自控原理第四

自控原理第四2023/6/13《自動控制原理》第四章1第一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章2例單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：-1+2j01250-0.13-0.29-1-1+j-1-2j-1-j-1-1.707-1.866-2當(dāng)由零變化到無窮大時，閉環(huán)特征根所走的軌跡。第二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章3-1-212Kg=0Kg=1Kg=0Kg=2Kg=5-2-1Kg=2Kg=5KgKg第三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章4二.根軌跡方程

G(s)H(s)－+R(s)C(s)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程或根軌跡方程第四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章5三.幅值條件方程和相角條件方程

幅值條件:相角條件:或:充要條件第五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章6四.幅值條件和相角條件的應(yīng)用

例：開環(huán)傳遞函數(shù)為試判斷是否在根軌跡上，若在求出相應(yīng)的值。解：易驗證故不在根軌跡上，在根軌跡上，且根軌跡增益為第六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章7

第二節(jié)繪制根軌跡的基本法則一.根軌跡的連續(xù)性連續(xù)變化的曲線或直線二.根軌跡的對稱性 關(guān)于實軸對稱三.根軌跡的分支數(shù) 分支數(shù)=系統(tǒng)的階數(shù)四.根軌跡的起點和終點第七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章8證明：第八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章9五.實軸上的根軌跡

在實軸上，右方的實數(shù)開環(huán)極點和實數(shù)開環(huán)零點的總和為奇數(shù)時，此為根軌跡上點。第九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章10六.根軌跡的漸近線第十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章11證明：對于較遠(yuǎn)處漸近線上的點有第十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章12例：解：第十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章13七.根軌跡的分離點和會合點分離點：根軌跡在實軸上相遇后又分開的點會合點：根軌跡進入實軸相遇的點

分離點或會合點對應(yīng)于閉環(huán)特征方程的二重根多出現(xiàn)于實軸上若實軸上相鄰開環(huán)極點間有根軌跡，則必有分離點若實軸上相鄰開環(huán)零點間有根軌跡，則必有會合點若實軸上相鄰開環(huán)零極點間有根軌跡，則可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點第十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章14

重根法：根軌跡上的分離點、會合點即為特征方程的重根點。若記則根軌跡方程為第十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章15

極值法：

就實軸部分而言：（1）Kg=0增大時，當(dāng)Kg取最大值時，進入復(fù)平面，此時為分離點。（2）Kg增大時，從復(fù)平面進入實軸時Kg取最小值，以后Kg不斷增加。第十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章16例：解：第十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章17八.根軌跡的出射角和入射角

出射角:起始于開環(huán)復(fù)數(shù)極點的根軌跡在起點處的切線與正實軸的夾角第十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章18

入射角:根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角第十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章19例：解：第十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章20九.根軌跡與虛軸的交點令代入根軌跡方程令實部和虛部分別為零解之得到與虛軸的交點，并且可得臨界根軌跡增益第二十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章21例：解：第二十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章22十.閉環(huán)極點的和與積當(dāng)為系統(tǒng)的閉環(huán)極點隨著根軌跡增益的變化，若一些閉環(huán)極點向右移動，則另一些必向左移動第二十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章23十條法則：1.連續(xù)性2.對稱性3.分支數(shù)4.起點、終點5.實軸上的根軌跡6.漸近線7.分離點、會合點8.出射角、入射角9.虛軸交點10.閉環(huán)極點的和與積計算第二十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章24

第三節(jié)控制系統(tǒng)根軌跡的繪制一.單回路系統(tǒng)的根軌跡例：解：第二十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章25第二十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章26例：解：第二十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章27第二十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章28例：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：開環(huán)極點為漸近線與實軸的交點為傾角為與虛軸的交點為第二十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章29根軌跡的分離點、會合點：根軌跡的出射角：第二十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章30第三十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章31圓弧根軌跡：僅有兩個極點和一個零點，根軌跡離開實軸必是圓弧第三十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章32例：解：第三十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章33二.參量根軌跡(廣義根軌跡)除開環(huán)增益以外的其它參數(shù)變化時對系統(tǒng)的影響首先求出等效單回路開環(huán)傳遞函數(shù)

例：解：－+R(s)C(s)+－第三十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章34第三十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章35例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制

