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文檔簡介
1第二節(jié)
對坐標(biāo)的曲線積分curvilinear
integral問題的提出對坐標(biāo)的曲線積分的概念coordinates對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算兩類曲線積分之間的關(guān)系小結(jié)思考題作業(yè)第十章曲線積分與曲面積分一、問題的提出實(shí)例變力沿曲線所作的功L
:
A
fi
B常力沿直線所作的功W
=
F
ABF
(
x,
y)
=
P(
x,
y)i
+
Q(
x,
y)
j分割A(yù)
=M0
,M1
(x1
,y1
),,Mn-1
(xn-1
,yn-1
),Mn
=BMi
-1
Mi
=
(Dxi
)i
+
(Dyi
)
j
對坐標(biāo)的曲線積分
OxyM2Mn-1M1A
=
M0B
=
MnMi
-1
L2DxiiDyF
(xi
,hi
)Mii
=1n?
[P(xi
,hi
)
Dxi
+
Q(xi
,hi
)
Dyi
]nii
=1ni求和
W
=
DW取F
(xi
,hi
)
=
P(xi
,hi
)i
+
Q(xi
,hi
)
j取近似
DWi
?
F
(xi
,hi
)
Mi
-1
Miii
i
i
i
i即
DW
?P(x
,h
)Dx
+
Q(x
,h
)Dy近似值精確值取極限
W
=
lim[P(xi
,hi)
Dxi
+
Q(xi
,hi
)
Dyi
]lfi
0i
=1
對坐標(biāo)的曲線積分
Mi
-1
Mi
=
(Dxi
)i
+
(Dyi
)
jF
(xi
,hi
)
B
=
MOxyA=
M02Mn-1M1MnMi
-1
LDxii3DyMi二、對坐標(biāo)的曲線積分的概念1.
定義設(shè)L為xOy面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑
曲線弧,函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在L上有界.用L上的點(diǎn):M1
(
x1
,
y1
),Mn-1
(
xn-1
,
yn-1
)把L分成n個(gè)有向小弧段Mi-1
Mi
(i
=1,2,,n;M0
=
A,
Mn
=
B).設(shè)Dxi
=
xi
-
xi
-1
,
Dyi
=
yi
-
yi
-1
,點(diǎn)(xi
,hi
)為M
i
-1
Mi
上任意取定的點(diǎn).
對坐標(biāo)的曲線積分
4n如果當(dāng)各小段長度的最大值l
fi
0時(shí),
P(xi
,hi
)Dxi的極限總存在,則稱此極限為函數(shù)i
=1P(x,y)在有向曲線弧L上對坐標(biāo)x的曲線積分,或稱第二類曲線積分.記作L
P(x,y)dx,即nL
P(
x,
y)dx
=
lim
P(xi,hi
)Dxilfi
0
i
=1n類似地定義L
Q(x,y)dy
=lim
Q(xi
,hi
)Dyilfi
0
i
=1稱Q(x,y)在有向曲線弧L上對坐標(biāo)y的曲線積分.積分弧段 被積函數(shù)
對坐標(biāo)的曲線積分
5式存在條件當(dāng)P(x,y),Q(x,y)在光滑曲線弧L上連續(xù),第二類曲線積分存在.組合形式L
P(
x,
y)dx
+
L
Q(
x,
y)dy其中F
=
(
P
,Q
),=L
P(x,y)dx
+Q(x,y)dy
=L
F
ds
“點(diǎn)積”形ds
=
(dx,dy).
對坐標(biāo)的曲線積分
64.
物理意義⌒
=AB⌒
Pdx
+
Qdy⌒
變力F
=
P(
x,
y)i
+
Q(
x,
y)
j
沿AB所作的功WABW
=
⌒
F
ds
對坐標(biāo)的曲線積分
ds
=
(dx,dy)75.
推廣空間有向曲線弧Γ,ii
i
inP(x
,h
,z
)DxGlfi
0
i
=1P(
x,
y,
z)dx
=
limG
Pdx
+
Qdy
+
Rdzii
i
inQ(x
,h
,z
)DyGlfi
0
i
=1Q(
x,
y,
z)dy
=
limnR(x
,h
,z
)Dz
i
i
i
ilfi
0
i
=1R(
x,
y,
z)dz
=
limG
對坐標(biāo)的曲線積分
86.
