離散型人壽保險與生存年金的方差計算

離散型人壽保險與生存年金的方差計算漆世雄作者簡介：漆世雄（1958－），男，湖南人，浙江財經學院金融學院副教授，碩士。摘要：在保險精算的理論上，計算人壽保險與生存年金的躉繳凈保費的方差，通常需要借助被保險人的死亡概率密度函數。但在實際應用過程中，被保險人的死亡概率密度函數很難獲得。本文利用生命表編制計算方差的轉換函數，再利用轉換函數計算人身保險中人壽保險與生存年金的方差。關鍵詞：人壽保險；生存年金；轉換函數；期望值；方差一、引言眾所周知，保險人開辦人壽保險業(yè)務，必然要承擔一定的風險。也就是說，保險人在收取保費的時刻，并不知道將來要支付的保險金是多少，因為投保人身保險的被保險人在保險期內是否死亡是隨機的，所以保險公司將來要支付的保險金也就成為一個隨機變量。衡量隨機變量的波動幅度和穩(wěn)定性的指標是方差或標準差。方差越大，也就表明保險公司將來支付保險金的波動幅度就越大；方差越小，則說明穩(wěn)定性越好。因此，通過計算保險金的方差來了解保險人開辦人身保險業(yè)務所承擔的風險，對保險人來說是十分必要的。如果事先能獲得被保險人的死亡概率密度函數，對于死亡即付的、終身壽險的保險金（稱之為連續(xù)型壽險），計算方差時可采用以下公式：但由于被保險人的死亡概率密度函數事先幾乎不可能獲得，所以以上公式很難在實際中被采用。由于這個原因，在保險精算的實際運用中，一般都是采用編制生命表的方法來計算凈保費的。本文所討論的內容，就是利用生命表來編制專門用于計算方差的轉換函數，再通過轉換函數計算離散型壽險和生存年金的方差。對于連續(xù)型壽險模型，只需要借助UDD②假設就可以了。而編制用于計算方差的轉換函數和專門用于計算方差的軟件，在計算機上利用辦公軟件是很容易實現的。二、人壽保險與生存年金的方差計算原理與模型（一）人壽保險方差計算原理與模型人壽保險又稱之為死亡保險，它只提供一個確定時期的保障，把被保險人在保險期內的死亡作為保險金給付條件，若被保險人在保險期滿依然存活，則沒有保險金給付。對于一個（x）投保定期n年、死亡年末給付1單位元的投保人，保險公司收取的躉繳凈保費為：（1）容易看出，以上公式的右邊正是一個隨機變量的數學期望。欲假設廣用T喊表示鞋一個三x歲亮的被榨保險俱人在輪簽單延之后肝的死拴亡時藏間，攜用風Z羅表示內保險殿人為蹦這個瞧投保供人將四來所敞支付砍的保徹險金森的現敘值，稻對于軌投保盤n年纖定期樸壽險獅的被癢保險廉人，淘T與倉Z之帝間的綱關系助為：猜，機欣；化，桃當被屢保險潔人在嗎簽單巡后的簽（x遍，x乖+1嗓）之育內死計亡時遣，在廊x+粗1的布整數揭年給頁付1傷單位厲元，功這1牲單位原元在診簽單午時（娘x歲磚）的姥現值摸為江；當偏被保興險人轟在簽政單后鐘的（培x+牽1，維x+津2）民之內花死亡倦時，芹在x朋+2胡的整臺數年斗給付釋1單細位元前在簽攻單時釣（x屆歲）膚的現遇值為教腸；紙……災；當控被保攏險人奶在簽厚單后致的（余x+鼓n-危1，膏x+盈n）雜之內晃死亡霜時，信在x株+n柏的整賴數年沖給付槐1單鈴位元若在簽岸單時落（x袍歲）現的現森值為穗仍；當瘋被保偵險人反的存鵲活年撲齡超滲過x氣+n梅歲，掏就停貼止給炎付。嗚將隨幻機變拼量T定和Z哭的取外值及褲其相霸應的具概率殘列表福如下肌：識T魯0拍≤統(tǒng)T<交1恭1輸≤姨T<貞2癥……夾n-汪2凱≤時T<們n-綿1浙n-敘1柄≤什T<急n角T腐≥哨n脹Z置v爬v吵2弓……至v摧n-受1繭v蘿n縱0瑞p做……爬顯然咐，以跟上的娛概率友系列閱構成求一個毛全概昆率空收間：宋統(tǒng)宿撒備蹦炊蔬丟娃鹿量乓（2旦）劍所以類有：秀調久焦裕（確3）促因此側，我想們可放以采粘用以拜下公算式來日計算圈Z證的方山差：茶技喉擠婆紫拾疼?；譂O禿餡沒留史吳（贊4）環(huán)在計未算征時只田需采鐮用目別前通摔用的云方法扛就可窗以了政，現廈在只眼需要捆計算填出公汁式中戒的值朗。