圓錐曲線中的焦點(diǎn)三角形1259

..學(xué)習(xí).資料.焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形問題是重要考點(diǎn)，考到的容有：橢圓或雙曲線定義和正余弦定理以及面積公式等。常與曲線的離心率相結(jié)合，注意平面幾何知識的應(yīng)用。一：橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓的焦點(diǎn)三角形是指以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F,◎與橢圓上任意一點(diǎn)P為頂點(diǎn)組成的三角形。x2,y21(a>b>0)a2b2y\Pf■Px性質(zhì)有:1)IPFI+1PF1=2a12(2)4c2=|PFI2,IPFI2-21PFIIPFIcos?FPF121212(3丿橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角以橢圓短軸頂點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角最大.x2y2證明：設(shè)P是橢圓—+-=1(a>b>0，c為半焦距丿上的一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，E、F是a2b2|PF|=n4b2一2mn2b,2b2~==——一1…——一1，=m，m2+n2一4c2則cos?EPF=橢圓的兩焦點(diǎn)，PE2mn2mnmna2?EPF有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)取到該最大值。由余弦函數(shù)圖象性質(zhì)知(4丿設(shè)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，角?F1F2P=a，?F2F1p=p,?fpf，則有離心21sin(a,p)率e=sina,sinp'S=b2apf1F21,cos0sin0|0=b2tan—2證明：由正弦定理得:Iff12PF2PF1|FF|由等比定理得：—sin(a,p)2csin(180o-a-p)sinasinpPF,IPFI=[I21|FF|而.1_2sin(a,p)sin(a,p)'csin(a,p)e=a例題：sina,sinp°sina,sinpPF,PF12asina+sinpsina+sinpx2y2圓+-=1(a,b>°)的兩個(gè)焦點(diǎn)F,F，a2b212414x2PF丄PF,1PFl=-,1PF1=.求橢圓的方程—121323914x2y2-,=194點(diǎn)八"、在橢圓上，且..學(xué)習(xí)?資料.x2y22、設(shè)P為橢圓一+二=1(a,b,0)上一點(diǎn)，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，如果ZPFF=75。,a2b21212，則橢圓的離心率為(Tx2ZPFF=152」2A、2B．C、至3）_D、633、F、1?AFF12F2的面積為(A．7是橢圓-9+B．y2—€1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且ZAFF€45o,則712)74x24、F、f是橢圓+12x軸的距離為A、163y2€16-1的兩個(gè)焦點(diǎn)，A為橢圓上一點(diǎn)，且ZFAF€90°,，1~B．16C．1616or—35D、非上述答案F2分別是橢圓x2y225+16€1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)，1F,P2是直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，則P點(diǎn)到x軸的距離是16A.—316B.5c.16或1653D.非上述答案f分別是橢圓25+善€1的左、右焦點(diǎn),2259P為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)，1F,P2是是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則P點(diǎn)到X軸的距離是TOC\o"1-5"\h\z9999A.丁B.C.或D.非上述答案45547、過橢圓左焦點(diǎn)F，傾斜角為3的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|fA€2|FB|，則橢圓的離心率為(構(gòu)造焦點(diǎn)三角形，兩次應(yīng)用余弦定理，整體處理余弦定理的結(jié)果丿x2y2&已知Rt?ABC，AB=AC=h點(diǎn)C為橢圓—+-—€1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，且AB為a2b2經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的弦，求橢圓的離心率。x2y2ac一點(diǎn)P使€一點(diǎn)使sinZPFFsinZPFF1221A.（遼—1,1）B.（詔—1,1）TOC\o"1-5"\h\z9、已知橢圓—+—€1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F(ac一點(diǎn)P使€一點(diǎn)使sinZPFFsinZPFF1221A.（遼—1,1）B.（詔—1,1），則該橢圓的離心率的取值圍為()C.心一E2二：雙曲線的焦點(diǎn)三角形雙曲線的焦點(diǎn)三角形是指以雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F,?與雙曲線上任意一點(diǎn)P為頂點(diǎn)組成的..學(xué)習(xí).資料.IPFI+IPFI=2a124c2=IPF|2+IPF|2—21PFIIPFIcos?FPF121212設(shè)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，角?FFP=a,?FFP=B,?FPF=0，則12—“"有離心率e=_s!n^(…>p),ssin…一sinpAPF\F221sin0=b2-1—cos0tan—2⑷例題:y21、設(shè)P為雙曲線x2—一=1上的一點(diǎn)1^2IPFI:IPF1=3:2,則△PFF的面積為(1212a-6鶯3B-12C-1^/52、已知F,F2為雙曲線C:X2—y2=2的左右焦點(diǎn),cos?FPF121A--4b-5y23、雙曲線x2-飛=1的焦點(diǎn)為件、F2,,F,F是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若12)D-24點(diǎn)P在C上,IPF1=21PFI,則124D--5點(diǎn)M在雙曲線上且碼-匹=0，則點(diǎn)M到X軸的距離為(4A?一34、已知F、1一P到x軸的距離為7376(A)丁(B)亍B.53F2為雙曲線C：X2—y2=1的左、D.