性質(zhì)(1)如果把L分成L1和L2
,則(2)設(shè)L是有向曲線弧,-L是與L方向相反的P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dyLL1L2對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).Pdx
+
Qdy
=LPdx
+
Qdy
+1L有向曲線弧,則L2-
L=
-L
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
對坐標(biāo)的曲線積分
-
LLOPdx
+
QdyxyO9xy思想是
化為定積分計(jì)算.對坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).因此下限應(yīng)是起點(diǎn)的坐標(biāo),
上限是終點(diǎn)的坐標(biāo).三、對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算
對坐標(biāo)的曲線積分
10
y
=y
(t
)由a變到b時(shí),點(diǎn)M
(x,y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B,j
(t
),y
(t
)在以a及b為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具連續(xù),L的參數(shù)方程為
x
=j
(t
),當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地定理設(shè)P(x,y),Q(x,y)在曲線弧L上有定義且=LP(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dyy
(t
)]P[j
(t
),j
(t
)dt
+
Q[j
(t
),y
(t
)]y
(t
)dt2
(t
)?0,則有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且j
2
(t
)+y曲線積分L
P(x,y)dx
+Q(x,y)dy存在,且ab=
b{P[j
(t
),y
(t
)]j￠(t
)
+
Q[j
(t
),y
(t
)]y
￠(t
)}dtLP(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy
對坐標(biāo)的曲線積分
11特殊情形(1)L
:y
=y(x)
x起點(diǎn)為a,終點(diǎn)為bL
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dyL
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dy(2)L
:x
=x(y)
y起點(diǎn)為c,終點(diǎn)為d則ba￠{P[
x,
y(
x)]
+
Q[
x,
y(
x)]
y
(
x)}dx={P[
x(
y),
y]x
(
y)
+
Q[
x(
y),
y]}dydc￠=則對坐標(biāo)的曲線積分,12L
:
y
=y
(t
)
x
=
j
(t
)a=
{P[j
(t
),y
(t
)]j￠(t
)
+
Q[j
(t
),y
(t
)]y
￠(t
)}dtL
P(
x,
y)dx
+
Q(
x,
y)dybz
=
w
(t
)G
:
y
=y
(t
),
x
=
j
(t
)G
P(
x,
y,
z)dx
+
Q(
x,
y,
z)dy
+
R(
x,
y,
z)dz(3)推廣t起點(diǎn)a
,終點(diǎn)b{P[j
(t
),y
(t
),w
(t
)]j
￠(t
)=ba+
Q[j
(t
),y
(t
),w
(t
)]y
(t
)+
R[j
(t
),y
(t
),w
(t
)]w
(t
)}dt
對坐標(biāo)的曲線積分
13例計(jì)算L2xydx,其中L為拋物線
y
=
x上B(1,1)y2
=
x從A(1,-1)到B(1,1)的一段弧.解(1)化為對x的定積分y
=
–
xxydx
=Lx(-
x
)dx=10=
232x
dx
=45AOxydx
+⌒OBxydx⌒+x
xdx1010
對坐標(biāo)的曲線積分
O14xA(1,-1)y(2)化為對y的定積分x
=
y21-1y2dx
=2
ydy,y從-1到1=
45L
xy
d
x
=y
2
ydy
對坐標(biāo)的曲線積分
計(jì)算L2xydx,其中L為拋物線
y
=
x上從A(1,-1)到B(1,1)的一段弧.OyxA(1,-1)15B(1,1)y2
=
x其中Γ是由點(diǎn)A(1,1,1)到點(diǎn)B(2,3,4)的直線段.1
2
3解直線AB的方程為x
-1
=y
-1
=z
-1化成參數(shù)式方程為x
=1
+t,y
=1
+2t,z
=1
+3tA點(diǎn)對應(yīng)t
=0,B點(diǎn)對應(yīng)t
=1,于是G
xdx
+
ydy
+
(
x
+
y
-
1)dz(6
+
14t
)dt
=
13=10例計(jì)算G
xdx
+ydy
+(x
+y
-1)dz
對坐標(biāo)的曲線積分
16例L2計(jì)算L是上半圓周y
=a
2
-x
2
,反時(shí)針方向;L是x軸上由點(diǎn)A(a,0)到點(diǎn)B(-a,0)的線段.解(1)中L的參數(shù)方程為x
dx
+(y
-x)dy,其中x
=
a
cos
t,
y
=
a
sin
tA點(diǎn)對應(yīng)
t
=
0,
B點(diǎn)對應(yīng)
t
=
p
.B(-a,0)
OA(a,0)
x原式==
-
2
a3
-
p
a23
2
對坐標(biāo)的曲線積分
y17y原式=ax
dx2(2)L的方程為y
=0,-ax從a到-a.3=
-
2
a3A(a,0x)B(-a,0)
O
對坐標(biāo)的曲線積分
18L2計(jì)算(2)L是x軸上由點(diǎn)A(a,0)到點(diǎn)B(-a,0)的線段.x
dx
+(y
-x)dy,其中
x2
+
y2
+
z2
.r
=
xi
+
yj
+
zk
,
r
=|
r
|=
對坐標(biāo)的曲線積分
例位于原點(diǎn)(0,0,0)處的電荷q產(chǎn)生的靜電場中,一單位正電荷沿光滑曲線Γ:x
=
x(t
),
y
=
y(t
),
z
=
z(t
),
a
￡
t
￡
b從點(diǎn)A移到點(diǎn)B,設(shè)A對應(yīng)t
=a
,B對應(yīng)根據(jù)庫倫定律,位于點(diǎn)M處的單位正電荷受到求電場所作的功W.的電場力r
,即解設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)的向徑OM
=q
F
=
r
3
rAB19W
=
⌒
F
ds因此所求的功為=
qr
(
b
)r
(a
)2drrq
G3(
x2
+
y2
+
z2
)2a3(
x2
+
y2
+
z2
)2b
(
xx
+
yy
+
zz
)dt=
q
1
1
r(b
)
r(a
)=
q
-其中r(a
),r(b
)分別是點(diǎn)A和B到原點(diǎn)的距離.ds
=
(dx,dy,dz
)1(
x2
+
y2
+
z2
)22
x2
+
y2
+
z2(
xx
+
yy
+
zz
)dt=
對坐標(biāo)的曲線積分
r
r
=
xi
+
yj
+
zkrq
3F
=W
=此G
例F表d明s
=,靜G電r場3
r電場ds力r作=功|
r只|=與x正2
電+荷y2
運(yùn)+z220動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān),而與運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān).=凡q是具xd有x這+種yd特y
+性zd的z
力場d,r稱=保2(守xd力x
場+y.dy
+zdz)補(bǔ)充在分析問題和算題時(shí)常用的對稱性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分,當(dāng)平面曲線L是分段光滑的,
關(guān)于
x
軸對稱,
L在上半平面部分與下半平面部分的走向相反時(shí),則P(x,
y)為y的偶函數(shù)
P(x,
y)為y的奇函數(shù)1P(
x,
y)dxL其中L1是曲線L的上半平面的部分.類似地,
對L
Q(x,y)dy的討論也有相應(yīng)的結(jié)論.
