)”．若當m＜x＜7時，函數(shù)y＝x2﹣2x與函數(shù)G的函數(shù)值y都隨自變量x的增大而增大，求m的取值范圍；(3)已知點A(0，1)，點B(4，1)，點C(2，0)，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)與函數(shù)N關于點C互為“伴隨函數(shù)”，將二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)與函數(shù)N的圖象組成的圖形記為W，若圖形W與線段AB恰有2個公共點，直接寫出a的取值范圍．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0中考數(shù)學三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強化練習十一（含答案）答案解析、綜合題LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋2交x軸于點A(﹣3，0)和點B(1，0)，∴拋物線的表達式為：y＝a(x＋3)(x﹣1)＝a(x2＋2x﹣3)＝ax2＋2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣eq\f(2,3)，故拋物線的表達式為：y＝﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x＋2；(2)連接OP，設點P(x，﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x＋2)，∵拋物線y＝﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x＋2交y軸于點C，∴點C(0，2)，則S＝S四邊形ADCP＝S△APO＋S△CPO﹣S△ODC＝＝eq\f(1,2)×3×(﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x＋2)＋eq\f(1,2)×2×(﹣x)﹣eq\f(1,2)×2×1＝﹣x2﹣3x＋2，∵﹣1＜0，S有最大值，∴當x＝﹣eq\f(3,2)時，S的最大值為eq\f(17,4)．(3)①如圖2，若點M在CD左側，連接AM，∵∠MDC＝90°，∴∠MDA＋∠CDO＝90°，且∠CDO＋∠DCO＝90°，∴∠MDA＝∠DCO，且AD＝CO＝2，MD＝CD，∴△MAD≌△DOC(SAS)∴AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，∴點M坐標(﹣3，1)，若點M在CD右側，同理可求點M'(1，﹣1)；②如圖3，∵拋物線的表達式為：y＝﹣eq\f(2,3)x2﹣eq\f(4,3)x＋2＝﹣eq\f(2,3)(x＋1)2＋eq\f(8,3)；∴對稱軸為直線x＝﹣1，∴點D在對稱軸上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴點D是MM'的中點，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴點M，點C，點M'在以MM'為直徑的圓上，當點N在以MM'為直徑的圓上時，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合題意，∵點C(0，2)，點D(﹣1，0)∴DC＝eq\r(5)，∴DN＝DN'＝eq\r(5)，且點N在拋物線對稱軸上，∴點N(﹣1，eq\r(5))，點N'(﹣1，﹣eq\r(5))延長M'C交對稱軸與N''，∵點M'(1，﹣1)，點C(0，2)，∴直線M'C解析式為：y＝﹣3x＋2，∴當x＝﹣1時，y＝5，∴點N''的坐標(﹣1，5)，∵點N''的坐標(﹣1，5)，點M'(1，﹣1)，點C(0，2)，∴N''C＝eq\r(10)＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴點N''(﹣1，5)符合題意，綜上所述：點N的坐標為(﹣1，eq\r(5))或(﹣1，﹣eq\r(5))或(﹣1，5)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)當x＝0時，y＝4，∴C(0，4)，當y＝0時，eq\f(4,3)x＋4＝0，∴x＝﹣3，∴A(﹣3，0)，∵對稱軸為直線x＝﹣1，∴B(1，0)，∴設拋物線的表達式：y＝a(x﹣1)(x＋3)，∴4＝﹣3a，∴a＝﹣eq\f(4,3)，∴拋物線的表達式為：y＝﹣eq\f(4,3)(x﹣1)(x＋3)＝﹣eq\f(4,3)x2﹣eq\f(8,3)x＋4；(2)如圖1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D(m，﹣eq\f(4,3)m2﹣eq\f(8,3)m＋4)，E(m，eq\f(4,3)m＋4)，