向量及其線性運(yùn)算

數(shù)量關(guān)系

—第八章第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何

在三維空間中:空間形式

—點(diǎn),

線,

面基本方法

—坐標(biāo)法;向量法坐標(biāo),方程（組）空間解析幾何與向量代數(shù)當(dāng)前第1頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算第一節(jié)一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影向量及其線性運(yùn)算第八章當(dāng)前第2頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.零向量：模長為0的向量.||向量的模：向量的大小.單位向量：一、向量的概念或或或當(dāng)前第3頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.當(dāng)前第4頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)規(guī)定:零向量與任何向量平行

;平行向量：若向量

a與

b方向相同或相反,a與

b平行,

a∥b;記作則稱

向量共線：當(dāng)兩個平行向量的起點(diǎn)放在同一

點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)應(yīng)在一條直線上.因此，兩向量平行又稱兩向量共線.時(shí)，如果個終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個平面上.就稱這個向量共面.向量共面：當(dāng)把個向量的起點(diǎn)放在同一

點(diǎn)當(dāng)前第5頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)二、向量的線性運(yùn)算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律:交換律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個向量相加.當(dāng)前第6頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)當(dāng)前第7頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)2.向量的減法三角不等式一般地，任給向量及點(diǎn)當(dāng)前第8頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)3、向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：當(dāng)前第9頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)例1.設(shè)M為解:ABCD對角線的交點(diǎn),當(dāng)前第10頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.兩個向量的平行關(guān)系當(dāng)前第11頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)證充分性顯然；必要性‖兩式相減，得當(dāng)前第12頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.

坐標(biāo)原點(diǎn)

坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點(diǎn)o,

坐標(biāo)面

卦限(八個)zox面1.空間直角坐標(biāo)系的基本概念Ⅰ當(dāng)前第13頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)2.向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下,沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量.此式稱為向量r

的坐標(biāo)分解式,任意向量

r可用向徑

OM表示.當(dāng)前第14頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)向徑在直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

P,Q,R;坐標(biāo)面上的點(diǎn)

A,B,C點(diǎn)

M特殊點(diǎn)的坐標(biāo):有序數(shù)組(稱為點(diǎn)M

的坐標(biāo))原點(diǎn)

O(0,0,0);當(dāng)前第15頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)坐標(biāo)軸:

坐標(biāo)面:當(dāng)前第16頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)則平行向量對應(yīng)坐標(biāo)成比例:當(dāng)前第17頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)例2.已知兩點(diǎn)在AB直線上求一點(diǎn)

M,使解:

設(shè)

M

的坐標(biāo)為如圖所示及實(shí)數(shù)得即當(dāng)前第18頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)說明:由得定比分點(diǎn)公式:點(diǎn)

M為

AB

的中點(diǎn),于是得中點(diǎn)公式:當(dāng)前第19頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)五、向量的模、方向角、投影

1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點(diǎn)間的距離公式:對兩點(diǎn)與當(dāng)前第20頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)例3.在

z

軸上求與兩點(diǎn)等距解:設(shè)該點(diǎn)為解得故所求點(diǎn)為及思考:(1)如何求在xoy

面上與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點(diǎn)的軌跡方程?離的點(diǎn).當(dāng)前第21頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)提示:(1)設(shè)動點(diǎn)為利用得(2)設(shè)動點(diǎn)為利用得且例4.已知兩點(diǎn)和解:求當(dāng)前第22頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)解所求向量有兩個，一個與同向，一個反向或當(dāng)前第23頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)2.方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量

任取空間一點(diǎn)

O,稱

=∠AOB(0≤≤)為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標(biāo)軸方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.的夾角,,為其方向角.當(dāng)前第24頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)方向余弦的性質(zhì):當(dāng)前第25頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)例6.已知兩點(diǎn)和的模、方向余弦和方向角.解:計(jì)算向量當(dāng)前第26頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)例7.設(shè)點(diǎn)

A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點(diǎn)

A

的坐標(biāo).則因點(diǎn)

A

在第一卦限,故于是故點(diǎn)

A

的坐標(biāo)為

向徑

OA

與

x

軸

y軸的夾

當(dāng)前第27頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)解當(dāng)前第28頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)當(dāng)前第29頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)3.向量在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影當(dāng)前第30頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)空間向量在軸上的投影稱為向量在軸上的分向量.設(shè)數(shù)稱為向量在軸上的投影，記作或當(dāng)前第31頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)設(shè)則或記作向量投影的性質(zhì)性質(zhì)1其中為向量與軸的夾角性質(zhì)2性質(zhì)3當(dāng)前第32頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)例8一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)，它在軸、

軸、軸上的投影依次為.求這向量的起點(diǎn)的坐標(biāo).解

設(shè)

的坐標(biāo)為由已知可得所以即解例9已知，它與的夾角為，求.當(dāng)前第33頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)解當(dāng)前第34頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結(jié)向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).向量在軸上的投影與投影定理.當(dāng)前第35頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)思考題1已知平行四邊形ABCD的對角線試用表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量.解答當(dāng)前第36頁\共有43頁\編于星期二\4點(diǎn)思考題2解答對角線的長為當(dāng)前第37頁\共有43頁\