2024版高中同步新教材選擇性必修第一冊（人教A版）數(shù)學 第三章 圓錐曲線的方程 拋物線的簡單幾何性質(zhì)

第三章圓錐曲線的方程3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練題組一拋物線的簡單幾何性質(zhì)1.若拋物線y2=2px(p>0)上任意一點到焦點的距離恒大于1,則p的取值范圍是()A.p<1B.p>1C.p<2D.p>22.(2023四川成都月考)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M到其準線及對稱軸的距離分別為3和22,則p=()A.2B.2或4C.1或2D.13.等腰直角三角形AOB的三個頂點均在拋物線y2=2px(p>0)上,O為拋物線的頂點,且OA⊥OB,則△AOB的面積是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p24.(2022江蘇鎮(zhèn)江中學期中)已知F為拋物線y2=2px(p>0)的焦點,過F作垂直于x軸的直線交拋物線于M,N兩點,以MN為直徑的圓交y軸于C,D兩點,且|CD|=3,則拋物線的標準方程為()A.y2=2xB.y2=23xC.y2=43xD.y2=6x5.(2023安徽巢湖第一中學月考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,Q為C上一點,M為C的準線l上一點且QM∥x軸.若O為坐標原點,P在對稱軸上,且在點F的右側(cè),|OP|=4,|QF|=|QP|,∠MQP=120°,則準線l的方程為()A.x=-16C.x=-46.已知拋物線的頂點在原點,對稱軸為y軸且經(jīng)過點(4,1),則其準線與對稱軸的交點坐標是.

題組二直線與拋物線位置關(guān)系的簡單應(yīng)用7.已知過點P(0,1)的直線l與拋物線y2=4x相交于不同的兩點,k為直線l的斜率,則k的取值范圍為()A.(-∞,0)∪(0,1)B.(-∞,1)C.(-∞,0)D.(0,1)8.(2022四川成都七中期中)若過點P(0,2)的直線l與拋物線C:y2=2x有且只有一個公共點,則這樣的直線l共有()A.1條B.2條C.3條D.4條9.(2023江蘇揚州中學月考)已知拋物線C:y2=4x,過點P(2,1)的直線l與拋物線C交于A,B兩點,若點P是線段AB的中點,則直線l的斜率為()A.4B.2C.1D.110.(2022浙江寧波鎮(zhèn)海中學期中)已知斜率為3的直線l經(jīng)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,并與拋物線交于A,B兩點,且|AB|=8,則p=()A.1B.2C.3D.411.已知拋物線y2=4x的焦點為點F,過焦點F的直線l交該拋物線于A、B兩點,O為坐標原點,若△AOB的面積為22,則直線l的斜率為()A.±12B.±1C.±2D.±212.(2023河南鄭州外國語學校期中)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(2,y0)為拋物線上一點,且|AF|=4.(1)求拋物線的方程;(2)不過原點的直線l:y=x+m與拋物線交于不同兩點P,Q,若OP⊥OQ,求m的值.13.已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與x軸交于點M,過點M的直線l與拋物線交于A、B兩點,設(shè)A(x1,y1)到準線的距離為d.(1)若y1=d=3,求拋物線的標準方程;(2)若2MA=AB,求直線l14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)與直線y=x+2相切.(1)求C的方程;(2)過C的焦點F的直線l與C交于A,B兩點,AB的中垂線與C的準線交于點P,若|PA|=32|AB|,求l的方程題組三拋物線的綜合應(yīng)用15.雙曲線C1:x24?y2b2=1(b>0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p>0)相交于點O,A,B(O為坐標原點),若△OAB的垂心為C216.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F與曲線x2+2y2=1的右頂點重合,過點P(0,-4)的直線l與拋物線交于A,B兩點.(1)求拋物線的方程;(2)若PB=4PA,且A在x軸的下方,B在x軸的上方,求△OAB17.(2023黑龍江哈三中月考)以拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦AB為直徑的圓與準線切于點(-2,-3).(1)求這個圓的方程;(2)求△AOB的面積.

