2019年全國碩士研究生考試《數學二》試題（網友回憶版）

2019年全國碩士研究生考試《數學二》試題（網友回憶版）[單選題]1.當x→0時，若x－tanx與xk是同階無窮小，則k＝()（江南博哥）。A.1B.2C.3D.4參考答案：C參考解析：tanx在x＝0處的泰勒展開式為：tanx＝x＋x3/3＋ο（x3）。因此當x→0時有x－tanx～－x3/3，即x－tanx與－x3/3是x→0時的等價無窮小，進一步可知x－tanx與x3是同階無窮小，所以k＝3。故選C。[單選題]2.曲線y＝xsinx＋2cosx（－π/2＜x＜2π）的拐點是()。A.（0，2）B.（π，－2）C.（π/2，π/2）D.（3π/2，－3π/2）參考答案：B參考解析：由y＝xsinx＋2cosx計算y″得，y″＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx，令y″＝0得x＝0，x＝π。在x＝0的兩側，y″不變號，即y″（0－）y″（0＋）＞0，所以（0，2）不是拐點；在x＝π的兩側，y″變號，即y″（π－）y″（π＋）＜0，所以（π，－2）是拐點。[單選題]3.下列反常積分發(fā)散的是()。A.B.C.D.參考答案：D參考解析：對無窮限反常積分，如果存在極限則稱反常積分收斂，且記反之稱發(fā)散。A選項中，由分部積分法得因此收斂，同理，可得B選項中積分故收斂。C選項中，由于arctanx/（1＋x2）≤2/（1＋x2），以及收斂，由比較原則，收斂。D選項中，因此發(fā)散。故選D。[單選題]4.已知微分方程y″＋ay′＋by＝cex的通解為y＝（C1＋C2x）e－x＋e<sup>x，則a，b，c依次為()。A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4參考答案：D參考解析：由微分方程的通解可知，－1是其特征方程λ2＋aλ＋b＝0的二重根，ex是其中一個特解。因此λ2＋aλ＋b＝（λ＋1）2，所以a＝2，b＝1，將特解ex代入微分方程，得到c＝4。故選D選項。[單選題]5.已知平面區(qū)域D＝{（x，y）∣∣x∣＋∣y∣≤π/2}，記則()。A.I3＜I2＜I1B.I2＜I1＜I3C.I1＜I2＜I3D.I2＜I3＜I1參考答案：A參考解析：區(qū)域D上，有則0≤u≤π/2。因為sinu≤u在u≥0時恒成立，當且僅當u＝0時取等號，所以I2＜I1。又因為在0≤u≤π/2時恒成立，當且僅當u＝0或π/2時取等號，所以I3＜I2。綜上，I3＜I2＜I1。故選A。[單選題]6.設函數f（x），g（x）的2階導函數在x＝a處連續(xù)，則是兩條曲線y＝f（x），y＝g（x）在x＝a對應的點處相切及曲率相等的()。A.充分不必要條件B.充分必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件參考答案：A參考解析：①充分性在x＝a處，由泰勒公式得代入可得f（a）＝g（a），f′（a）＝g′（a），f″（a）＝g″（a），因此兩條曲線在x＝a處相切且斜率相等。②必要性必要性不成立。例如f（x）＝（x－a）2，g（x）＝－（x－a）2，它們在點a相切且具有相同的曲率，但故選A。[單選題]7.設A是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若線性方程組Ax＝0的基礎解系中只有2個向量，則r（A*）＝()。A.0B.1C.2D.3參考答案：A參考解析：伴隨矩陣的秩由于r（A）＝n－2＜n－1，所以r（A*）＝0。故選A。[單選題]8.設A是3階實對稱矩陣，E是3階單位矩陣。若A2＋A＝2E，且A＝4，則二次型xTAx的規(guī)范型為()。A.y12＋y22＋y<sub>3sub>2B.y12＋y22－y<sub>3sub>2C.y12－y22－y<sub>3sub>2D.