時系統(tǒng)的根軌跡。等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：第三十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章36第三十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章37三.多回路根軌跡特點：多參量方法：內(nèi)環(huán)參數(shù)取特定值，然后畫出系統(tǒng)的根軌跡（1）繪制局部閉環(huán)子系統(tǒng)的根軌跡；（2）固定局部參量值，得到多回路的開環(huán)零、極點分布情況，畫出根軌跡；（3）取不同的局部參量值，重復(fù)（1）-（2）。多回路根軌跡是一族曲線，根軌跡族第三十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章38四.正反饋回路的根軌跡(零度根軌跡)根軌跡方程為：G(s)H(s)++R(s)C(s)幅值條件：相角條件：第三十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章39需要修改的法則(1)法則5：實軸上根軌跡區(qū)間的右側(cè)實軸上，開環(huán)零點和極點之和應(yīng)為偶數(shù)；(3)法則8：根軌跡的出射角和入射角為：(2)法則6：根軌跡漸近線與正實軸的夾角為：(4)法則9：根軌跡與虛軸的交點：第三十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章40例：已知某正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制根軌跡。解：1．由于n=4,m=0,故根軌跡有四條分支；2．系統(tǒng)有四個開環(huán)極點無零點，四條分支均趨于無窮遠(yuǎn)處；3．實軸上的根軌跡區(qū)間為4．根軌跡的分離點得分離點為-2.225；第四十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章415．漸近線與實軸的交點和夾角為6．根軌跡與虛軸的交點，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為令解之得：(不符合題意)根軌跡與虛軸無交點第四十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章42大致根軌跡圖像為第四十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章43五.延遲系統(tǒng)的根軌跡延遲系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般形式為：幅值條件：相角條件：特點：根軌跡無窮多條第四十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章44第四節(jié)求取閉環(huán)系統(tǒng)零、極點的方法一.求取閉環(huán)系統(tǒng)極點的方法例：解：第四十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章45第四十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章46第四十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章47系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，其靜態(tài)誤差系數(shù)為：第四十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章48二.求取閉環(huán)系統(tǒng)零點的方法閉環(huán)系統(tǒng)零點一般為前饋傳遞函數(shù)的零點和反饋傳遞函數(shù)的極點。假設(shè)前饋傳遞函數(shù)為：反饋傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第四十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章49三.閉環(huán)零、極點分布與階躍響應(yīng)的定性關(guān)系第四十九頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章50

第五節(jié)增加開環(huán)零、極點對根軌跡的影響一.增加開環(huán)零點對根軌跡的影響（1）改變實軸上的根軌跡；（2）改變漸近線的條數(shù)、傾角和截距；（3）開環(huán)零點與附近的開環(huán)極點構(gòu)成開環(huán)偶極子；（4）根軌跡曲線向左偏移，改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能， 所加零點越靠近虛軸，影響越大。二.增加開環(huán)極點對根軌跡的影響（1）改變實軸上的根軌跡；第五十頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章51（2）改變漸近線的條數(shù)、傾角和截距；（3）改變根軌跡的分支數(shù)；（4）根軌跡曲線將向右偏移，不利于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，所增加的極點越靠近虛軸，影響越大。第五十一頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章52三.增加開環(huán)偶極子對根軌跡的影響開環(huán)偶極子：一對距離很近的開環(huán)零點、極點，他們的距離比他們的模值小一個數(shù)量級。作用：（1）對離它們較遠(yuǎn)的根軌跡形狀以及根軌跡增益沒有影響；（2）若位于s平面的原點附近，則會顯著提高穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)，提高系統(tǒng)的靜態(tài)性能。第五十二頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章53若增加的開環(huán)偶極子為，則加入開環(huán)偶極子后若極點比零點更靠近原點，則開環(huán)放大系數(shù)增大倍。第五十三頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章54第六節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡法分析舉例例1：解：第五十四頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章55第五十五頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章56例2隨動系統(tǒng)如圖所示，試分析參變量對系統(tǒng)性能的影響。計算時系統(tǒng)的性能指標(biāo)對系統(tǒng)性能的影響。計算系統(tǒng)的性能指標(biāo)和。第五十六頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章57解：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的根軌跡可得：第五十七頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章58當(dāng)系統(tǒng)的參變量為時，（3）若k>1,則系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)是振蕩的,例如若k>5,則系統(tǒng)的阻尼比，系統(tǒng)將出現(xiàn)嚴(yán)重超調(diào)。根軌跡圖分析：（1）在任意k值下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；（2）若k<1，則系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)是非振蕩的；第五十八頁，共六十五頁，編輯于2023年，星期三2023/6/13《自動控制原理》第四章59此時，極點為，閉環(huán)傳遞函數(shù)為