糊為了辜保持三符號漆的一假致性燈，我隱們記襖：汽將分磁子和緩分母物同乘蠢：探（5螞）沙為了焰簡化材公式造和方拼便計軍算，初我們濃設置炕以下瓶幾個龜新的涂轉換庸函數煉：，，滔以上終公式臉就可巧以簡賀化成欄：支（7僅）啦由此圓而計厲算出半壽險龜的方譜差：撇，誕或記讓做：姓兵船劫冠濕顆破（誕8）敞用同侵樣的畜推導耽過程搏，我農們還椒可以稀得到恰終身掩壽險聰和延超期壽幸險躉飯繳凈警保費厘的方乞差：合（9采）踐（1捉0）案對于盟給定甚的死濕亡率掛，利場用計覽算機刊軟件培，我蘋們可稠以非魯常容推易地松制作式以上礦這些甲轉換退函數悼計算京表，根例如莊，對奴于疏“滴中國父人壽耐保險抗業(yè)經真驗生膛命表辨（1猜99銳0-鉆19會93蜘）圾”林中給縮出的被男女切混合荷死亡觸率，施利用雞計算囑機軟朽件編戲制的絕用于圓計算據方差葬的轉姜換函眠數表跳如下尊：糞中國鋪人壽辜保險針業(yè)經夜驗生榜命表?。?翻99笨0-瀉19威93馬）換田算表竟（男棗女混專合，假局部景）噴利雅率：妥6%傷年齡氧（元x叼）纖2界D宣x編2譯N談x激2能S拳x幼2怕C超x營2財M填x辣2快R圍x撕0領10導00攜00多0.醬00貫90方07暫34刻7.健06司81奇24隔67也38姓.3該5友25丘88恩.9豬99地6修91透59切.7常57哨0峰69債91陰6.慌60無79姑1培88霜74符07舊.4回4孔80煌07公34虹7.棄06龜72底23或93駱91旱.2原8控15將92捕.2尖15胞6番65嘗70完.7蔑57強4原60駱75曬6.芳85荷08玻2臣78演81況97鐮.2普5怒71吼19褲93弦9.典62飯64豎23研20勺44劈.2安2公10訂31其.1慣94主3孤49份78附.5粗41仗8某54員18輔6.榆09蝕34析3勸70振04波61遷.5輕5彩63悠31帆74至2.相38個57這11撕21流04西.6身0隙69亞4.附47虎68別39粘47周.3渾47村5繪49謠20瞇7.惹55融16師4擺62俊27塌13寫.8工1造56旅31扯28溪0.勻83煙50缺78猴03者62板.2交2狡48很3.吐27攻38膀32匯52暈.8托70廟7捧45禾26抹0.懇20搭41幫5扎55低37株29休.8妙0帶50蝴08陜56趙7.喝02功45婦14方90兩81咬.4儀0繪34抵5.部95慕79罪27淘69勿.5喪96結9徑42丘00捐7.懼33須35桐6劉49暖24多71躺.5揚9握44登54橋83耕7.族22販40疾14阻05以14祝.3償8逮25票3.豬77丹45熟24跪23刑.6款38陪9勻39瘡23命7.惰73議66雷7疫43熟80碰44挨.1槍9齒39取62開36交5.予63辮35輝68富56惑77映.1丑6襲19畢0.盯64撓04咐21靜69徒.8魚64謝4源36節(jié)81嫁4.君09謙76閉8潛38命96群67喊.1打3齡35陳24式32述1.設44直31快72筍33沫11物.5躍3劑14扛6.旨00內38撐19藝79齒.2往24邁0綿34通64賊4.蝶23瞞32免9桑34蹦66兆56線.3櫻5蘭31量34腔65柳4.錯31孝28夫19夸89闊90游.1老0你11狡5.古38窮76控18仇33侵.2蔬20廊2更32之66貫5.罩00擠93減10漂30屠84眠07宣.5括3恐27茶87積99徒7.兩95聞25突06女43評35抱.7軟9扇94庸.9鍛70愈6虧17濃17俘.8偽32洲6三30桿83妖1.芒78魄91專11補27繼43季86驕.6鵝4冤24懶79只59征0.嚴42麥22般27貧63教37隊.8柄4臂82蜘.7當84云9應16導22載.8庫62勉0訊29勺11禍3.書95片65拔12琴24惱41娃20繭.3斧4獨22良05男20述3.賺79箏19頭79葉67壤47寇.4竄1蘭77售.3佩46肉8潔15饒40個.0勁77份1行27告49放1.名09臂45息13鉆21龍71齒88暖.8龍9掠19閑61獻08強3.西44捐17類59冤15螞43胳.6煎3璃76把.5爭45圣7滅14偉62口.7懷30爬3悼25摟95乞1.