空3右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上，厶FPF=60。,則12(C)<3(D)話X2y25、設(shè)F1,F2分別是雙曲線——一=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在12a2b2A-\3+1B-壽+1C筋+QD-"6+邁2^2一點(diǎn)P,使(OP+OF2)-FP=0,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且IPF]I=€3IPF2I，則該雙曲線的離心率為x2y26、設(shè)點(diǎn)P是雙曲線二一—=1(a,,b,0)與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點(diǎn),巴、b21右焦點(diǎn)，且IPF1=31PFI,則雙曲線的離心率B、邁C^10D、迺22a2F2分別是雙曲線的左、7、過雙曲線乂—蘭a2b2E，延長FE交雙曲線于點(diǎn)P,O為原點(diǎn)，若OE=2(OF+OP),則雙曲線的離心率為1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)作圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為&已知F、F分別為雙曲線C：—=1?a>b>0…的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右12a2b2支上一點(diǎn),滿足IPF1=1FFI,且F到直線PF的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線2122153的離心率為9、已知F、F分別為雙曲線C:——二=1?a,b,0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在12a2b2一點(diǎn)P,滿足IPFI=2IPFI，則該雙曲線的離心率圍為(1,3]1210、已知F,F2為離心率為2的雙曲線的左右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,IPFI=2IPFI,則cosZPFF=211A、-41322B、C、D、354311、設(shè)F,F分別是雙曲線x2一=1的左、右焦點(diǎn)'若點(diǎn)P在雙曲線上，且PF?PF=°,12912|pf+pf|=(A、加B、2押x2y212、設(shè)F,F分別是雙曲線———廠=1的左、右焦點(diǎn)，A,B是圓x2+y2=a2+b2與雙曲12a2b2線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且AABF為等邊三角形，則該雙曲線的離心率A、遷B、\；3C悝+1D、耳13、已知P是雙曲線——芋=1?a,0,b,0)右支上一點(diǎn),F、F分別是雙曲線的左、a2b212右焦點(diǎn),I為APF1F2的心，若SAIPFAIPF2成立，則該雙曲線的離心率為A.4C.2D.2*214、已知P是雙曲線扌-苓=1上一點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若1PFJ=5..學(xué)習(xí)?資料.則IPF|€1or92x2y215、已知P是雙曲線~4—12=1上一點(diǎn)，F(xiàn),?分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若1pF|€5則丨PF|€92練習(xí)：X2y2已知雙曲線一€1a2b2(a>0,b>0)練習(xí)：X2y2已知雙曲線一€1a2b2(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F(—c，0),F2(C，°)，若雙曲sin,PFFa線上存在一點(diǎn)P滿足咔€，則該雙曲線的離心率的取值圍sm,PFFc21(1,1+、◎)x2y216、已知雙曲線——一€1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F、F，點(diǎn)A在雙曲線第一象a2b212限的圖象上，若厶AF1F2的面積為X且tan,AF1F2€2，tan，AF2F1€—2，則雙曲線方程為12x2c15x2y2A、—3y2€1B丿1T_T_1C、3x2—竽€1x2y217、設(shè)F,F是雙曲線一—一二1(a?0,b?0)的左右焦點(diǎn),12a2b2過點(diǎn)?的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn)，若AFAB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，則e2=5—2^2過點(diǎn)f的直線與雙曲線的左右支交于A,B兩點(diǎn)，若IABI：IBF1:1AF|€3:4:5，則雙曲線的離心率J1322x2y219、如圖設(shè)F1,F2是雙曲線石-厲€1(a?0,b?0)的左右焦點(diǎn)，1F1F2|€4，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)P與y軸交于點(diǎn)A，AAPF的切圓在邊PF上的切點(diǎn)為Q，若IPQ1=1,則雙曲線的離心率是(A)3(B)2(C)J2(D)*3橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形TOC\o"1-5"\h\zx2y2X2y2例題：若橢圓—+—=1(m>n>°)和雙曲線—一—=1(s，t>°)有相同的焦點(diǎn)F和F,mnst12而P是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則PF]?PF2的值是()A.m一sB.—(m-s)C.m2-s2D.、m—fs2m線的一個(gè)公共點(diǎn)，則fF2的面積是一x2y2例題：若橢圓一+y2€1(m,1)與雙曲線—-y2€m線的一個(gè)公共點(diǎn)，則fF2的面積是一x2y2n11例題：設(shè)匚與是曲線C1例題：設(shè)匚與是曲線C1:~6+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M是曲線C]與曲線1例題：如圖，F(xiàn),F是橢圓C:-—+y2€1與雙曲線C的公共焦點(diǎn),A,B分別是C,C在第1^21^21^2二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形afbf2為矩形，則C2的離心率是A竝B.\3C.3D.622例題：已知點(diǎn)P是以F,F?為公共焦點(diǎn)的橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且PF1丄PF,e1，e?分別為橢圓和雙曲線的離心率，則_11TOC\o"1-5"\h\zA.ee>2B.e2+e2>4C.ee>2、'2D.+=2121212e2e2