動(dòng)力學(xué)有限元詳解演示文稿

動(dòng)力學(xué)有限元詳解演示文稿當(dāng)前第1頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)優(yōu)選動(dòng)力學(xué)有限元當(dāng)前第2頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)3

問題描述現(xiàn)有一個(gè)薄壁圓筒，如圖所示。圓筒長度L為0.5m，壁厚t為5mm，內(nèi)徑R為0.2m，薄壁圓筒在其長度的中心處受一對(duì)沿著直徑方向的壓力F的作用，力的大小為1000N，求薄壁圓筒在受力點(diǎn)處的徑向位移，圓柱的兩端在邊界處自由。已知薄壁圓筒的彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。當(dāng)前第3頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)4梁單元板單元的應(yīng)用長寬均為1m的厚度為0.05m的鋼板，在兩邊和中間位置均焊接有加強(qiáng)筋，建立其有限元分析模型。當(dāng)前第4頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)第9章動(dòng)態(tài)分析有限元法9.1引言9.2動(dòng)力學(xué)有限元基本方程9.3質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣9.4結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型9.5結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)9.6動(dòng)力響應(yīng)算例當(dāng)前第5頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)9.1引言動(dòng)力學(xué)問題中最經(jīng)常遇到的是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題，它有兩類研究對(duì)象。一類是在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下工作的機(jī)械或結(jié)構(gòu)，例如，高速旋轉(zhuǎn)的電機(jī)，往復(fù)運(yùn)動(dòng)的內(nèi)燃機(jī)，以及高速運(yùn)行的飛行器，如何保證它們運(yùn)行的平穩(wěn)性及結(jié)構(gòu)的安全性是極為重要的研究課題。另一類是承受動(dòng)力載荷作用的工程結(jié)，例如建于地面的高層建筑和廠房，正確分析和設(shè)計(jì)這類結(jié)構(gòu)，在理論和實(shí)際上都是具有重要意義的。動(dòng)力學(xué)研究的另一重要領(lǐng)域是波在介質(zhì)中的傳播問題。當(dāng)前第6頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)有限元方程（剛度方程）：靜力學(xué)問題：[K]{δ}={F}當(dāng)前第7頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)靜力問題：1)靜止;2)勻速動(dòng)力問題：外載隨時(shí)間變化大當(dāng)前第8頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)動(dòng)態(tài)分析的必要性：當(dāng)產(chǎn)品受到隨時(shí)間變化的動(dòng)載荷時(shí)，需要進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，以了解產(chǎn)品動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)前第9頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)動(dòng)載荷（又稱動(dòng)力分析）固有特性分析響應(yīng)分析固有頻率振型位移響應(yīng)速度響應(yīng)加速度響應(yīng)動(dòng)應(yīng)變動(dòng)應(yīng)力固有特性：是一組模態(tài)參數(shù)構(gòu)成，它由結(jié)構(gòu)本身（質(zhì)量與剛度分布）決定，而與外部載荷無關(guān)，但決定了結(jié)構(gòu)對(duì)動(dòng)載荷的響應(yīng)；響應(yīng)分析：是計(jì)算結(jié)構(gòu)對(duì)給定動(dòng)載荷的各種響應(yīng)特性。當(dāng)前第10頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)以三維實(shí)體動(dòng)力分析為例，用有限元法求解的基本步驟如下：（1）連續(xù)區(qū)域的離散化（2）構(gòu)造插值函數(shù)由于只對(duì)空間域進(jìn)行離散，所以單元內(nèi)位移u,v,w的插值分別表示為:（9.1）其中當(dāng)前第11頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)（3）形成系統(tǒng)的求解方程（9.2）其中分別是系統(tǒng)的結(jié)點(diǎn)加速度向量和結(jié)點(diǎn)速度向量，M,C,K和Q(t)分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度和結(jié)點(diǎn)載荷向量。當(dāng)前第12頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)（4）求解運(yùn)動(dòng)方程（9.3）如果忽略阻尼的影響，則運(yùn)動(dòng)方程簡化為如果上式的右端項(xiàng)為零，則上式進(jìn)一步簡化為（9.4）這是系統(tǒng)的自有振動(dòng)方程，又稱為動(dòng)力特性方程。