－y12－y22－y_{3sub>2參考答案：C參考解析：要求二次型xTAx的規(guī)范型，只需計算矩陣A的特征值得到A的正負慣性指數即可。由A2＋A＝2E可得λ2＋λ－2＝0，所以A的特征值只能為1或－2。又因為A＝4且A是3階矩陣，所以A的特征值為1，－2，－2。由A的特征值符號可得正慣性指數為1，負慣性指數為2，所以規(guī)范型為y12－y22－y3²。故選C。[問答題]1.（本題滿分10分）已知函數求f′（x），并求f（x）的極值。參考答案：f（x）為連續(xù)函數。當x＞0時，有x2x＝e2xlnx，則f′（x）＝（x2x）′＝（e2xlnx）′＝2x2x（lnx＋1）；當x＜0時，f′（x）＝（x＋1）ex。又因為所以f′（0）不存在，0為函數f（x）的不可導點。令f′（x）＝0，得x＝－1或x＝1/e，下面討論導數f′（x）在駐點（f′（x）＝0）和不可導點兩側的符號。①當x＜－1時，f′（x）＜0。當－1＜x＜0時，f′（x）＞0，所以x＝－1為極小值點，f（－1）＝1－1/e；②當－1＜x＜0時，f′（x）＞0。當0＜x＜1/e時，f′（x）＜0，所以x＝0為極大值點，f（0）＝1；③當0＜x＜1/e時，f′（x）＜0。當x＞1/e時，f′（x）＞0，所以1/e為極小值點，f（1/e）＝e－2/e。[問答題]2.（本題滿分10分）求不定積分參考答案：設求解，得A＝－2，B＝3，C＝2，D＝1，所以[問答題]3.（本題滿分10分）設函數y（x）是微分方程滿足條件的特解。（Ⅰ）求y（x）；（Ⅱ）設平面區(qū)域D＝{（x，y）1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，求D繞x軸旋轉所得旋轉體的體積。參考答案：（Ⅰ）用一階線性微分方程通解公式，可得由得C＝0，所以（Ⅱ）結合（Ⅰ）中求出的函數y（x），且D＝{（x，y）1≤x≤2，0≤y≤y（x）}，可得旋轉體體積為[問答題]4.（本題滿分10分）已知平面區(qū)域D＝{（x，y）x≤y，（x2＋y2）3≤y4}，計算二重積分參考答案：因為曲線（x2＋y2）3＝y(tǒng)4的極坐標方程為r＝sin2θ，且積分區(qū)域關于y軸對稱，所以[問答題]5.（本題滿分10分）設n是正整數，記Sn為曲線y＝e－xsinx（0≤x≤nπ）與x軸所圍圖形的面積。求Sn，并求參考答案：由題意可得又因為因此所以[問答題]6.（本題滿分11分）已知函數u（x，y）滿足求a，b的值，使得在變換u（x，y）＝v（x，y）eax＋by之下，上述等式可化為函數v（x，y）的不含一階偏導數的等式。參考答案：u對x的偏導數為u對y的偏導數為因此有代入題中所給的微分方程，得最后解得a＝0，b＝3/4。[問答題]7.（本題滿分11分）已知函數f（x）在[0，1]上具有2階導數，且f（0）＝0，f（1）＝1，，證明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f′（ξ）＝0；（Ⅱ）存在η∈（0，1），使得f″（η）＜－2。參考答案：證明：（Ⅰ）因為f（x）在[0，1]上具有2階導數，所以f（x）在[0，1]上連續(xù)，因此f（x）在[0，1]上必然取得最大值，記最大值點為ξ，下證ξ≠0且ξ≠1。因為則必有f（ξ）＞1，反之若不成立，即對一切x∈[0，1]，都有f（x）≤1，又由f（0）＝0，推得與題設矛盾。所以f（ξ）＞1，因此ξ≠0且ξ≠1。結合ξ為連續(xù)函數f（x）在[0，1]上的最大值點，ξ≠0且ξ≠1，可得f′（ξ）＝0。（Ⅱ）因為f（x）在[0，1]上具有2階導數，根據（1）中所設，可得函數f（x）在點ξ的泰勒展開式令x＝0，有0＝f（ξ）＋f″（η）ξ2/2！，則f″（η）＝（－2）f（ξ）/ξ2。