2024版高中同步新教材選擇性必修第一冊（人教A版）數(shù)學 第三章 圓錐曲線的方程 本章復(fù)習提升

第三章圓錐曲線的方程本章復(fù)習提升易混易錯練易錯點1忽略圓錐曲線的方程中的限制條件致錯1.(多選題)已知曲線C:x2m?1+y23?m=1(mA.若1<m<3,則C為橢圓B.若m<1,則C為雙曲線C.若C為橢圓,則其長軸長一定大于2D.若C為焦點在x軸上的雙曲線,則其離心率小于22.已知F1,F2分別為橢圓E:x29+y2=1的左、右焦點,P是橢圓E上一動點,G是三角形PF1F2的重心,則點G的軌跡方程為(A.x2+9y2=1B.x2+9y2=1(y≠0)C.x281+y29易錯點2對圓錐曲線的定義理解不清致錯3.(2023河南平頂山月考)在平面直角坐標系中,與點(2,3)之間的距離和其到直線x+2y-8=0的距離相等的點的軌跡是()A.直線B.拋物線C.圓D.雙曲線4.(2023浙江嘉興八校聯(lián)盟)下列說法正確的是()A.到點F1(-4,0),F2(4,0)的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓B.到點F1(-4,0),F2(4,0)的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓C.到點F1(-4,0),F2(4,0)的距離之和等于12的點的軌跡是橢圓D.到點F1(-4,0),F2(4,0)的距離相等的點的軌跡是橢圓5.(2023江西贛州名校聯(lián)考)已知雙曲線C:x225?y224=1的兩個焦點分別是F1,F2,P為雙曲線C上一點,若|PF1|=11,易錯點3忽略圓錐曲線的焦點位置致錯6.若橢圓x29+y2m+4=1的焦距為2,A.1或4B.4或6C.1或6D.4或77.已知橢圓的長軸長為10,其焦點到中心的距離為4,則橢圓的標準方程為.

8.(2023河南許昌期中)若某雙曲線的漸近線方程為y=±34x,則其離心率為易錯點4忽略直線的斜率不存在的情況致錯9.(2023河南四市名校期中聯(lián)考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b(1)求C的方程;(2)直線l過C的右焦點F,且和C交于A,B兩點,設(shè)O是坐標原點,若三角形OAB的面積是23,求l的方程.思想方法練一、轉(zhuǎn)化與化歸思想在圓錐曲線中的應(yīng)用1.(2023江蘇南京十三中期中)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,直線l與拋物線交于M,N兩點.(1)若l過點F,且|MN|=3p,求l的斜率;(2)若Pp2,p,且l的斜率為-1,當P?l時,求l在y軸上的截距的取值范圍(用p表示),并證明∠MPN的平分線始終與y軸平行二、函數(shù)與方程思想在圓錐曲線中的應(yīng)用2.已知橢圓的兩個焦點分別為F1(-1,0),F2(1,0),且直線y=x-3與橢圓相切.(1)求橢圓的方程;(2)過F1作兩條互相垂直的直線l1,l2,與橢圓分別交于點P,Q及點M,N,求四邊形PMQN的面積的最大值與最小值.三、分類討論思想在圓錐曲線中的應(yīng)用3.(2023河南鄭州外國語學校期中)已知圓錐曲線x24+y2m=1的離心率e為方程3x2-10x+3=0的根,則滿足條件的A.1B.2C.3D.44.已知橢圓C:x225+y2m2=1(0<m<5)的離心率為154(1)求C的方程;(2)若點P在C上,點Q在直線x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面積.答案與分層梯度式解析第三章圓錐曲線的方程本章復(fù)習提升易混易錯練1.BCD2.B3.A4.C6.B1.BCD對于A選項,若C為橢圓,則m?1>0,3?m>0,m?1≠3?m,解得m∈(1,對于B選項,若C為雙曲線,則(m-1)(3-m)<0,即m>3或m<1,B正確;對于C選項,結(jié)合A中分析知,若C為橢圓,則m∈(1,2)∪(2,3),當m∈(1,2)時,m-1∈(0,1),3-m∈(1,2),此時橢圓的長軸長為23?m>2當m∈(2,3)時,m-1∈(1,2),3-m∈(0,1),此時橢圓的長軸長為2m?1>2,C正確對于D選項,若C為焦點在x軸上的雙曲線,則m?1>0,3?m則雙曲線C的離心率e=m?1+m?3m2.B∵F1,F2分別為橢圓E:x29+y2=1的左、右焦點,∴F1(-22,0),F2(22,0設(shè)G(x,y),P(m,n),則x=?2∵點P為橢圓E上的動點,∴m29+n2=1,∴x2+9y2=1.又P與F1,F2不共線,∴n≠0,∴y≠∴△PF1F2的重心G的軌跡方程為x2+9y2=1(y≠0).故選B.易錯警示求解與圓錐曲線方程有關(guān)的問題時,要注意其中字母的不同范圍與對應(yīng)曲線的關(guān)系.