河北省承德市灤平縣巴克什營(yíng)鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

河北省承德市灤平縣巴克什營(yíng)鎮(zhèn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在張卡片上分別寫著數(shù)字、、、、，然后把它們混合，再任意排成一行，則得到的數(shù)能被或整除的概率是A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.若，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知是兩條不同直線，是兩個(gè)不同平面，下列命題中的真命題是（

）

A．如果，那么

B．如果，那么C．如果共面，那么∥D．如果∥,，,那么參考答案：C4.如右圖，一個(gè)直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．那么，當(dāng)小圓這樣滾過(guò)大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（

）

參考答案：A5.已知集合A=，則=()A.（2，6） B.（2，7） C.（-3，2] D.（-3，2）參考答案：C【分析】由題得={x|x≤2或x≥7}，再求得解.【詳解】由題得={x|x≤2或x≥7}，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，如果存在函數(shù)為常數(shù)），使得對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，那么稱為函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù).已知對(duì)于任意，是函數(shù)的一個(gè)承托函數(shù)，記實(shí)數(shù)a的取值范圍為集合M，則有（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的概率等于

A、

B、

C、

D、參考答案：D8.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)乘除和乘方【試題解析】

所以z的共軛復(fù)數(shù)為1+i，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1，1）。

故答案為：A9.已知函數(shù)f(x)=xex－x2－mx，則函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值不可能為（）A．e－m B．－mln2m

C．2e2﹣4m D．e2﹣2m參考答案：D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】f′（x）=ex+xex﹣m（x+1）=（x+1）（mex﹣1）．對(duì)a分類討論：當(dāng)m≤時(shí)，當(dāng)e＞m＞時(shí)，當(dāng)m≥e時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可．【解答】解：f′（x）=ex+xex﹣m（x+1）=（x+1）（mex﹣1），①當(dāng)m≤時(shí)，ex﹣m＞0，由x≥﹣1，可得f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=e﹣m．②當(dāng)m≥e時(shí)，ex﹣m≤0，由x≥﹣1，可得f′（x）≤0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（2）=2e2﹣4m．③當(dāng)e＞m＞時(shí)，由ex﹣m=0，解得x=lnm．當(dāng)﹣1≤x＜lnm時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)lnm＜x≤1時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=lnm時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，f（lnm）=﹣．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．10.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)不等式成立，若，

，則的大小關(guān)系是A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函數(shù)f（x）=x3﹣|x|圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且在A，B兩點(diǎn)處的切線互相平行，則的取值范圍為

．參考答案：（﹣1，0）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】首先把含有絕對(duì)值的函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，然后求導(dǎo)，通過(guò)在A，B兩點(diǎn)處的切線互相平行，即在A，B兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，分析出A點(diǎn)在y軸的右側(cè)，B點(diǎn)在y軸的左側(cè)．根據(jù)A，B兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，得到x1與x2的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式得出它表示的曲線，然后利用式子的幾何意義求解．【解答】解：由題意，f（x）=x3﹣|x|=，

當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=3x2﹣1，

當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=3x2+1，

因?yàn)樵贏，B兩點(diǎn)處的切線互相平行，且x1＞x2，

所以x1＞0，x2＜0（否則根據(jù)導(dǎo)數(shù)相等得出A、B兩點(diǎn)重合），

所以在點(diǎn)A（x1，y1）處切線的斜率為f′（x1）=3﹣1，

在點(diǎn)B（x2，y2）處切線的斜率為f′（x2）=3+1

所以3﹣1=3+1，

即，（x1＞x2，x2＜0）

表示的曲線為雙曲線在第四象限的部分，如圖：表示這個(gè)曲線上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，

由圖可知取值范圍是（﹣1，0），故答案為：（﹣1，0）．12.已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面積分別為的最小值為

．參考答案：18【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用；向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【分析】利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得bc的值，利用三角形的面積公式求得x+y的值，進(jìn)而把+轉(zhuǎn)化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值．【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2?bc=4，故S△ABC=x+y+=bcsinA=1?x+y=，而+=2（+）×（x+y）=2（5++）≥2（5+2）=18，故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的運(yùn)算．要注意靈活利用y=ax+的形式．13.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=﹣圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q（2a，a﹣3）（a∈R），則|PQ|的最小值為．參考答案：﹣2考點(diǎn)： 兩點(diǎn)間的距離公式．專題： 直線與圓．分析： 將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線的特點(diǎn)，利用直線和圓的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．解答： 解：由函數(shù)y=﹣，得（x﹣1）2+y2=4，（y≤0），對(duì)應(yīng)的曲線為圓心在C（1，0），半徑為2的圓的下部分，∵點(diǎn)Q（2a，a﹣3），∴x=2a，y=a﹣3，消去a得x﹣2y﹣6=0，即Q（2a，a﹣3）在直線x﹣2y﹣6=0上，過(guò)圓心C作直線的垂線，垂足為A，則|PQ|min=|CA|﹣2=﹣2=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式確定對(duì)應(yīng)曲線是解決本題的關(guān)鍵．14.已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則a=_____．參考答案：【分析】求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得a的值．【詳解】，，又因?yàn)?，切點(diǎn)是，切線方程是：，.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.三棱錐中，則三棱錐的外接球的表面積為

.參考答案：略16.已知向量，，．若，則________．參考答案：解答：，∵，∴，解得.