（5）計(jì)算結(jié)構(gòu)的應(yīng)變和應(yīng)力當(dāng)前第13頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)當(dāng)前第14頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的有限元法的實(shí)質(zhì)就是將一個(gè)彈性連續(xù)體的振動(dòng)問題，離散為一個(gè)以有限個(gè)節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)問題。其基本原理和分析方法類同靜力學(xué)的有限元法，按桿梁、薄板等不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。不同的是，應(yīng)用振動(dòng)理論建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，在單元分析中除需形成剛度矩陣外，還需形成質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣；在整體分析中，不僅求動(dòng)力響應(yīng)，還有求解特征值問題（結(jié)構(gòu)振動(dòng)的固有頻率及相應(yīng)的振動(dòng)型（或模態(tài)））當(dāng)前第15頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)從以上步驟可以看出，和靜力分析相比，在動(dòng)力分析中，由于慣性力和阻尼力出現(xiàn)在平衡方程中，因此引入了質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，最后得到求解方程不是代數(shù)方程組，而是常微分方程組。其它的計(jì)算步驟和靜力分析是完全相同的。關(guān)于二階常微分方程組的解法有兩類：直接積分法和振型疊加法。直接積分法是直接對(duì)運(yùn)動(dòng)方程積分。而振型疊加法是首先求解一無阻尼的自由振動(dòng)方程，然后用解得的特征向量，即固有振型對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式進(jìn)行變換。動(dòng)力分析的計(jì)算工作量很大，因此提高效率，節(jié)省計(jì)算工作量的數(shù)值方案和方法是動(dòng)力分析研究工作中的重要組成部分。目前兩種普遍應(yīng)用的減縮自由度的方法是Guyan減縮法和動(dòng)力子結(jié)構(gòu)法。當(dāng)前第16頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)從靜力學(xué)有限元法可知，有限元的基本思想是將彈性體離散成有限個(gè)單元，建立整體剛度平衡方程：關(guān)于靜力問題和動(dòng)力問題的區(qū)別，據(jù)達(dá)朗貝爾原理，動(dòng)力學(xué)問題只要在外力中計(jì)入慣性力后，便可按靜力平衡處理?？紤]到動(dòng)力問題中的載荷和位移均為時(shí)間的函數(shù)，上式可記為：由于動(dòng)力載荷可為作用于彈性體上的動(dòng)載荷，也可為彈性體的慣性力，也可為與速度相關(guān)的阻尼力，即：據(jù)慣性力定義表示為：如阻尼力正比與速度，則動(dòng)力學(xué)基本方程：9.2振動(dòng)基本方程的建立當(dāng)前第17頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)1、單元?jiǎng)偠汝嚾稳∫粋€(gè)單元，單元節(jié)點(diǎn)位移為，節(jié)點(diǎn)速度和加速度為：，則單元節(jié)點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)的位移[N]為形函數(shù)，與時(shí)間t無關(guān)，為X、Y、Z的函數(shù)，它與靜力分析中一樣；由于[N]與時(shí)間無關(guān)，則單元應(yīng)變矩陣，應(yīng)力矩陣仍與靜力分析完全相同：則剛度矩陣同樣與靜力情況相同：9.3單元質(zhì)量、阻尼、剛陣計(jì)算當(dāng)前第18頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)2、慣性力與單元質(zhì)量陣設(shè)單元節(jié)點(diǎn)加速度為，則單元內(nèi)任一點(diǎn)的加速度：設(shè)單元的質(zhì)量密度為，則單位體積中的慣性力為：負(fù)號(hào)表示慣性力與加速度相反。顯然，整個(gè)單元上慣性力即為上式的積分。如何將這個(gè)作用于單元上的慣性力移置到單元節(jié)點(diǎn)上，通常有兩種方法：1）虛功原理法——求得一致質(zhì)量矩陣2）直接分配法——即按重心不變?cè)瓌t分配，求得集中質(zhì)量矩。當(dāng)前第19頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)在動(dòng)態(tài)分析中，單元的質(zhì)量矩陣通常采用以下兩種形式。1、一致質(zhì)量矩陣按形成的單元質(zhì)量矩陣稱為一致質(zhì)量矩陣，因?yàn)樗捎昧撕蛣偠纫恢碌男魏瘮?shù)。這種質(zhì)量矩陣取決于單元的類型和形函數(shù)的形式。當(dāng)前第20頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)當(dāng)前第21頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)2、集中質(zhì)量矩陣集中質(zhì)量矩陣將單元的分布質(zhì)量按等效原則分配在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上，等效原則就是要求不改變?cè)瓎卧馁|(zhì)量中心，這樣形成的質(zhì)量矩陣稱為集中質(zhì)量矩陣。