虛功原理微分形式的變分原理

虛功原理微分形式的變分原理第一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

當力學系統(tǒng)相對慣性系處于[靜]平衡時,必要條件的證明：對理想約束第二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

若系統(tǒng)的主動力虛功之和為零,充分條件的證明：對于受有理想約束的系統(tǒng)力學系統(tǒng)的約束是定常的,各質(zhì)點的無限小實位移必與其中一組虛位移重合,故系統(tǒng)的主動力和約束力的實功之和也滿足上式根據(jù)質(zhì)點系的動能定理說明系統(tǒng)開始時靜止,以后就會始終保持靜止第三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

幾點說明：(1)普適性.(2)在變動中尋找平衡的條件.例如單擺(3)與牛頓力學不同,分析力學的方法不是將注意力放在區(qū)分內(nèi)力和外力上,而是放在區(qū)分主動力和約束力上.第四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

如圖所示提升重物的裝置,以把手端點的弧坐標s為廣義坐標,設(shè)重物距地面高度為h,根據(jù)虛功原理如果知道h和s的函數(shù)關(guān)系,通過上式,就可求出(4)虛功原理中所說的主動力所做虛功之和為零,是對任意的虛位移而言的,而不是針對特殊的虛位移.由于虛功原理的方程中不出現(xiàn)約束力,因此不能由虛功原理求出約束力,但是,通過釋放約束或用不定乘子法,可以求出約束力第五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

二、廣義平衡方程據(jù)虛功原理,有為了得到廣義平衡方程,需要將虛功原理化為以廣義坐標表述的形式.展開后寫成在完整系中,第六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

推出,廣義平衡方程虛功原理又可敘述為:對于受完整的、定常的、理想約束的力學系統(tǒng),保持靜平衡的必要充分條件是所有的廣義力都為零.對于主動力均為有勢力的有勢系,有所以,廣義平衡方程成為代入虛功原理中,有第七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

三、虛功原理的應用

例題3如圖所示,勻質(zhì)桿OA,質(zhì)量為m1,長為l1,能在豎直平面內(nèi)繞固定的光滑鉸鏈O轉(zhuǎn)動,此桿的A端用光滑鉸鏈與另一根質(zhì)量為m2,長為l2的勻質(zhì)桿AB相連.在B端有一水平作用力.求處于靜平衡時,兩桿與鉛垂線的夾角1和

2.Al1Bl2Oxy1、判斷約束類型是否完整約束?是否理想約束?2、判斷自由度第八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

質(zhì)量為m的小環(huán)P被限制在一個半徑為R的光滑大圓環(huán)上,大圓環(huán)繞過大環(huán)中心的鉛垂軸以的角速度均勻轉(zhuǎn)動,以小環(huán)為系統(tǒng),試確定其自由度.質(zhì)點在球坐標系中用r,,描述非定常約束3、分析受力(主動力)ABOxy第九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

4、由虛功原理5、建立坐標系(必須是靜止坐標系)6、轉(zhuǎn)化成廣義坐標第十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

廣義力廣義力廣義平衡方程第十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

可求出系統(tǒng)處于靜平衡時1，2所滿足的方程:

所以第十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

[法二]先求出廣義力,再寫出平衡方程s=2,所以有2個廣義力

第十三頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

虛功原理主要用于求解：(1)系統(tǒng)的靜平衡位置；(2)維持系統(tǒng)平衡時作用于系統(tǒng)上的主動力之間的關(guān)系.第十四頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

應用虛功原理解題的主要步驟是：(1)明確系統(tǒng)的約束類型,看是否滿足虛功原理所要求的條件；(2)正確判斷系統(tǒng)的自由度,選擇合適的廣義坐標；(3)分析并圖示系統(tǒng)受到的主動力；(4)通過坐標變換方程,將虛功原理化成的形式,進而得出廣義平衡方程對有勢系,求出系統(tǒng)的勢能V后，可通過

得廣義平衡方程;(5)求解廣義平衡方程.第十五頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

四、利用虛功原理求約束力

1、利用釋放約束的方法求約束力例題4試求例題3中O處的約束力.代入虛功原理,得可解出約束力:第十六頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

2、不定乘子法.(拉格朗日乘數(shù)法)先設(shè)系統(tǒng)由1個質(zhì)點組成,受1個完整約束用3個直角坐標作為描述系統(tǒng)位置的變量.于是當系統(tǒng)平衡時,應滿足虛功原理乘待定常數(shù)(不定乘子)

，與前式相加,得

第十七頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

稱為不定乘子,又稱拉格朗日乘子.這種方法稱為不定乘子法.不定乘子是一個與約束力有關(guān)的量.第十八頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

將約束都釋放,并將約束力視為主動力,虛功原理成為即可知設(shè)想質(zhì)點被約束在一個光滑曲面上,其約束力為即說明約束力沿曲面的法線方向，第十九頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

一般性討論設(shè)一力學系統(tǒng)由n個質(zhì)點組成,受到k個完整約束的限制則3n個坐標中有k個是不獨立的.系統(tǒng)平衡時,應滿足虛功原理它們滿足k個由完整約束給出的方程:第二十頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

與k個約束方程聯(lián)立求解,k個與平衡位置坐標便可同時求出.稱為不定乘子,又稱拉格朗日乘子.這種方法稱為不定乘子法.

將k個完整約束都釋放,并將約束力都視為主動力,虛功原理成為第二十一頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

3n個坐標變分變成完全獨立的了,所以與比較不定乘子與約束力有密切關(guān)系.第二十二頁，共二十四頁，編輯于2023年，星期三§7-3虛功原理（微分形式的變分原理）

例題5一質(zhì)量為m的質(zhì)點P被限制在光滑球面上運動.已知球面的半徑為a,求質(zhì)點的平衡位置和約束力.[解]系統(tǒng):質(zhì)點建立原點在球心上的直角坐標系Oxyz,質(zhì)點的約束方程為s=2,但解題時仍以質(zhì)點的3個坐標x,y,z作為確定質(zhì)點位置的變量.它們的變分不獨立,