振型截斷法振動力學(xué)演示文稿

振型截斷法振動力學(xué)演示文稿當(dāng)前第1頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)振型疊加法中，需要求出各個階的固有頻率

和與之對應(yīng)的主振型，然后分析響應(yīng)x(t)。

若系統(tǒng)自由度數(shù)n很大時，及不便于也不可能全部求出。

若激勵頻率主要包含低頻成分，可撇去高階振型及固有頻率對響應(yīng)的貢獻(xiàn)，只利用較低的前面若干項(xiàng)及主振型近似分析系統(tǒng)的響應(yīng)，這就是工程上常采用的振型截斷法。振型疊加法振型截斷法撇去高階及對響應(yīng)的貢獻(xiàn)利用較低的前面若干項(xiàng)

及振型截斷法振型位移法振型加速度法主要知識點(diǎn)：1）以上兩類方法的介紹及對比；2）如何進(jìn)行截斷，即階數(shù)s的確定。當(dāng)前第2頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)

若記由前知，有坐標(biāo)變換公式：

(i=1,2，……，s)假設(shè)已求得系統(tǒng)較低的前s階固有頻率(i=1,2，……，s)及相應(yīng)的主振型(i=1,2，……，s)，由第4章知系統(tǒng)在第i個主坐標(biāo)的響應(yīng)為：1.振型位移法則有：

當(dāng)前第3頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)撇去高階振型部分，就可以得到下列近似的系統(tǒng)響應(yīng)：其中由于在上式中響應(yīng)是由主振型及主坐標(biāo)的位移疊加組成的，因而這種振型截斷法稱為振型位移法。如果考慮系統(tǒng)的阻尼，并且假定其主阻尼矩陣是對角陣，那么只需要確定前s階的振型阻尼比(i=1,2,…,s)，而將高階的陣型阻尼比(i=s+1,s+2,…,n)都假定為零，即有：這時，第i(i=1,2，……，s)個主坐標(biāo)的響應(yīng)式為：1）考慮阻尼時，系統(tǒng)的響應(yīng)：當(dāng)前第4頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)而表示系統(tǒng)的阻尼矩陣的表達(dá)式為：上式可變?yōu)椋阂阎獜?qiáng)迫振動的振動方程為：2.振型加速度法當(dāng)前第5頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)將式（5.89）代入上式，并結(jié)合下式：可得到系統(tǒng)的響應(yīng)近似地為：上式右端第一項(xiàng)是偽靜態(tài)響應(yīng)，第二項(xiàng)是由前s階主振型及主坐標(biāo)的加速度疊加而成的，因而這種方法稱為振型加速度法。由于第二項(xiàng)有存在，比較起振型位移法，振型加速度法改善了收斂性，即可用更少的主振型和固有頻率求出同樣精度的響應(yīng)。式（5.94）中的可以用積分號下的微分法算出為：當(dāng)前第6頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)利用分部積分，上式也可寫為(備后用)：當(dāng)考慮阻尼時，式（5.93）成為：將式（5.89）代入上式，近似地得：結(jié)合第四章公式：故而由式（5.92）及主振型的正交性，上式右端第二項(xiàng)為：2）考慮阻尼時，系統(tǒng)的響應(yīng)：當(dāng)前第7頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)于是系統(tǒng)的響應(yīng)近似地為：當(dāng)前第8頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)下面通過例5.8來觀察使用振型截斷法時如何選取陣型的個數(shù)s。例5.8：如下圖所示，四層樓建筑，簡化為剛性樓板和彈性支柱。其余四張為不同的振型圖。已知：頂層樓板上作用有簡諧激振力：；若激振頻率分別為：