另外在求動點的軌跡問題時,要注意是否存在隱含條件,不能擴大或縮小變量的取值范圍.如本題中,易忽略題中的隱含條件:P與F1,F2共線時,P,F1,F2三點不能構(gòu)成三角形.3.A因為點(2,3)在直線x+2y-8=0上,所以所求點的軌跡是過點(2,3)且與直線x+2y-8=0垂直的直線.易錯警示定點不在定直線上時,平面內(nèi)到該定點和到該定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線;定點在定直線上時,平面內(nèi)到該定點和到該定直線的距離相等的點的軌跡是直線.4.C選項A中,到點F1,F2的距離之和等于8的點的軌跡是線段F1F2,所以A錯誤;選項B中,點的軌跡不存在,所以B錯誤;選項C中,根據(jù)橢圓的定義可知正確;選項D中,點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線,所以D錯誤.故選C.5.答案21解析由方程x225?y224=1可知a=5,c=7,又|PF1|=11<a+c,所以P在靠近F1的那一支上.根據(jù)雙曲線的定義可知|PF2|-|PF1|=10易錯警示本題容易認為||PF2|-|PF1||=10,從而解得|PF2|=21或|PF2|=1,實際上|PF2|=1是不存在的,因為PF2|min=c-a=2.錯誤原因是沒有正確理解雙曲線中||PF2|-|PF16.B由題意可得c=1.當橢圓的焦點在x軸上時,9-(m+4)=1,解得m=4;當橢圓的焦點在y軸上時,(m+4)-9=1,解得m=6.綜上,m=4或m=6.故選B.7.答案x2解析因為橢圓的長軸長為10,其焦點到中心的距離為4,所以2a=10,c=4,即a=5,c=4,又b2=25-16=9,所以當橢圓的焦點在x軸上時,橢圓的標準方程為x28.答案5解析當焦點在x軸上時,ba=34,∴e=ca=1+b2a2=易錯警示研究含參數(shù)的圓錐曲線方程時,要注意判斷焦點的位置,如果不能確定焦點的位置,要分兩種情況討論,解題時防止因未對焦點的位置進行判斷而出現(xiàn)錯誤.9.解析(1)由已知,可得a=2,b=c=1,所以C的方程為x22+y2(2)易知F(1,0).①若l的斜率不存在,則易知S△OAB=12|AB||OF|=12×2②若l的斜率存在,設(shè)l:y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),將直線l的方程和C的方程聯(lián)立,消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,則x1+x2=4k21+2k2,x1所以|AB|=1+k2|x1-x=1+=1+=1+k點O到直線l的距離d=k1+所以S△OAB=12|AB|×d=12×22(k2解得k2=1,所以k=±1,所以l的方程為y=x-1或y=-x+1.易錯警示在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時,常要設(shè)出直線的方程,并且一般需對直線的斜率是否存在進行討論,避免產(chǎn)生增根或者丟解.思想方法練1.解析(1)當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=p2,與拋物線方程聯(lián)立,消去x可得y2=p2,即y=±p,所以|MN|=2p但|MN|=3p,故直線l的斜率存在,設(shè)其為k,易知k≠0,則直線l的方程為y=kx?p2(k≠由y=kx?p2,y2=2px,消去y,得k2x2-設(shè)M(xM,yM),N(xN,yN),則xM+xN=k2所以|MN|=|MF|+|NF|=xM+p2+xN+利用拋物線的定義進行距離的轉(zhuǎn)化,從而得到與k有關(guān)的式子并求解.解得k=±2,所以直線l的斜率為±2.(2)設(shè)直線l的方程為y=-x+m,M(x1,y1),N(x2,y2).由y=?x+m,y2=2px,消去y,得x2-(2則x1+x2=2m+2p,x1x2=m2.由Δ=(2m+2p)2-4m2>0,得m>-p2.又P?l,故-p2+m≠p,所以m≠3p2,從而l在y軸上的截距m的取值范圍為通過∠MPN與直線PM,PN的傾斜角的關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之間的關(guān)系問題.kPM+kPN=y=(=(?=?2=?2m2所以直線PM,PN的斜率互為相反數(shù),從而∠MPN的平分線始終與y軸平行.思想方法轉(zhuǎn)化與化歸思想在解析幾何中的運用常常體現(xiàn)在以下方面:利用圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)對相關(guān)的量進行轉(zhuǎn)化與化歸,將一般點或一般圖形轉(zhuǎn)化為特殊點或特殊圖形,將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式或者代數(shù)運算,將代數(shù)形式或者代數(shù)運算翻譯為幾何圖形語言等.2.