集中質(zhì)量矩陣是一個(gè)對(duì)角陣，當(dāng)前第22頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)當(dāng)前第23頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)集中質(zhì)量矩陣：是一個(gè)對(duì)角陣，因而可簡化動(dòng)態(tài)計(jì)算，減小存儲(chǔ)容量。利用這種矩陣計(jì)算出的結(jié)構(gòu)固有頻率偏低。不過有限元模型本身比實(shí)際結(jié)構(gòu)偏剛，兩者相互補(bǔ)償，計(jì)算出的固有頻率反而更接近真實(shí)值。一致質(zhì)量矩陣：由于分布較合理，因此可以求得更精確的振型，另外，整個(gè)模型的質(zhì)量分布還受網(wǎng)格劃分形式的影響。當(dāng)前第24頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)當(dāng)前第25頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)這里[M]為單元的一致質(zhì)量矩陣。顯然，對(duì)于不同的單元，因形函數(shù)不同，則質(zhì)量矩陣也是不同的。1）虛功原理法設(shè)單元中發(fā)生虛位移為則單元慣性力作的虛功為：單元節(jié)點(diǎn)上節(jié)點(diǎn)慣性力所作的功為：將和代入可得當(dāng)前第26頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)平面常應(yīng)變?nèi)切螁卧囊恢沦|(zhì)量陣為：單元質(zhì)量矩陣當(dāng)前第27頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)一般而言，一致質(zhì)量較準(zhǔn)確地反映了單元內(nèi)質(zhì)量分布的實(shí)際情況，集中質(zhì)量精度不如前者，但不存在耦合，使計(jì)算大大簡化，是工程中常用的方法。2）直接分配法將單元內(nèi)分布質(zhì)量按重心不變?cè)瓌t分配至單元節(jié)點(diǎn)上，所產(chǎn)生的質(zhì)量矩陣是沒有耦合項(xiàng)的對(duì)角矩陣。如六自由度的平面三角形單元，單元總質(zhì)量為W/g，則平均分配至三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的質(zhì)量所形成的質(zhì)量陣為：當(dāng)前第28頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)3、單元阻尼陣單元阻尼力主要指結(jié)構(gòu)阻尼力，它是由結(jié)構(gòu)內(nèi)部材料內(nèi)摩擦引起的阻尼。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為，則單位體積產(chǎn)生的阻尼力（即阻尼力密度）為：利用虛功原理同理可得：當(dāng)前第29頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)一旦單元?jiǎng)傟?、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣求得，則動(dòng)力學(xué)方程中的整體剛陣、質(zhì)量陣等可類似靜力分析的剛度矩陣組裝得到：當(dāng)前第30頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)計(jì)算結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的主要內(nèi)容，也是分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)和其它動(dòng)力特性問題的基礎(chǔ)。由于一般結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響極小，所以，求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型時(shí)，直接用無阻尼的自由振動(dòng)方程求解。即因任意彈性體的自由振動(dòng)都可分解為一系列的簡諧振動(dòng)的迭加：即結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)位移為為節(jié)點(diǎn)位移振幅向量（即振型），與時(shí)間t無關(guān)的位移幅值；為與該振型對(duì)應(yīng)的頻率。9.3結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)

當(dāng)前第31頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)1、固有頻率和振型計(jì)算將節(jié)點(diǎn)位移代入動(dòng)力方程，化簡得廣義特征值問題：由于結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的振幅不可能全為零，則稱為結(jié)構(gòu)的特征方程，即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型歸結(jié)為特征值問題。設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的自由度為n，則特征方程為的n次代數(shù)方程，其n個(gè)根稱為特征值，記為它們的平方根稱為系統(tǒng)的固有頻率，即將這些固有頻率從小到大依次排列為最低的頻率稱為基頻，它是所有頻率中最重要的一個(gè)。當(dāng)前第32頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)這個(gè)過程稱之為正規(guī)化利用正規(guī)化，可得2、特征向量對(duì)應(yīng)每個(gè)固有頻率，可有方程由此求得一組節(jié)點(diǎn)振幅不全為0的向量稱為特征向量，也稱為振型或模態(tài)向量。