能力提升練題組一拋物線的幾何性質(zhì)1.(2023重慶部分學校聯(lián)考)設(shè)O為坐標原點,P是以F為焦點的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點,且點P在第一象限,M是線段PF上的點,若|PM|=3|MF|,則直線OM的斜率的最大值為()A.2C.12.(多選題)(2023浙江Z20聯(lián)盟期中聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線方程為x=-1,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點,過A,B兩點分別作準線的垂線,垂足分別為A1,B1,P為線段AB的中點,O為坐標原點,則()A.線段AB長度的最小值為4B.∠A1FB1為銳角C.A,O,B1三點共線D.P的坐標可能為(3,-2)3.(多選題)(2023遼寧大連第二十四中學月考)已知拋物線C:y2=2px(p>0),C的準線與x軸交于K,過焦點F的直線l與C交于A、B兩點,A在第一象限,連接AK、BK,設(shè)AB的中點為P,過P作AB的垂線交x軸于Q,下列結(jié)論正確的是()A.|AF|·|BK|=|AK|·|BF|B.tan∠AKF=cos∠PQFC.△AKB面積的最小值為p2D.|AB|=2|FQ|4.一條光線從拋物線y2=2px(p>0)的焦點F射出,經(jīng)拋物線上一點B反射后,反射光線經(jīng)過點A(5,4),若|AB|+|FB|=6,則拋物線的標準方程為.

題組二拋物線的焦點弦、相交弦5.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為()A.16B.14C.12D.106.(2023河南平頂山月考)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為π6的直線,交拋物線于A,B兩點,若1|AF|+1|BF|=2,則實數(shù)pA.12C.37.(2023遼寧省實驗中學段考)已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點,且AF=2FB,拋物線的準線l與x軸交于點C,AA1⊥l于點A1,若四邊形AA1CF的面積為52,則準線l的方程為(A.x=-2C.x=-2D.x=-18.(2023河南鄭州四中期中)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F且斜率為1的直線與拋物線C交于點A,B兩點,以線段AB為直徑的圓E上存在兩點P,Q,使得以PQ為直徑的圓過點D(-2,t),則實數(shù)t的取值范圍為()A.(-∞,-1]∪[3,+∞)B.[-1,3]C.(-∞,2-7]∪[2+7,+∞)D.[2-7,2+7]9.已知點F為拋物線C:y2=4x的焦點.若過點F的直線l交拋物線C于A,B兩點,交該拋物線的準線于點M,且MA=λ1AF,MB=λ2BF,則A.2B.1C.0D.-110.(2023河南鄭州回民高級中學期中)已知直線l:2kx-2y-kp=0與拋物線C:y2=2px(p>0)相交于A、B兩點,點M(-1,-1)是拋物線C的準線與以AB為直徑的圓的公共點,則下列結(jié)論錯誤的是()A.p=2B.k=-2C.△MAB的面積為55D.|AB|=511.(多選題)(2023江蘇南京一中期中)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過點F的直線l交拋物線于A、B兩點,以線段AB為直徑的圓交y軸于M、N兩點,設(shè)線段AB的中點為P,則()A.OAB.若|AF|·|BF|=4p2,則直線AB的斜率為3C.若拋物線上存在一點E(2,t)到焦點F的距離等于3,則拋物線的方程為y2=8xD.若點F到拋物線準線的距離為2,則sin∠PMN的最小值為1題組三直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用12.(多選題)已知點M(1,0),直線l:x=-2,若某直線上存在點P,使得點P到點M的距離比其到直線l的距離小1,則稱該直線為“最遠距離直線”,則下列結(jié)論正確的是()A.點P的軌跡是一條線段B.點P的軌跡與直線x=-1沒有交點C.y=2x+6不是“最遠距離直線”D.y=12x13.在平面直角坐標系Oxy中,拋物線的頂點是原點,對稱軸為x軸,且經(jīng)過點A(1,2).過點A作直線l1,l2分別交拋物線于點C,D(異于點A),直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,且滿足k1+k2=-4.(1)求該拋物線的方程;(2)試判斷直線CD是否過定點.若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.14.如圖,已知橢圓C1:x22+y2=1,拋物線C2:y2=2px(p>0),點A是橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點,過點A的直線l交橢圓C1于點B,交拋物線C2于M(B,M不同于A(1)若p=116,求拋物線C2的焦點坐標(2)若存在不過原點的直線l使M為線段AB的中點,求p的最大值.15.(2023遼寧省實驗中學期中)已知拋物線C:y2=4x,點P(4,4).(1)設(shè)斜率為1的直線l與拋物線C交于A,B兩點,若△PAB的面積為22,求直線l的方程;(2)是否存在定圓M:(x-m)2+y2=4,使得過曲線C上任意一點Q作圓M的兩條切線,與曲線C交于另外兩點A,B時,總有直線AB也與圓M相切?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

