河南省中原名校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次聯(lián)考試題

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。河南省中原名校2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次聯(lián)考試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．直線的傾斜角為（）A．51° B．129° C．141° D．149°2．已知，為空間直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，，若，則（）A．0 B． C． D．3．若直線l交圓于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為M（1，0），則l的方程為（）A． B．C． D．4．設(shè)，則“直線與直線平行”是“a＝1”的（）A，充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．圓上到直線的距離為1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法．三庭：將整個(gè)臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點(diǎn)，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（）A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm7．已知空間四邊形PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC，M，N分別為AC，AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．直線l與圓相切，且l在x軸、y軸上的截距相等，則直線l的方程不可能是（）A． B．C． D．9．已知是空間向量的一個(gè)基底，是空間向量的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為（4，2，3），則向量在基底下的坐標(biāo)為（）A．（4，0，3） B．（1，2，3） C．（3，1，3） D．（2，1，3）10．已知三點(diǎn)，，，則的垂心到原點(diǎn)的距離為（）A． B． C． D．11．平面上到兩條相交直線的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為平行四邊形，其中這兩條相交直線是該平行四邊形對(duì)角線所在的直線．若平面上到兩條直線，的距離之和為3的點(diǎn)P的軌跡為曲線C，則曲線C圍成的圖形面積為（）A． B． C． D．12．在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上，則頂點(diǎn)B到平面APC距離的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．過點(diǎn)（1，2）作直線l，則滿足在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程是______．14．已知，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______．15．如圖，某空間幾何體由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)長方體組成，若，，P，Q，M，N分別是棱AB，，，的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是______．16．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為，則實(shí)數(shù)k的值是______．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本題滿分10分）已知直線，直線和．（1）求證：直線l恒過定點(diǎn)；（2）設(shè)（1）中的定點(diǎn)為P，l與，的交點(diǎn)分別為A，B，若P恰為AB的中點(diǎn)，求m．18．（本題滿分12分）已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓交于M，N兩點(diǎn)．（1）求k的取值范圍；（2）若，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求．19．（本題滿分12分）如圖，已知三棱柱中，M，N分別是，上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若，，，求MN的長．20．（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓，A是第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為．（1）若，求實(shí)數(shù)t的值；（2）過A點(diǎn)作斜率為k的直線和圓，圓均相切，求實(shí)數(shù)k的值．21．（本題滿分12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M，N分別是，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線上．（1）證明：；（2）當(dāng)平面PMN與平面ABC所成的銳二面角為45°時(shí)，求平面PMN與側(cè)面的交線長．22．（本題滿分12分）公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓，后世把這種圓稱之為阿波羅尼斯圓．已知平面直角坐標(biāo)系中，且．（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)A的直線l與點(diǎn)P的軌跡相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，M（2，0），則是否存在直線l，使取得最大值，若存在，求出此時(shí)直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．中原名校2022—2023學(xué)年上期第二次聯(lián)考高二數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）題號(hào)123456789101112答案CBABCBBBCBCD1．【解析】斜率，故選C．2．【解析】由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可得，因?yàn)?，則，所以，故選B．3．【解析】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)為，由垂徑定理可知，，∵，故，因此，直線l的方程為，即．故選A．4．【解析】“直線與直線平行”的充要條件是，解得或，所以是必要不充分條件．故選B．5．【解析】由圓，可知其圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離，所以可知有3個(gè)，故選C．6．【解析】如圖，以鼻尖所在位置為原點(diǎn)O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，直線，整理為，原點(diǎn)O到直線距離為，故選B．7．【解析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令PA＝2，則，，，，則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則．故選B．8．【解析】由于直線l在x軸、y軸上的截距相等，設(shè)直線為：或由于直線l與圓相切，故圓心（2，0）到直線的距離等于半徑∴或∴．故直線的方程為：，，，故選B．9．【解析】∵在基底下的坐標(biāo)為（4，2，3）∴設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，對(duì)照系數(shù)，可得：，解得：，∴在基底下的坐標(biāo)為（3，1，3），故選C．10．【解析】由題意可得，，∴為等邊三角形，故的垂心是的中心，又等邊的高為，故中心為，故垂心到原點(diǎn)的距離．故選B．11．【解析】設(shè)，則P的軌跡方程為，令，則曲線C與交于，，令，則曲線C與交于，，易知：．故選C．12．【解析】如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，故，又，，于是，設(shè)平面APC的法向量，則有，可取，則點(diǎn)B到平面APC的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B到平面APC的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)B到平面APC的最大距離為，故選D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．或 14．415． 16．或13．【解析】若截距相等且不為0，可以設(shè)直線方程為：將點(diǎn)（1，2）代入直線方程后可得：，解得：a＝3．此時(shí)，直線方程為：；若截距為0，則直線過原點(diǎn)，此時(shí)，直線的方程為：．綜上：直線l的方程是或．14．【解析】因?yàn)?，故，即，故，故?5．【解析】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題可得，，，，所以，，所以，所以異面直線PQ與MN所成角的余弦值是．16．【解析】由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為r＝2，因?yàn)榈拿娣e為，可得，解得，所以或；可得或，又由圓的弦長公式可得d＝1或，由點(diǎn)到直線的距離公式：或，解得或．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．【解析】（1）由題，可化為，由于，所以，解得，即直線l恒過定點(diǎn)．（2）由（1）知，不妨設(shè)，則，滿足，解得，代入直線l方程得．18．【解析】（1）由題設(shè)，可知直線l的方程為．因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以，解得，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，．將代入方程，整理得，所以，．，由題設(shè)可得，解得，所以l的方程為y＝x＋1．故圓心在直線l上，所以．19．【解析】（1）由圖形知：．（2）由題設(shè)條件∵．∴，．20．【解析】（1）因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)椋裕?，解得．?）設(shè)直線，則，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)橹本€l和圓，圓均相切，所以，所以，所以或，即或，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得，總之，．將代入得；將代入得，故k的值為或．21．【解析】（1）由題意AB，AC，兩兩垂直．所以以，，分別作為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，∴，．設(shè)，∴，則，．則，所以．（2）設(shè)，則，，設(shè)平面PMN的法向量為，則，即，令x＝3，則，又平面ABC的一個(gè)法向量為，平面PMN與平面ABC所成的銳二面角為45°時(shí)，∴，即，解得，此時(shí)，如圖位置，設(shè)E為AB的中點(diǎn)，連接PE，交于點(diǎn)Q，由且所以與全等，則Q為中點(diǎn)．連接QM，EN，由Q，M分別為，中點(diǎn)，則又E，N分別為AB，BC中點(diǎn)，則，所以所以點(diǎn)E，N，M，Q共