∴DE＝﹣eq\f(4,3)m2﹣eq\f(8,3)m＋4﹣(eq\f(4,3)m＋4)＝﹣eq\f(4,3)m2﹣4m，∴S△ADC＝eq\f(1,2)DE?OA＝eq\f(3,2)(﹣eq\f(4,3)m2﹣4m)＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m＋8＝﹣2(m＋eq\f(3,2))2＋12.5，∴當m＝﹣eq\f(3,2)時，S最大＝12.5，當m＝﹣eq\f(3,2)時，y＝5，∴D(﹣eq\f(3,2)，5)；(3)設P(﹣1，n)，∵以A，C，P，Q為頂點的四邊形是以AC為對角線的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴(﹣1＋3)2＋n2＝1＋(n﹣4)2，∴n＝，∴P(﹣1，)，∵xP＋xQ＝xA＋xC，yP＋yQ＝y(tǒng)A＋yC∴xQ＝﹣3﹣(﹣1)＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q(﹣2，)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)如圖1，由題意得：A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，8)，設拋物線的解析式為：y＝ax2＋8，把B(4，0)代入得：0＝16a＋8，∴a＝﹣eq\f(1,2)，∴拋物線的解析式為：y＝﹣eq\f(1,2)x2＋8，∵四邊形EFGH是正方形，∴GH＝FG＝2OG，設H(t，﹣eq\f(1,2)t2＋8)(t＞0)，∴﹣eq\f(1,2)t2＋8＝2t，解得：t1＝﹣2＋2eq\r(5)，t2＝﹣2﹣2eq\r(5)(舍)，∴此正方形的面積＝FG2＝(2t)2＝4t2＝4(﹣2＋2eq\r(5))2＝(96﹣32eq\r(5))dm2；(2)如圖2，由(1)知：設H(t，﹣eq\f(1,2)t2＋8)(t＞0)，∴矩形EFGH的周長＝2FG＋2GH＝4t＋2(﹣eq\f(1,2)t2＋8)＝﹣t2＋4t＋16＝﹣(t﹣2)2＋20，∵﹣1＜0，∴當t＝2時，矩形EFGH的周長最大，且最大值是20dm；(3)若切割成圓，能切得半徑為3dm的圓，理由如下：如圖3，N為⊙M上一點，也是拋物線上一點，過N作⊙M的切線交y軸于Q，連接MN，過點N作NP⊥y軸于P，則MN＝OM＝3，NQ⊥MN，設N(m，﹣eq\f(1,2)m2＋8)，由勾股定理得：PM2＋PN2＝MN2，∴m2＋(﹣eq\f(1,2)m2＋8﹣3)2＝32，解得：m1＝2eq\r(2)，m2＝﹣2eq\r(2)(舍)，∴N(2eq\r(2)，4)，∴PM＝4﹣1＝3，∵cos∠NMP＝＝＝，∴MQ＝3MN＝9，∴Q(0，12)，設QN的解析式為：y＝kx＋b，∴，∴，∴QN的解析式為：y＝﹣2eq\r(2)x＋12，﹣eq\f(1,2)x2＋8＝﹣2eq\r(2)x＋12，eq\f(1,2)x2﹣2eq\r(2)x＋4＝0，Δ＝(﹣2eq\r(2))2﹣4×eq\f(1,2)×4＝0，即此時N為圓M與拋物線在y軸右側的唯一公共點，∴若切割成圓，能切得半徑為3dm的圓．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)令mx2﹣(m＋n)x＋n=0，則△=(m＋n)2﹣4mn=(m﹣n)2，∵二次函數(shù)圖象與y軸正半軸交于A點，∴A(0，n)，且n＞0，又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴△=(m﹣n)2＞0，∴該二次函數(shù)的圖象與軸必有兩個交點；(2)令mx2﹣(m＋n)x＋n=0，解得：x1=1，x2=eq\f(n,m)，由(1)得eq\f(n,m)＜0，故B的坐標為(1，0)，又因為∠ABO=45°，所以A(0，1)，即n=1，則可求得直線AB的解析式為：y=﹣x＋1．再向下平移2個單位可得到直線l：y=﹣x﹣1；(3)由(2)得二次函數(shù)的解析式為：y=mx2﹣(m＋1)x＋1．∵M(p，q)為二次函數(shù)圖象上的一個動點，∴q=mp2﹣(m＋1)p＋1．∴點M關于軸的對稱點M′的坐標為(p，﹣q)．∴M′點在二次函數(shù)y=﹣m2＋(m＋1)x﹣1上．∵當﹣3＜p＜0時，點M關于x軸的對稱點都在直線l的下方，當p=0時，q=1；當p=﹣3時，q=12m＋4；結合圖象可知：﹣(12m＋4)＜2，解得：m＞﹣eq\f(1,2)．∴m的取值范圍為：﹣eq\f(1,2)＜m＜0．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由題意：，解得，∴拋物線的解析式為y=﹣eq\f(3,16)(x﹣2)2+3，∴頂點D坐標(2，3)．(2)可能．如圖1，∵A(﹣2，0)，D(2，3)，B(6，0)，∴AB=8，AD=BD=5，①當DE=DF時，∠DFE=∠DEF=∠ABD，∴EF∥AB，此時E與B重合，與條件矛盾，不成立．