2019年全國(guó)碩士研究生考試《數(shù)學(xué)二》試題（網(wǎng)友回憶版）

2019年全國(guó)碩士研究生考試《數(shù)學(xué)二》試題（網(wǎng)友回憶版）[單選題]1.當(dāng)x→0時(shí)，若x－tanx與xk是同階無窮小，則k＝()（江南博哥）。A.1B.2C.3D.4參考答案：C參考解析：tanx在x＝0處的泰勒展開式為：tanx＝x＋x3/3＋ο（x3）。因此當(dāng)x→0時(shí)有x－tanx～－x3/3，即x－tanx與－x3/3是x→0時(shí)的等價(jià)無窮小，進(jìn)一步可知x－tanx與x3是同階無窮小，所以k＝3。故選C。[單選題]2.曲線y＝xsinx＋2cosx（－π/2＜x＜2π）的拐點(diǎn)是()。A.（0，2）B.（π，－2）C.（π/2，π/2）D.（3π/2，－3π/2）參考答案：B參考解析：由y＝xsinx＋2cosx計(jì)算y″得，y″＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，令y″＝0得x＝0，x＝π。在x＝0的兩側(cè)，y″不變號(hào)，即y″（0－）y″（0＋）＞0，所以（0，2）不是拐點(diǎn)；在x＝π的兩側(cè)，y″變號(hào)，即y″（π－）y″（π＋）＜0，所以（π，－2）是拐點(diǎn)。[單選題]3.下列反常積分發(fā)散的是()。A.B.C.D.參考答案：D參考解析：對(duì)無窮限反常積分，如果存在極限則稱反常積分收斂，且記反之稱發(fā)散。A選項(xiàng)中，由分部積分法得因此收斂，同理，可得B選項(xiàng)中積分故收斂。C選項(xiàng)中，由于arctanx/（1＋x2）≤2/（1＋x2），以及收斂，由比較原則，收斂。D選項(xiàng)中，因此發(fā)散。故選D。[單選題]4.已知微分方程y″＋ay′＋by＝cex的通解為y＝（C1＋C2x）e－x＋e<sup>x，則a，b，c依次為()。A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4參考答案：D參考解析：由微分方程的通解可知，－1是其特征方程λ2＋aλ＋b＝0的二重根，ex是其中一個(gè)特解。因此λ2＋aλ＋b＝（λ＋1）2，所以a＝2，b＝1，將特解ex代入微分方程，得到c＝4。故選D選項(xiàng)。[單選題]5.已知平面區(qū)域D＝{（x，y）∣∣x∣＋∣y∣≤π/2}，記則()。A.I3＜I2＜I1B.I2＜I1＜I3C.I1＜I2＜I3D.I2＜I3＜I1參考答案：A參考解析：區(qū)域D上，有則0≤u≤π/2。因?yàn)閟inu≤u在u≥0時(shí)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)u＝0時(shí)取等號(hào)，所以I2＜I1。又因?yàn)樵?≤u≤π/2時(shí)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)u＝0或π/2時(shí)取等號(hào)，所以I3＜I2。綜上，I3＜I2＜I1。故選A。[單選題]6.設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的2階導(dǎo)函數(shù)在x＝a處連續(xù)，則是兩條曲線y＝f（x），y＝g（x）在x＝a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處相切及曲率相等的()。A.充分不必要條件B.充分必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件參考答案：A參考解析：①充分性在x＝a處，由泰勒公式得代入可得f（a）＝g（a），f′（a）＝g′（a），f″（a）＝g″（a），因此兩條曲線在x＝a處相切且斜率相等。②必要性必要性不成立。例如f（x）＝（x－a）2，g（x）＝－（x－a）2，它們?cè)邳c(diǎn)a相切且具有相同的曲率，但故選A。[單選題]7.設(shè)A是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若線性方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系中只有2個(gè)向量，則r（A*）＝()。A.0B.1C.2D.3參考答案：A參考解析：伴隨矩陣的秩由于r（A）＝n－2＜n－1，所以r（A*）＝0。故選A。[單選題]8.設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，E是3階單位矩陣。若A2＋A＝2E，且A＝4，則二次型xTAx的規(guī)范型為()。A.y12＋y22＋y<sub>3sub>2B.y12＋y22－y<sub>3sub>2C.y12－y22－y<sub>3sub>2D.