解析(1)由題意得橢圓的焦點在x軸上,故設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2由x2a2+y2b2=1,y=x?3,消去y,得(a2+b2)x2因為直線y=x-3與橢圓相切,所以Δ=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.又兩焦點分別為F1(-1,0),F2(1,0),所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,利用方程知識得到a,b的關(guān)系式,再解方程組得到a2,b2,進而得到橢圓的方程.所以橢圓的方程為x22+y2(2)若直線PQ的斜率不存在(或為0),則S四邊形PMQN=|MN|·|PQ|2=若直線PQ的斜率存在且不為0,設(shè)斜率為k(k≠0),則直線MN的斜率為-1k,直線PQ的方程為y=kx+設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由x22+y2=1,y=kx+k,消去y,得(2k2+1所以x1+x2=?4k22k2+1,x所以|PQ|=1+k2|x1-x=(1+k2)[16同理,|MN|=22×k2聯(lián)立方程,消元得到一個一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式計算相關(guān)長度.所以S四邊形PMQN=|PQ|·|MN|2=4×=4×k4+2k=4×12根據(jù)四邊形的面積公式,建立關(guān)于k的關(guān)系式,將四邊形PMQN的面積看成關(guān)于k的函數(shù),求解函數(shù)的最值即可.因為4k2+4k2+10≥24k2·4k所以14k2所以4×12?1綜上所述,四邊形PMQN的面積的最小值為169,最大值為2思想方法在解析幾何中,建立坐標系,利用代數(shù)方法構(gòu)造方程或函數(shù),通過方程或函數(shù)的知識解決問題是一種最基本的方法.在與圓錐曲線有關(guān)的問題中,常將求圓錐曲線中面積(或長度)的最值或者范圍問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題,然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求范圍或者最值.3.C由3x2-10x+3=(3x-1)(x-3)=0,得x=13或x=3,即e=13或e根據(jù)e的不同取值進行分類討論.當e=13時,曲線為橢圓由于橢圓方程不能確定焦點位置,故分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況分別求解.當橢圓的焦點在x軸上時,0<m<4,則4?m4=19,解得m當橢圓的焦點在y軸上時,m>4,則m?4m=19,可得m當e=3時,曲線為雙曲線,則m<0,故4?m4=9,可得m=-32,綜上,m有3個不同的值.故選C.4.解析(1)由題可知a=5,b=m,又離心率e=ca∴m=54,∴C的方程為x225+y2(2)不妨設(shè)P,Q均在x軸上方,過點P作x軸的垂線,垂足為M,設(shè)直線x=6與x軸的交點為N.根據(jù)題意畫出圖形,如圖1.圖1∵|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,∠PMB=∠QNB=90°,且∠PBM+∠QBN=90°,∠BQN+∠QBN=90°,∴∠PBM=∠BQN,∴△PMB≌△BNQ.易得B(5,0),N(6,0),∴|PM|=|BN|=6-5=1,設(shè)P(xP,yP),則yP=1,則P(xP,1),將(xP,1)代入x225+16y225=1,可得xP225+1625=1,解得xP=3或xP=-3,∴P根據(jù)P點位置的不同進行分類討論,分別作圖并求解.①當P點坐標為(3,1)時,如圖2,此時|MB|=5-3=2,∵△PMB≌△BNQ,∴|NQ|=|MB|=2,∴Q點坐標為(6,2),∵A(-5,0),Q(6,2),∴直線AQ的方程為y=2?06+5(x+5),即2x-11y+10=0根據(jù)點到直線的距離公式可得P到直線AQ的距離d=|2×3?11×1+10根據(jù)兩點間的距離公式可得|AQ|=(6+5)2+(2?0)2=55,∴△APQ的面積為1圖2圖3②當P點坐標為(-3,1)時,如圖3,此時|MB|=5+3=8,∵△PMB≌△BNQ,∴|NQ|=|MB|=8,∴Q點坐標為(6,8),∵A(-5,0),Q(6,8),∴直線AQ的方程為y=8?06+5(x+5),即8x-11y+40=0根據(jù)點到直線的距離公式可得P到直線AQ的距離d'=|8×