②當DE=EF時，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE=AD=5③當DF=EF時，∠EDF=∠DEF=∠DAB=∠DBA，△FDE∽△DAB，∴=，∴==，∵△AEF∽△BCE∴==，∴EB=AD=，答：當BE的長為5或時，△CFE為等腰三角形．(3)如圖2中，連接BD，當點P在線段BD的右側時，作DH⊥AB于H，連接PD，PH，PB．設P[n，﹣eq\f(3,16)(n﹣2)2+3]，則S△PBD=S△PBH+S△PDH﹣S△BDH=eq\f(1,2)×4×[﹣eq\f(3,16)(n﹣2)2+3]+eq\f(1,2)×3×(n﹣2)﹣eq\f(1,2)×4×3=﹣eq\f(3,8)(n﹣4)2+eq\f(3,2)，∵﹣eq\f(3,8)＜0，∴n=4時，△PBD的面積的最大值為eq\f(3,2)，∵=m，∴當點P在BD的右側時，m的最大值=eq\f(3,10)，觀察圖象可知：當0＜m＜eq\f(3,10)時，滿足條件的點P的個數(shù)有4個，當m=eq\f(3,10)時，滿足條件的點P的個數(shù)有3個，當m＞eq\f(3,10)時，滿足條件的點P的個數(shù)有2個(此時點P在BD的左側)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵拋物線y=ax2＋bx＋c與x軸交于點A和點B(1，0)，與y軸交于點C(0，3)，其對稱軸I為x=﹣1，∴，解得：．∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2﹣2x＋3=﹣(x＋1)2＋4，∴頂點坐標為(﹣1，4)；(2)令y=﹣x2﹣2x＋3=0，解得x=﹣3或x=1，∴點A(﹣3，0)，B(1，0)，作PD⊥x軸于點D，∵點P在y=﹣x2﹣2x＋3上，∴設點P(x，﹣x2﹣2x＋3)①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD即y=﹣x2﹣2x＋3=2，解得x=eq\r(2)﹣1(舍去)或x=﹣eq\r(2)﹣1，∴點P(﹣eq\r(2)﹣1，2)；②∵S四邊形BCPA=S△OBC＋S△OAC=2＋S△APC∵S△AOC=4.5，S△OCP=eq\f(3,2)x，S△OAP=eq\f(3,2)|yP|=﹣eq\f(3,2)x2﹣3x＋eq\f(9,2)∴S△APC=S△OAP＋S△OCP﹣S△AOC=eq\f(3,2)x＋(﹣eq\f(3,2)x2﹣3x＋4.5)﹣4.5=﹣eq\f(3,2)x2﹣eq\f(3,2)x=﹣eq\f(3,2)(x﹣eq\f(1,2))2＋eq\f(3,8)，∴當x=﹣0.5時，S△ACP最大值=eq\f(3,8)，此時M(﹣0.5，﹣eq\f(15,4))，S四邊形PABC最大=eq\f(15,8)．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)將A(﹣1，0)、B(3，0)代入拋物線y=ax2＋bx＋3(a≠0)，，解得：a=﹣1，b=2．故拋物線解析式為：y=﹣x2＋2x＋3．(2)存在將點D代入拋物線解析式得：m=3，∴D(2，3)，令x=0，y=3，∴C(0，3)，∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如圖，設BP交y軸于點G，∵CD∥x軸，∴∠DCB=∠BCO=45°，在△CDB和△CGB中：∵∠∴△CDB≌△CGB(ASA)，∴CG=CD=2，∴OG=1，∴點G(0，1)，設直線BP：y=kx＋1，代入點B(3，0)，∴k=﹣eq\f(1,3)，∴直線BP：y=﹣eq\f(1,3)x＋1，聯(lián)立直線BP和二次函數(shù)解析式：，解得：或(舍)，∴P(﹣eq\f(2,3)，eq\f(11,9))．(3)直線BC：y=﹣x＋3，直線BD：y=﹣3x＋9，當0≤t≤2時，如下圖：設直線C′B′：y=﹣(x﹣t)＋3聯(lián)立直線BD求得F(3﹣eq\f(1,2)t，eq\f(3,2)t)，S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=eq\f(1,2)×2×3﹣eq\f(1,2)×t×t﹣eq\f(1,2)×(2﹣t)(3﹣eq\f(3,2)t)整理得：S=﹣eq\f(5,4)t2＋3t(0≤t≤2)．當2＜t≤3時，如圖：H(t，﹣3t＋9)，I(t，﹣t＋3)S=S△HIB=eq\f(1,2)[(﹣3t＋9)﹣(﹣t＋3)]×(3﹣t)整理得：S=t2﹣6t＋9(2＜t≤3)綜上所述：S=．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)∵兩個函數(shù)是關于原點O的“伴隨函數(shù)”，∴兩個函數(shù)的點分別關于原點中心對稱，設函數(shù)y＝x＋1上的任一點為(x，y)，則它的對稱點為(﹣