－y12－y22－y_{3sub>2參考答案：C參考解析：要求二次型xTAx的規(guī)范型，只需計(jì)算矩陣A的特征值得到A的正負(fù)慣性指數(shù)即可。由A2＋A＝2E可得λ2＋λ－2＝0，所以A的特征值只能為1或－2。又因?yàn)锳＝4且A是3階矩陣，所以A的特征值為1，－2，－2。由A的特征值符號(hào)可得正慣性指數(shù)為1，負(fù)慣性指數(shù)為2，所以規(guī)范型為y12－y22－y3²。故選C。[問答題]1.（本題滿分10分）已知函數(shù)求f′（x），并求f（x）的極值。參考答案：f（x）為連續(xù)函數(shù)。當(dāng)x＞0時(shí)，有x2x＝e2xlnx，則f′（x）＝（x2x）′＝（e2xlnx）′＝2x2x（lnx＋1）；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＝（x＋1）ex。又因?yàn)樗詅′（0）不存在，0為函數(shù)f（x）的不可導(dǎo)點(diǎn)。令f′（x）＝0，得x＝－1或x＝1/e，下面討論導(dǎo)數(shù)f′（x）在駐點(diǎn)（f′（x）＝0）和不可導(dǎo)點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)。①當(dāng)x＜－1時(shí)，f′（x）＜0。當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，所以x＝－1為極小值點(diǎn)，f（－1）＝1－1/e；②當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0。當(dāng)0＜x＜1/e時(shí)，f′（x）＜0，所以x＝0為極大值點(diǎn)，f（0）＝1；③當(dāng)0＜x＜1/e時(shí)，f′（x）＜0。當(dāng)x＞1/e時(shí)，f′（x）＞0，所以1/e為極小值點(diǎn)，f（1/e）＝e－2/e。[問答題]2.（本題滿分10分）求不定積分參考答案：設(shè)求解，得A＝－2，B＝3，C＝2，D＝1，所以[問答題]3.（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)y（x）是微分方程滿足條件的特解。（Ⅰ）求y（x）；（Ⅱ）設(shè)平面區(qū)域D＝{（x，y）1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。參考答案：（Ⅰ）用一階線性微分方程通解公式，可得由得C＝0，所以（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）中求出的函數(shù)y（x），且D＝{（x，y）1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，可得旋轉(zhuǎn)體體積為[問答題]4.（本題滿分10分）已知平面區(qū)域D＝{（x，y）x≤y，（x2＋y2）3≤y4}，計(jì)算二重積分參考答案：因?yàn)榍€（x2＋y2）3＝y(tǒng)4的極坐標(biāo)方程為r＝sin2θ，且積分區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱，所以[問答題]5.（本題滿分10分）設(shè)n是正整數(shù)，記Sn為曲線y＝e－xsinx（0≤x≤nπ）與x軸所圍圖形的面積。求Sn，并求參考答案：由題意可得又因?yàn)橐虼怂訹問答題]6.（本題滿分11分）已知函數(shù)u（x，y）滿足求a，b的值，使得在變換u（x，y）＝v（x，y）eax＋by之下，上述等式可化為函數(shù)v（x，y）的不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式。參考答案：u對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)為u對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為因此有代入題中所給的微分方程，得最后解得a＝0，b＝3/4。[問答題]7.（本題滿分11分）已知函數(shù)f（x）在[0，1]上具有2階導(dǎo)數(shù)，且f（0）＝0，f（1）＝1，，證明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）＝0；（Ⅱ）存在η∈（0，1），使得f″（η）＜－2。參考答案：證明：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）在[0，1]上具有2階導(dǎo)數(shù)，所以f（x）在[0，1]上連續(xù)，因此f（x）在[0，1]上必然取得最大值，記最大值點(diǎn)為ξ，下證ξ≠0且ξ≠1。因?yàn)閯t必有f（ξ）＞1，反之若不成立，即對(duì)一切x∈[0，1]，都有f（x）≤1，又由f（0）＝0，推得與題設(shè)矛盾。所以f（ξ）＞1，因此ξ≠0且ξ≠1。