對坐標(biāo)的曲線積分
21L
P(
x,
y)dx
=
2
0ABCDA
|
xy
|
+1例計(jì)算dx
+dy,其中ABCDA為|
x
|
+|
y
|=1,解
法一
直接化為定積分計(jì)算,
-
x
+
y
=
1ABdx
+
dy=+xy
+
1
BC
-
xy
+
1DA
-
xy
+
1+xy
+
1dx
+
dy+CDBC
CD
DAdx
+
dy取逆時(shí)針方向.由曲線積分的性質(zhì).則+
+
+
A(1,0)B(0,1)x
+
y=
1C(-1,0)-
x
-
y
=
1x
-
y
=
1D(0,-1)dx
+
dy
對坐標(biāo)的曲線積分
=
0
dx
-
dx
+
-1
dx
+
dx
+
0
dx
-
dx1
x(1
-
x)
+
1
0
-
x(1
+
x)
+
1
-1
x(-1
-
x)
+
10
1
dx
+
dx
0+
0
x(1
-
x)
+
1=ABCDA-10=
2dx-
x(1
+
x)
+
11+
20
x(1
-
x)
+
1dxx
=
-t
0=
-10dx
+
dx-
x(1
+
x)
+
11+
0
x(1
-
x)
+
1dx
+
dxO22xyABCDA
|
xy
|
+1dx+ABCDA
|
xy
|
+1ABCDA
|
xy
|
+1dx法二利用對稱性質(zhì),將原式分成兩部分,即原式=對曲線關(guān)于x軸對稱,L在上半部分的走向與L在下半部分的走向相反,-
x
-
y
=
1dyx
+
y
=
1A(1,0)B(0,1)-
x
+
y
=
1C(-1,0)D(0,-1)=
0ABCDA
|
xy
|
+1被積函數(shù)為y的偶函數(shù).
dx
對坐標(biāo)的曲線積分
ABCDA
|
xy
|
+1dx
+
dy計(jì)算O23xx
-
y
=
1yABCDA
|
xy
|
+1dy對曲線關(guān)于y軸對稱,L在右半部分的走向與L在左半部分的走向相反,被積函數(shù)為x的偶函數(shù).=
0ABCDA
|
xy
|
+1dy|
xy
|
+1ABCDAdx
+
dy
=
0所以,
對坐標(biāo)的曲線積分
ABCDA|
xy
|
+1dx
+
dy計(jì)算ABCDAdx|
xy
|
+1
=
0-
x
-
y
=
1-
x
+
y
=
1C(-1,0)D(0,-1)B(0,1)x
+
y
=
1A(1,0)O24xx
-
y
=
1yL
Pdx
+
Qdy
=
L
(
P
cosa
+
Q
cos
b
)dscosa
=
j
(t
)
, cos
b
=j
￠2
(t
)
+y
￠2
(t
)j
￠2
(t
)
+y
￠2
(t
)y
(t
)
y
=y
(t
)L上點(diǎn)(x,y)處的切線向量的方向角為a
,b
,則
對坐標(biāo)的曲線積分
dx
=
j
(t
)dt,
dy
=y
(t
)dt,ds
=
j￠2
(t
)
+y
￠2
(t
)dt四、兩類曲線積分之間的關(guān)系設(shè)有向有向曲平線弧面L曲的線切弧向?yàn)榱縇為：
x
=j
(t
),25G
Pdx
+
Qdy
+
RdzGA
dr
=GAt
ds可用向量表示A
=
(
P,
Q,
R)t
=
(cosa
,
cos
b
,
cosg)dr
=t
ds
=(dx,Gd上y,d點(diǎn)z()x
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