17.已知奇函數(shù)f（x）=，則f（﹣2）的值為．參考答案：﹣8【考點(diǎn)】3T：函數(shù)的值．【分析】由f（x）為R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，從而可得a值，設(shè)x＜0，則﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x）得3﹣x﹣1=﹣f（x），由此可得f（x），即g（x），即可求得f（﹣2）．【解答】解：因?yàn)槠婧瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，所以f（0）=0，即30﹣a=0，解得a=1，設(shè)x＜0，則﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x），即3﹣x﹣1=﹣f（x），所以f（x）=﹣3﹣x+1，即g（x）=﹣3﹣x+1，所以f（﹣2）=g（﹣2）=﹣32+1=﹣8．故答案為：﹣8．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓方程.(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求.參考答案：

19.（本小題滿分12分）甲袋中裝有大小相同的紅球1個(gè)，白球2個(gè)；乙袋中裝有與甲袋中相同大小的紅球2個(gè)，白球3個(gè)．先從甲袋中取出1個(gè)球投入乙袋中，然后從乙袋中取出2個(gè)小球．（Ⅰ）求從乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球的概率；（Ⅱ）記從乙袋中取出的2個(gè)小球中白球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：（Ⅰ）記“乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球”為事件A，包含如下兩個(gè)事件：“從甲袋中取出1紅球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”、“從甲袋中取出1白球投入乙袋，然后從乙袋取出的兩球中僅1個(gè)紅球”，分別記為事件A1、A2，且A1與A2互斥，則：，，

4分∴，故從乙袋中取出的2個(gè)小球中僅有1個(gè)紅球的概率為．·····································6分（Ⅱ）＝0、1、2．，，,（答對(duì)一個(gè)得1分）··············································9分∴的分布列為012P∴.(分布列1分,方差2分；分布列部分對(duì)給1分)

12分20.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，直線l的極坐標(biāo)方程為，它與曲線C1的交點(diǎn)為O，P，與曲線C2的交點(diǎn)為Q，求的面積.參考答案：（1）（2）1【分析】（1）首先把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，利用普通方程與極坐標(biāo)方程互化的公式即可得到曲線的極坐標(biāo)方程；（2）分別聯(lián)立與的極坐標(biāo)方程、與的極坐標(biāo)方程，得到、兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，即可求出的長(zhǎng)，再計(jì)算出到直線的距離，由此即可得到的面積?！驹斀狻拷猓海?），其普通方程為，化為極坐標(biāo)方程為（2）聯(lián)立與的極坐標(biāo)方程：，解得點(diǎn)極坐標(biāo)為

聯(lián)立與的極坐標(biāo)方程：，解得點(diǎn)極坐標(biāo)為，所以，又點(diǎn)到直線的距離，

故的面積.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化，利用極徑的幾何意義求三角形面積是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題。21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F1與拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的一個(gè)短軸端點(diǎn)時(shí)，與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切．（1）求橢圓C的方程；（2）是否在x軸上存在定點(diǎn)M，使?為定值？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)M及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】KH：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得c=，即a2﹣b2=3，求得直線經(jīng)過(guò)（﹣c，0）和（0，b）的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合離心率公式可得b，a，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）假設(shè)直線l的斜率存在，設(shè)直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程x2+4y2=4，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)出M（m，0），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合定值，可得m，以及向量數(shù)量積的值；再討論直線l的斜率不存在，求得A，B，驗(yàn)證成立．【解答】解：（1）拋物線y2=﹣4x的焦點(diǎn)為（﹣，0），由題意可得c=，即a2﹣b2=3，由直線l經(jīng)過(guò)（﹣c，0）和（0，b），可得直線l：bx﹣cy+bc=0，直線l與原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切，可得=e==，解得b=1，則a=2，即有橢圓的方程為+y2=1；（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=k（x+），代入橢圓方程x2+4y2=4，可得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣，x1x2=，設(shè)M（m，0），=（m﹣x1，﹣y1），=（m﹣x2，﹣y2），?═（m﹣x1）（m﹣x2）+y1y2=m2﹣m（x1+x2）+x1x2+k2（x1+）（x2+）=m2+（k2﹣m）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+3k2=m2+（k2﹣m）（﹣）+（1+k2）?+3k2=，要使?為定值，則=4，解得m=﹣，即有?=﹣．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A（﹣，﹣），B（﹣，），=（﹣，），=（﹣，﹣），可得?=﹣．則在x軸上存在定點(diǎn)M（﹣，0），使得?為定值﹣．22.已知函數(shù)f（x）=（a﹣bx3）ex﹣，且函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，e）處的切線與直線x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）求證：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＞2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，e）處的切線與直線x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直，求得a，b；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，證f（x）＞2，即證2ex﹣exx3＞2，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：因?yàn)閒（1）=e，故（a﹣b）e=e，故a﹣b=1①；依題意，f′（1）=﹣2e﹣1；又，故f′（1）=ae﹣1﹣4be=﹣2e﹣1，故a﹣4b=﹣2②，聯(lián)立①②解得a=2，b=1，…（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得要證f（x）＞2，即證2ex﹣exx3＞2；

…令g（x）=2ex﹣exx3，∴g′（x）=ex（﹣x3﹣3x2+2）=﹣ex（x3+3x2﹣2）=﹣ex（x+1）（x2+2x﹣2），故當(dāng)x∈（0