由于上述方程為齊次方程，顯然解不唯一，也就是說：振型的形狀是唯一的，但其振幅不是唯一的；或一個(gè)特征值可對(duì)應(yīng)有多個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量只對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值。實(shí)際中，常選特征向量使當(dāng)前第33頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)則對(duì)應(yīng)所有的特征值問題:3、特征向量的性質(zhì)正交性：任意兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。即設(shè)則有若將所有的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組裝成特征向量矩陣，即當(dāng)前第34頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)考慮到正規(guī)化:可進(jìn)一步記為：可簡記為矩陣形式：當(dāng)前第35頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)1、冪迭代法特點(diǎn)：用于計(jì)算最大（主）特征值十分有效。這里[D]稱為動(dòng)力矩陣，也即一個(gè)變換矩陣，它可將任一特征向量變換為一常數(shù)與其自身的乘積.9.4特征值問題的解法結(jié)構(gòu)固有頻率和振型的計(jì)算歸結(jié)為求的特征值和特征向量。由于有限元法將結(jié)構(gòu)離散為n個(gè)自由度，n一般相當(dāng)大，故n次特征方程的直接求解十分困難，常求其近似解，常用的求解方法有冪迭代法、逆迭代法、子空間迭代法等。當(dāng)前第36頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)由于任兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是正交的，則n個(gè)特征向量可組成特征向量空間中的一個(gè)特征向量基，其特征向量空間中的任一特征向量可表示為基向量的線性組合。即存在任一向量：設(shè)這個(gè)向量被[D]變換后形成一新的特征向量為：類推，可得：當(dāng)前第37頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)由于所有的特征值排列為：即存在考慮到問題為齊次方程，特征向量前的系數(shù)可以略去，則上式在p趨近無窮時(shí)，其第一項(xiàng)就趨近實(shí)際計(jì)算，只需迭代有限次即可得精確解。當(dāng)前第38頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)冪法迭代格式1、選初始特征向量，如單位向量2、構(gòu)造新特征向量，并歸一化3、計(jì)算特征值近似值4、計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂若需計(jì)算二階、三階等特征值，則需構(gòu)造新的動(dòng)力矩陣當(dāng)前第39頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)2、逆迭代法逆迭代法也稱為反冪法，類似于冪法，特征值問題改寫為：其具體迭代格式為：1）選初始向量如單位向量2）計(jì)算中間向量3）求解線性方程組4）歸一化5）計(jì)算特征值近似值6）計(jì)算相鄰兩次迭代的特征值誤差，檢查是否收斂當(dāng)前第40頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)9.5動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算對(duì)于受迫振動(dòng)，基本方程為求解此方程通常有兩種數(shù)值方法：振型迭加法和逐次積分法1、振型迭加法振型迭加法的基本思想是利用結(jié)構(gòu)固有振型的正交性，把結(jié)構(gòu)的復(fù)雜振動(dòng)分解為一組相互獨(dú)立的單自由度振動(dòng)（即解耦），從而求得結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)。設(shè)結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動(dòng)的各階固有頻率和相應(yīng)的固有振型為：則結(jié)構(gòu)任意時(shí)刻的受迫振動(dòng)產(chǎn)生的位移可認(rèn)為是n個(gè)固有振型為基的線性組合，即為組合系數(shù)，是時(shí)間t的函數(shù)，也稱為振形坐標(biāo)當(dāng)前第41頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)廣義質(zhì)量陣廣義阻尼陣廣義剛度陣廣義激振力上式可記為這里代入動(dòng)力學(xué)方程：左乘當(dāng)前第42頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)據(jù)正交性可知，這些廣義矩陣均為對(duì)角矩陣，即表示方程各個(gè)變量之間是沒有耦合項(xiàng)的，從而動(dòng)力方程轉(zhuǎn)化為n個(gè)相互獨(dú)立的單自由度振動(dòng)的動(dòng)力方程，即：分別求解這n個(gè)方程可求得從而求得動(dòng)力方程的位移解:進(jìn)而可求得速度、加速度。采用瑞利阻尼，即[C]=α[M]+β[K]當(dāng)前第43頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)2、逐次積分法基本思想：將時(shí)間t離散為n個(gè)區(qū)間，并假設(shè)在一個(gè)時(shí)間區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)為線性變化，由此，對(duì)加速度積分，可得速度和位移，一旦所有區(qū)間計(jì)算完畢，則求出結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。假設(shè)在至t的很小時(shí)間間隔內(nèi)，加速度線性變化：對(duì)積分，并引入初始條件待定積分常數(shù)將代入t時(shí)刻的動(dòng)力方程并整理后即可逐步求解各時(shí)刻的加速度，然后求出各時(shí)刻的速度和位移。當(dāng)前第44頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)3.直接積分法一、中心差分法