結(jié)合ξ為連續(xù)函數(shù)f（x）在[0，1]上的最大值點(diǎn)，ξ≠0且ξ≠1，可得f′（ξ）＝0。（Ⅱ）因?yàn)閒（x）在[0，1]上具有2階導(dǎo)數(shù)，根據(jù)（1）中所設(shè)，可得函數(shù)f（x）在點(diǎn)ξ的泰勒展開式令x＝0，有0＝f（ξ）＋f″（η）ξ2/2！，則f″（η）＝（－2）f（ξ）/ξ2。由于f（ξ）＞1，所以[f（ξ）/ξ2]＞1，所以f″（η）＜－2。[問答題]8.（本題滿分11分）已知向量組Ⅰ：α1＝（1，1，4）T，α2＝（1，0，4）T，α3sub>＝（1，2，a2＋3）T；Ⅱ：β1＝（1，1，a＋3）T，β2（0，2，1－a）T，β3sub>＝（1，3，a2＋3）T。若向量組Ⅰ與Ⅱ等價(jià)，求a的取值，并將β3用α1，α2，α3線性表示。參考答案：首先求a的取值，因?yàn)橄蛄拷MⅠ與Ⅱ等價(jià)，所以它們可以互相線性表示，即方程組（α1，α2，α3）X＝（β1，β2，β3）（β1，β2，β3）Y＝（α1，α2，α3）同時(shí)有解，亦即向量組的秩相等r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）。對(duì)（α1，α2，α3β1，β2，β3）作初等行變換得到矩陣分三種情況來進(jìn)行討論：①當(dāng)a≠±1時(shí)，有r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝3此時(shí)向量組Ⅰ與Ⅱ是等價(jià)的。②當(dāng)a＝1時(shí)，有r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝2此時(shí)向量組Ⅰ與Ⅱ是等價(jià)的。③當(dāng)a＝－1時(shí)，有r（α1，α2，α3）＝2，r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝3此時(shí)向量組Ⅰ與Ⅱ不是等價(jià)的。綜上，a≠－1時(shí)向量組Ⅰ與Ⅱ等價(jià)。將β3用α1，α2，α3線性表示，即方程組k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3有一組不全為零的解，接下來分兩種情況來進(jìn)行討論：①當(dāng)a≠±1時(shí)，令方程組k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3，則有唯一解為（1，－1，1）T，即β3＝α1－α2＋α3。②當(dāng)a＝1時(shí)，令方程組k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3，則有通解為k（－2，1，1）T＋（3，－2，0）T，即β3＝（3－2k）α1＋（k－2）α2＋kα3，其中k為任意常數(shù)。[問答題]9.（本題滿分11分）已知矩陣與相似。（Ⅰ）求x，y；（Ⅱ）求可逆矩陣P，使得P－1AP＝B。參考答案：（Ⅰ）相似的矩陣有相同的特征值，因此特征值之和相同，又因?yàn)榫仃囂卣髦抵偷扔诰仃嚨嫩E（矩陣對(duì)角線元素之和），所以有Σaii＝Σbii，A＝B，即求解得到x＝3，y＝－2。（Ⅱ）矩陣B的特征多項(xiàng)式f（λ）＝λE－B＝（λ－2）（λ＋1）（λ＋2），因此B的特征值為2，－1，－2。A與B相似，因此A的特征值也為2，－1，－2。下面分別求A和B的特征向量：由（2E－A）x＝0，得λ＝2的一個(gè)特征向量為α1＝（1，－2，0）T；由（－E－A）x＝0，得λ＝－1的一個(gè)特征向量為α2＝（－2，1，0）T；由（－2E－A）x＝0，得λ＝－2的一個(gè)特征向量為α3＝（1，－2，－4）T。令則有由（2E－B）x＝0，得λ＝2的一個(gè)特征向量為β1＝（1，0，0）T；由（－E－B）x＝0，得λ＝－1的一個(gè)特征向量為β2＝（－1，3，0）T；由（－2E－B）x＝0，得λ＝－2的一個(gè)特征向量為β3＝（0，0，1）T。令則有于是P1－1AP1＝P2－1BP2，得P2P1－1AP₁P2}－1＝B。令P＝P1P2－1，則有P－1AP＝B，其中[填空題]1.()。參考答案：4e2參考解析：運(yùn)用重要極限和洛必達(dá)法則，計(jì)算得[填空題]2.曲線在t＝3π/2對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為()。參考答案：3π/2＋2參考解析：切線斜率切點(diǎn)為（3π/2＋1，1），所以切線為y＝－x＋3π/2＋2，在y軸上的截距為3π/2＋2。[填空題]3.設(shè)函數(shù)f（u）可導(dǎo)，z＝y(tǒng)f（y2/x），則2x·（az/ax）＋y·（az/ay）＝()。參考答案：yf（y2/x）參考解析：運(yùn)用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，計(jì)