答案與分層梯度式解析第三章圓錐曲線的方程3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練1.D2.B3.B4.B5.C7.A8.C9.B10.C11.B1.D取拋物線上任意一點P,則P到焦點的距離等于其到準線:x=-p2的距離顯然當P為拋物線的頂點時,P到準線的距離取得最小值p2,∴p2>1,即p>22.B因為拋物線y2=2px(p>0)上一點M到其準線及對稱軸的距離分別為3和22,所以|y整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故選B.3.B不妨設(shè)點A在x軸上方,由拋物線的對稱性及題意可知kOA=1,故直線OA的方程為y=x,則A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=12×2p×4p=4p24.B不妨設(shè)M、C在x軸上方,如圖,連接CF,由題意可知|MN|=2p(p>0),所以圓的半徑為p,由對稱性知|OC|=12|CD|=32,在Rt△COF中,p22+322=p2,解得p=5.C根據(jù)拋物線的對稱性,不妨設(shè)點Q在第一象限,如圖,由題知P(4,0),QM⊥l,由拋物線的定義知|QF|=|QM|,∵|QF|=|QP|,∴|QP|=|QM|,又∠MQP=120°,QM∥x軸,∴∠QPF=60°,∴△PFQ為等邊三角形,∴點Q的橫坐標xQ=p2∴|QM|=2+p4又|QM|=|QP|=|FP|=4-p2,∴2+3p4=4?p2,解得p=85,∴準線6.答案(0,-4)解析依題意設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0),則42=2p×1,即p=8,所以拋物線的方程為x2=16y,其準線為直線y=-4,則準線與對稱軸的交點坐標是(0,-4).7.A直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立y=kx+1,y2=4x,化簡得k2x2+∵直線l與拋物線y2=4x相交于不同的兩點,∴k≠0,Δ>0,即k≠0,∴斜率k的取值范圍是(-∞,0)∪(0,1).8.C(1)當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=0,與拋物線y2=2x有且只有一個公共點,符合題意.(2)①當直線l與拋物線y2=2x的對稱軸平行,即直線l的方程為y=2時,與拋物線y2=2x有且只有一個公共點,符合題意;②當直線l的斜率存在且不為0時,設(shè)直線方程為y=kx+2(k≠0),代入到拋物線方程y2=2x中,消去y,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,則Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=14,故直線l的方程為y=14x綜上,符合題意的直線l共有3條.故選C.9.B設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵P是線段AB的中點,∴y1+y2=2,由題得y12=4x1,y22=4x2,兩式相減得y12?y22=(y1-y2)(y1方法技巧點差法在中點弦中的應(yīng)用設(shè)直線與拋物線y2=2px(p≠0)的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為M(x0,y0),則由點差法可得kAB=y1?y2x1?x2=2py1+y2=2p2y0=p10.C解法一:易得Fp2,0,則直線l的方程為y=3x?p2,與拋物線方程y2=2px聯(lián)立,得3x?p22=2px,整理得3x2-5px+3p24=0.設(shè)A(x則x1+x2=5p3,所以|AB|=x1+x2+p=5所以p=3.故選C.解法二:因為直線l的斜率為3,所以直線l的傾斜角θ=π3.由焦點弦的性質(zhì)得|AB|=2psi11.B解法一:拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),當直線l的斜率不存在時,△AOB的面積為12×1×4=2,不合題意當直線l的斜率存在時,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠0),聯(lián)立直線方程與拋物線方程,消去x,可得y2-4ky-4=0則yA+yB=4k,yAyB=-4,∴|yA-yB|=(由△AOB的面積為22,可得12|yA?yB|=22,∴直線l的斜率為±1.