長01趙74漏14蜂19越32催20芒.7翻9努17授43倆89上4.羞55炮15絹63近04房60毒.1饒9孔78房.5大88屬4棉13里86秀.1友84塊6白24向48霸8.迅28碎70慌15追17灘18淘87測.2禾3永15魄50烤67滾3.原76配13肆88感65喚65覺.6驗3迅80誓.9劑25腥9躺13笨07蘿.5國96下2薦23夕10激2.旅10督25小16譽15孤28戰(zhàn)98套.1蘋0翠13漆78多78巖6.懇53消12鉤33襖58聰91鉤.8昌8陳81畝.9膏19征4減12濕26塑.6帳70哨3增21狼79演4.車50裕63磁17撞13轟59汁96蝦.8席4煉12酷25撤88垮8.匠43剪10碗95益71吼05蹄.3護5近81扮.0星94爺6歸11炎44曲.7痕50欠9唐20勸56菠7.漿83檢60居18久12售09元55贏.6突1漫10度89宣89階1.強59況97彼31斯21忠6.戴92主77賴.9江38羞6雹10堆63怕.6砍56蓄3別19含42聾3.英08滾51俗19理10討75畝72舅.1淡2糧96攤89籮35蒼.9藏8擊86招41盛32辣5.薪33蛛72扎.9委53憑0稻98闊5.挪71丹77先18妖35機9.蝴42朝88傍20沈95膊66團5.繡85冤86叮13犯63許.8女5山76伸72房38究9.襲35甜66爛.2像40約7稼91迷2.黑76昌47遭17烏37媽3.背71娘11算21理85費07因6.貸03幣76慚56交98訓.0平0災68糊11匠02排5.瓶50餓59膽.3抱62虛4腿84謎6.循52興40宏16軟46鞋0.寶94姐64符22摩75生65咸8.嘗00嶼68親06橋21朵.9條7藥60痛45肉32雨7.積50坑52牙.5愁21強6叔78但7.李16溉16傘15匆61想4.盞42稻24峰23悉67獵28夸2.偷83柔60晉49況63磚.9傲7產53蛇64晶70獻5.笛53水45宏.9韻29多1竊73今4.尾64鐮00棟14引82貿7.脫26貪09吉24沖59汁83疫5.俘55鍵53義76喝81磨.1干4佛47冰59購74柜1.借56什40咐.0青46幸6打68色8.且71美09綁14輸09匯2.裝62系09沖25蛋53拒21士3.驚38租47毛78甲45乓.5萬9傷42彼22豬06量0.教42愛34盛.9陪51丸5甘64赤8.棒66鞏43慧13欣40測3.盼91物00鉗（二喪）生驚存年跡金的療方差煩計算謙原理避與模賺型歡生存污年金策是指蔑以年哨金保寸險的晶被保嘴險人描的生眾存為象條件叛，在耗保險再有效酸期內揮按照驅年金脖方式肅支付齊保險擁金的勞保險區(qū)。與威人壽意保險畜相同篇，用中T表娘示一媽個x肌歲的末被保蔽險人星在簽劑單之唇后的敘死亡擋時間嶼，用槽Y表鍋示保奔險人渣為這甘個投調保人蓮將來仍所支戒付的曾保險節(jié)金的燕現值裳，對屆于投鑄保期晌首給鴨付、惹終身坦生存典年金慘的被瞞保險喚人，揀T與饒Y之還間的劑關系寧為：，片將隨麥機變授量T盲和Y呀的取遇值及店其相揭應的懼概率固列表遙如下場：貫T再0厲≤凍T<縣1錯1住≤艦T<詢2馬2咐≤挨T<爐3并……最ω曠-1娛≤雀T<沒ω聾Y尸……火p蚊……嘉表中余的概展率系尺列構而成全錄概率炸空間翁。所開以有恩：姿虧（柜11脅）墨（否12雪）凝所以仇：不（遍13烤）無對于皇每年走期首歉末給餃付逮1棒單位衣元的啞n年殺定期醋生存業(yè)年金機，用親同樣竄的推向導過稠程可托以得文到其恢方差贊的計幻算公沈式為陣：液斧退與斃指殃或魯挽陰絨瞇暢汽壘夢串（1情4）括三、睬應筒用舉說例階（一獻）壽罰險的本方差滲計算限對于除一男裕一女罰兩個鑒被保祥險人食同為復30喂歲、鋼投保趟20鏈年定跳期死戒亡年醉末給背付的姥壽險膝，試惕采用州“康中國山人壽痛保險芝業(yè)經皇驗生鮮命表稼（1奪9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