在中心差分法中，加速度和速度可以用位移表示，即（3.2）（3.1）中心差分法的遞推公式（3.3）上式是求解各個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)解的遞推公式，這種數(shù)值積分方法又稱為逐步積分法。當(dāng)前第45頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法需要指出，此算法有一個(gè)起步問題，為此利用(3.1)，(3.2)得到。將利用中心差分法逐步求解運(yùn)動(dòng)方程的算法步驟歸結(jié)如下：1.初始計(jì)算形成剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C。給定選擇時(shí)間步長△t，△t<△tcr，并計(jì)算積分常數(shù)計(jì)算形成有效質(zhì)量矩陣三角分解當(dāng)前第46頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法2.對(duì)于每一時(shí)間步長（t＝0，△t

，2△t…）計(jì)算時(shí)間t的有效載荷求解時(shí)間t＋△t的位移如果需要，計(jì)算時(shí)間t的加速度和速度當(dāng)前第47頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法關(guān)于中心差分法還需要著重指出一下幾點(diǎn)：中心差分法是顯式算法。中心差分法是條件穩(wěn)定算法。顯式算法用于求解由梁、板、殼等結(jié)構(gòu)單元組成的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)如果對(duì)角化后的質(zhì)量矩陣M中已略去了與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度相關(guān)的項(xiàng)，則M的實(shí)際階數(shù)僅是對(duì)于位移自由度的階數(shù)。中心差分法比較適合于由沖擊、爆炸類型載荷引起的波傳播問題的求解。對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題，一般說，采用中心差分法就不太適合。當(dāng)前第48頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法二、Newmark方法

在t～t＋△t的時(shí)間區(qū)域內(nèi)，Newmark積分法采用下列的假設(shè)（3.4）（3.5）其中α和δ是按積分精度和穩(wěn)定性要求決定的參數(shù)。另一方面，α和δ取不同數(shù)值則代表了不同的數(shù)值積分方案。Newmark方法中的時(shí)間t＋△t的位移解答at＋△t是通過滿足時(shí)間t＋△t的運(yùn)動(dòng)方程的。當(dāng)前第49頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法計(jì)算at＋△t的兩步遞推公式（3.6）將利用Newmark法逐步求解運(yùn)動(dòng)方程的算法步驟歸結(jié)如下：1.初始計(jì)算形成剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C。給定當(dāng)前第50頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法選擇時(shí)間步長△t及參數(shù)α和δ，并計(jì)算積分常數(shù)。這里要求：δ≥0.50，α≥0.25(0.5+δ)2形成有效剛度矩陣三角分解當(dāng)前第51頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)第3節(jié)直接積分法2.對(duì)于每一時(shí)間步長（t＝0，△t

，2△t…）計(jì)算時(shí)間t＋△t的有效載荷求解時(shí)間t＋△t的位移如果需要，計(jì)算時(shí)間t的加速度和速度當(dāng)前第52頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法關(guān)于Newmark法還需要著重指出一下幾點(diǎn)：Newmark法是隱式算法。關(guān)于Newmark法的穩(wěn)定性。以后將證明，當(dāng)δ≥0.50，α≥0.25(0.5+δ)2時(shí)，算法是無條件穩(wěn)定的。Newmark法適合于時(shí)程較長的的系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)分析。Newmark法的其它表達(dá)形式。Newmark法的另一種以為未知量的兩步遞推公式（3.7）當(dāng)前第53頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法Newmark法的以為未知量的三步遞推公式（3.7）其中Newmark法的兩步遞推公式和三步遞推公式中，令α＝0，δ＝1/2，就可以得到中心差分法的兩步和三步遞推公式。這樣一來，這兩種時(shí)間積分公式就采用了統(tǒng)一的表達(dá)形式，便于程序編制，特別時(shí)便于應(yīng)用在隱式－顯式混合時(shí)間積分方案種。當(dāng)前第54頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法例2