1）；2）；3）分別用振型位移法和振型加速度法計算頂層樓板的響應(yīng)。當(dāng)前第9頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)其中各主振型的歸一化是使最大的元素為1。系統(tǒng)剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、固有頻率及振型矩陣已知如下。當(dāng)前第10頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)解：由公式求出主質(zhì)量、主剛度：已知激振力向量為：由第4章知：假設(shè)簡諧激振力P(t)與響應(yīng)同頻率，即：其中是激振力幅的常數(shù)列向量；則系統(tǒng)在主坐標(biāo)下對該激振力的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值為：故激振力幅為：當(dāng)前第11頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)又由第4章知，此時主坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：（1）當(dāng)采用陣型位移法時，系統(tǒng)的的響應(yīng)近似為：其中頂層樓板的響應(yīng)為：因?yàn)檎裥童B加法有n項(xiàng)，下面只截取前4項(xiàng)，將寫出；并指出當(dāng)所截取振型個數(shù)為s=1,s=2及s=3時的響應(yīng)部分，即：其中當(dāng)前第12頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)此時，激振頻率分別?。簩⑸鲜鲰攲訕前宓捻憫?yīng)表示為：下表列出了不同頻率下系數(shù)的值：當(dāng)前第13頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)可以看出：

當(dāng)振型個數(shù)取s=1時，振型位移法得到的響應(yīng)對三種激振頻率的任何一種都存在較大的誤差；

取s=3時，響應(yīng)在時是相當(dāng)精確的，但在時，響應(yīng)的誤差任較大。這是因?yàn)榻咏冢ㄇ埃?，第四階主坐標(biāo)的響應(yīng)在中占重要成分，而振型截斷法卻沒有包括它。（2）當(dāng)采用振型加速度法計算響應(yīng)時，先算出柔度矩陣：當(dāng)前第14頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)由式（5.94），頂層樓板的響應(yīng)近似為：將式(a)代入上式，得：為與精確解比較，仍將上式按（c）的形式寫為：當(dāng)前第15頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)將上述頂層樓板的響應(yīng)表示為：下表列出了不同頻率下系數(shù)的值：從上表可以看出：

對于的靜態(tài)載荷，振型加速度法得到精確解，實(shí)際上由式(d)得知，這個精確解是由偽靜態(tài)響應(yīng)給出的；對于的低頻情況，振型個數(shù)取s=1時已經(jīng)得到相當(dāng)好的近似解；取s=2時，響應(yīng)的精度相當(dāng)于振型位移法中取s=3時的精度；而時，出于與振型位移法相同的原因，振型加速度法同樣得不到精度較好的解。當(dāng)前第16頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)根據(jù)上例可知，在使用振型截斷法求系統(tǒng)響應(yīng)時，必須把分布在激振頻率附近的固有頻率所對應(yīng)的主振型都包括在內(nèi)。工程實(shí)踐當(dāng)中，當(dāng)計入激振頻率值±20%范圍內(nèi)的固有頻率對應(yīng)的主振型時，一般已能得到較好的近似解。另，有結(jié)論：對于低頻激振力，振型加速度法求出的響應(yīng)比振型位移法所得到的更好一些。

下面以無阻尼系統(tǒng)為例說明原因：第4章有公式：從而得將上式代入(5.94)，得到：當(dāng)前第17頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)根據(jù)第4章柔度矩陣的模態(tài)展開式可知，上式右端第二項(xiàng)圓括號中的部分可以寫為：于是式(5.100)可表示為：稱為剩余柔度矩陣，上式右端第二項(xiàng)正是振型加速度法比振型位移法多出的部分。先考慮振型位移法中撇去的高階振型部分：當(dāng)前第18頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)對于低頻激振力，當(dāng)(i=s+1,s+2,…，n)時，上式近似為正因?yàn)檎裥图铀俣确ㄖ性鎏砹藢Ω唠A振型部分的近似項(xiàng)，因而求出的響應(yīng)比振型位移法求出的要好。振型截斷法中包括的主振型個數(shù)不僅與激振頻率有關(guān)，而且與激振力的空間分布有關(guān)。

如果某些主振型與激振力正交，那么即使這些主振型對應(yīng)的固有頻率接近激振頻率，它們也不會被激發(fā)，例如在對稱結(jié)構(gòu)上施加對稱的激振力，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的反對稱型主振型就不會被激發(fā)，因此振型截斷法中就無需包括它們。當(dāng)前第19頁\共有20頁\編于星期二\7點(diǎn)

小結(jié)：（1）振型截斷法也是近似解法，且對激振頻率