由于f（ξ）＞1，所以[f（ξ）/ξ2]＞1，所以f″（η）＜－2。[問答題]8.（本題滿分11分）已知向量組Ⅰ：α1＝（1，1，4）T，α2＝（1，0，4）T，α3sub>＝（1，2，a2＋3）T；Ⅱ：β1＝（1，1，a＋3）T，β2（0，2，1－a）T，β3sub>＝（1，3，a2＋3）T。若向量組Ⅰ與Ⅱ等價，求a的取值，并將β3用α1，α2，α3線性表示。參考答案：首先求a的取值，因為向量組Ⅰ與Ⅱ等價，所以它們可以互相線性表示，即方程組（α1，α2，α3）X＝（β1，β2，β3）（β1，β2，β3）Y＝（α1，α2，α3）同時有解，亦即向量組的秩相等r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）。對（α1，α2，α3β1，β2，β3）作初等行變換得到矩陣分三種情況來進行討論：①當a≠±1時，有r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝3此時向量組Ⅰ與Ⅱ是等價的。②當a＝1時，有r（α1，α2，α3）＝r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝2此時向量組Ⅰ與Ⅱ是等價的。③當a＝－1時，有r（α1，α2，α3）＝2，r（α1，α2，α3，β1，β2，β3）＝r（β1，β2，β3）＝3此時向量組Ⅰ與Ⅱ不是等價的。綜上，a≠－1時向量組Ⅰ與Ⅱ等價。將β3用α1，α2，α3線性表示，即方程組k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3有一組不全為零的解，接下來分兩種情況來進行討論：①當a≠±1時，令方程組k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3，則有唯一解為（1，－1，1）T，即β3＝α1－α2＋α3。②當a＝1時，令方程組k1α1＋k2α2＋k3α3＝β3，則有通解為k（－2，1，1）T＋（3，－2，0）T，即β3＝（3－2k）α1＋（k－2）α2＋kα3，其中k為任意常數。[問答題]9.（本題滿分11分）已知矩陣與相似。（Ⅰ）求x，y；（Ⅱ）求可逆矩陣P，使得P－1AP＝B。參考答案：（Ⅰ）相似的矩陣有相同的特征值，因此特征值之和相同，又因為矩陣特征值之和等于矩陣的跡（矩陣對角線元素之和），所以有Σaii＝Σbii，A＝B，即求解得到x＝3，y＝－2。（Ⅱ）矩陣B的特征多項式f（λ）＝λE－B＝（λ－2）（λ＋1）（λ＋2），因此B的特征值為2，－1，－2。A與B相似，因此A的特征值也為2，－1，－2。下面分別求A和B的特征向量：由（2E－A）x＝0，得λ＝2的一個特征向量為α1＝（1，－2，0）T；由（－E－A）x＝0，得λ＝－1的一個特征向量為α2＝（－2，1，0）T；由（－2E－A）x＝0，得λ＝－2的一個特征向量為α3＝（1，－2，－4）T。令則有由（2E－B）x＝0，得λ＝2的一個特征向量為β1＝（1，0，0）T；由（－E－B）x＝0，得λ＝－1的一個特征向量為β2＝（－1，3，0）T；由（－2E－B）x＝0，得λ＝－2的一個特征向量為β3＝（0，0，1）T。令則有于是P1－1AP1＝P2－1BP2，得P2P1－1AP₁P2}－1＝B。令P＝P1P2－1，則有P－1AP＝B，其中[填空題]1.()。參考答案：4e2參考解析：運用重要極限和洛必達法則，計算得[填空題]2.曲線在t＝3π/2對應點處的切線在y軸上的截距為()。參考答案：3π/2＋2參考解析：切線斜率切點為（3π/2＋1，1），所以切線為y＝－x＋3π/2＋2，在y軸上的截距為3π/2＋2。[填空題]3.設函數f（u）可導，z＝y(tǒng)f（y2/x），則2x·（az/ax）＋y·（az/ay）＝()。參考答案：yf（y2/x）參考解析：運用鏈式求導法則，計