故選B.解法二:設(shè)直線l的傾斜角為θ,則由拋物線焦點弦的性質(zhì),得S△AOB=p22|sinθ=22,即2|sinθ=22,∴sinθ=±2212.解析(1)由拋物線y2=2px(p>0)過點A(2,y0),|AF|=4,得2+p2=4,∴p=4所以拋物線方程為y2=8x.(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立y=x+m,y2=8x,得x2+(所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2,由題意知Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,所以m<2,因為OP⊥OQ,所以O(shè)P·OQ=0,則x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2∴2m2+m(8-2m)+m2=0,即m2+8m=0,解得m=0或m=-8,當m=0時,直線過原點,不符合題意,故舍去.所以m的值為-8.13.解析(1)記拋物線y2=2px的焦點為F,則Fp2,0,準線方程為x=-p2,則|AF由y1=d=3,可得AF⊥x軸,則x1=p2,即有d=p2+p2=3,即p=3,(2)設(shè)B(x2,y2),l:y=kx+p2(k≠0),將直線方程代入拋物線的方程,可得k2x2+p(k2-2)x+則Δ=p2(k2-2)2-k4p2>0,即k2<1且k≠0,由2MA=AB可知A在B的左側(cè),則x1=?p(k2由2MA=AB,M?p2,0,可得2x1+即有p=x2-3x1=p(k2?2)+4p1?k故直線l的斜率為±3214.解析(1)聯(lián)立y=x+2,y2=2px,消去x得∵拋物線C與直線y=x+2相切,∴Δ=(-2p)2-4×4p=0,解得p=4或p=0(舍去),故拋物線C的方程為y2=8x.(2)由(1)知F(2,0).設(shè)l的方程為x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),則線段AB的中點為x1+x22過M作拋物線的準線x=-2的垂線,垂足為N,則|AB|=x1+x2+4,|MN|=x1+x22+2,即|AB|=2|∵|PA|=32|AB|,∴|PA|=3|MA|,則|PM|=2|MA|,即|PM|=2|MN|,∴|PN|=|MN|聯(lián)立x=my+2,y2=8x,消去則Δ=64m2+64>0,y1+y2=8m,則M(4m2+2,4m),N(-2,4m),AB的中垂線的方程為mx+y-4m3-6m=0,∴P(-2,4m3+8m),則|PN|=|4m3+4m|,|MN|=4m2+4,即|4m3+4m|=4m2+4,解得m=±1,故l的方程為x+y-2=0或x-y-2=0.15.解析如圖,不妨設(shè)A在第二象限.易得雙曲線的漸近線方程為y=±b2x.由x2=2易得拋物線的焦點為F0,p所以AF=因為點F為△OAB的垂心,所以AF⊥OB,所以pb,p2?b2p16.解析(1)曲線x2+2y2=1為焦點在x軸上的橢圓,其右頂點為(1,0),則由題意可得拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F(1,0),∴p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.(2)設(shè)AyA24,由PB=4PA,得即y結(jié)合A,B的位置,解得yA=-2,yB=4,故A(1,-2),B(4,4),直線l的斜率k=?2?41?4=2,則直線l的方程為y=2x-4,直線l與x軸相交于點(2,0所以△OAB的面積S△OAB=12×2×(yB-yA)=12×2×17.解析(1)由拋物線的方程知其準線方程為x=-p2,設(shè)焦點弦AB的中點為M(x0,y0),由以焦點弦為直徑的圓與拋物線的準線相切于點(-2,-3),可知?p2=?2,y0=?3,∴p=4,y0=?3,所以焦點為(2,0),拋物線方程為y2設(shè)弦AB所在直線的斜率為k,A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AB:y=k(x-2),與拋物線方程聯(lián)立,得y=k(x?2),y2=8x?ky2-8y-16k=0,所以y1+y2=8k=2∴k=-43,∴直線AB:y=-43x+83.