考慮一個(gè)三自由度系統(tǒng)。它的運(yùn)動(dòng)方程是（1）初始條件：當(dāng)t＝0時(shí)，已知此系統(tǒng)的固有頻率是：相應(yīng)的振動(dòng)周期是：T1＝1089，T2＝4.444，T3＝3.628。當(dāng)前第55頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法（1）用中心差分法求解系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間步長分別取△t＝T3/10＝0.363和△t＝5T3＝18.14進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于t＝0，可以計(jì)算得到然后按中心差分法所列步驟進(jìn)行計(jì)算?！鱰＝T3/10＝0.363時(shí)c0＝7.589，c1＝1.377，c2＝15.178，c3＝6.588e－2當(dāng)前第56頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法對(duì)于每一時(shí)間步長，先計(jì)算有效載荷（2）在從下列方程計(jì)算t＋△t時(shí)間的位移at＋△t（3）當(dāng)前第57頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)第3節(jié)直接積分法由上式得到的每一時(shí)間步長的位移結(jié)果如下：該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。當(dāng)前第58頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法△t＝5T3＝18.14時(shí)，按相同的步驟計(jì)算，所得結(jié)果如下:在計(jì)算下去，位移將繼續(xù)無限增大，這是不步穩(wěn)定的典型表現(xiàn)。當(dāng)前第59頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法（2）用Newmark法求解系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間步長分別取△t＝T3/10＝0.363和△t＝5T3＝18.14進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于t＝0，可以計(jì)算得到然后按Newmark法所列步驟進(jìn)行計(jì)算。給定α＝0.25及δ＝0.5?！鱰＝T3/10＝0.363時(shí)c0＝30.356，c1＝5.510，c2＝11.019，c3＝1.0c4＝1.0，c5＝0.0，c6＝0.1815，c7＝0.1815當(dāng)前第60頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)第3節(jié)直接積分法對(duì)于每一時(shí)間步長計(jì)算有效載荷然后求解時(shí)間t＋△t的位移at＋△t并計(jì)算時(shí)間t＋△t的加速度和速度當(dāng)前第61頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)直接積分法得到的每一時(shí)間步長的位移結(jié)果如下：該結(jié)果將在后續(xù)內(nèi)容中與精確解進(jìn)行比較。△t＝5T3＝18.14時(shí)，按相同的步驟計(jì)算，所得結(jié)果如下:當(dāng)前第62頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)振型疊加法振型疊加法在積分運(yùn)動(dòng)方程以前，利用系統(tǒng)自由振動(dòng)的固有振型將方程轉(zhuǎn)化為n個(gè)相互不耦合的方程，對(duì)這種方程可以解析或數(shù)值地進(jìn)行積分。當(dāng)采用數(shù)值方法時(shí)，對(duì)于每個(gè)方程可以采取各自不同的時(shí)間步長，即對(duì)于低階振型可采用較大的時(shí)間步長。這兩者結(jié)合起來相當(dāng)于直接積分法時(shí)很大的優(yōu)點(diǎn)，因此當(dāng)實(shí)際分析的時(shí)間歷程較長，同時(shí)只需要少數(shù)較低階振型的結(jié)果時(shí)，采用振型疊加法將時(shí)十分有利的。當(dāng)前第63頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)振型疊加法一、求解系統(tǒng)的固有頻率和固有振型此計(jì)算步驟是求解不考慮阻尼影響的系統(tǒng)自由振動(dòng)方程，即它的解可以假設(shè)為以下形式（4.1）其中，φ是n階向量，ω是向量φ的振動(dòng)頻率，t是時(shí)間變量，t0是由初始條件確定的時(shí)間常數(shù)。當(dāng)前第64頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)振型疊加法解方程確定φ和ω。特征向量φ1，φ2，…φn代表系統(tǒng)的n個(gè)固有振型。它們的幅度可按以下要求規(guī)定這樣規(guī)定的固有振型又稱為正則振型，今后所用的固有振型，只指這種正則振型。固有振型對(duì)于矩陣M是正交的。在有限元分析中，特別是動(dòng)力分析中，方程的階數(shù)很高而求解的特征解又相對(duì)較少的特征值問題，稱為大型特征值問題。（4.2）當(dāng)前第65頁\共有72頁\編于星期二\18點(diǎn)振型疊加法二、求解系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)1.位移基向量的變換引入變換（4.3）此變化的意義是a(t)看成是φi(