將y0=-3代入,得x0=174故所求圓的方程為x?1742+(y+3)(2)S△AOB=S△AOF+S△BOF=12|OF|×|y1-y2|=12×2(能力提升練1.B2.ACD3.BD5.A6.B7.D8.D9.C10.C11.AD12.BCD1.B由題可知Fp2,0,設(shè)P點坐標為y022p,y0(y0>0),則OM=OF+FM=OF+14FP=OF+14(OP?OF2.ACD由題意知,拋物線C的方程為y2=4x,線段AB長度的最小值為2p=4,A正確;易知|AA1|=|AF|,AA1∥x軸,∴∠AFA1=∠AA1F=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,∴∠A1FB1=90°,B錯誤;設(shè)直線AB:x=my+1,與拋物線方程聯(lián)立并整理,得y2-4my-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1·y2=-4,kOA=y1x1=∵B1(-1,y2),∴kOB1=-y2=kOA,故A,O,B1三點共線設(shè)P(x0,y0),則y0=y1+y22=2m,x0=my0+1=2m2+1,當m=-1時,P(3故選ACD.3.BD設(shè)直線AB的傾斜角為α,即∠AFx=α,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),若|AF|·|BK|=|AK|·|BF|,則|AF||BF|=|AK||BK|,則根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知,x軸應(yīng)平分∠AKB,但x軸不一定平分∠AKB,故|AF|·|BK|=|AK|·|BF過A作AD⊥x軸,垂足為D,則tan∠AKF=|AD||KD|=y1x1+p2,cos∠PQF=cosπ2?S△AKB=S△AKF+S△BKF=12·|KF|·(y1-y2)=p2·(y1-y2)≥p2·2p=p2,當且僅當y1-y2=|AB|=2p,即AB⊥x軸時,取等號,故△AKB面積的最小值為p2,但此時Q不存在,不符合題意對于D:y12=2px1,y22=2px2?(y1+y2)(y1-y2)∴直線PQ的方程為y-y0=-y0p(x-x0),令y=0,得-y0=-y0p(x-x0)?x=p+x0,∴Q(p+x0,0),∴|FQ|=p+x0-p2=p2+x0,∴|AB|=x1+x2+p=2x0+4.答案y2=4x解析拋物線具有光學性質(zhì),即從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上一點反射后,反射光線沿平行(或重合)于拋物線對稱軸的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴xA-xB+xB+p2=6,即5+p2=6,∴p=2,∴拋物線的標準方程為y25.A因為直線l1過F,且F(1,0),所以設(shè)l1的方程為x=my+1,聯(lián)立y2=4x,x=my+1,得y2-4my-4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),故y1+y2=4m,y1y2=-4,則|AB|=m2+116m2+16=4(m2+1).同理可得|DE|=41m2+1,所以|AB6.B易得Fp2,0,設(shè)直線方程為y=kx?p2,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx?p2,y2=2px,得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,所以x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24,又|AF|=x1+p2,|BF導(dǎo)師點睛AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直線的傾斜角為α,則有下列結(jié)論成立:(1)x1x2=p24,y1y2=-p(2)|AF|=x1+p2=p1?cosα,|BF|=(3)|AB|=x1+x2+p=2p7.D解法一:由題意知Fp2,0,準線l的方程為x=-p2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,則AF=p2?x1,?y1,FB=x2?p2,y2由題意知直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為y=kx?p2(k≠0),代入拋物線方程,消去y,得k2x2-(k2p+2p)x+所以x1x2=p24聯(lián)立①②,得2x12-3px1+p2解得x1=p或x1=p2(舍去),所以|y1|=2p因為S四邊形A將x1,|y1|的值代入,解得p=2(舍負),所以準線l的方程為x=-1,故選D.解法二:不妨設(shè)A在第一象限,A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,則|AF|=p1?cosθ,|BF|=因為AF=2FB,所以p1?cosθ=2×p1+cosθ,解得cosθ=1因為四邊形AA1CF是直角梯形,其中|CF|=p,|AA1|=|AF|=p1?cosθ=32p,高為|AF|sinθ=32p·223=2p,所以四邊形AA1CF的面積為128.D由題得直線AB的方程為y-0=x-1,即y=x-1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=x?1,y2=4x,可得x2-6x+1=0,∴x1+x2=6∴x1+x22=3,y1+y∴以線段AB為直徑的圓E的圓心為(3,2),半徑為4,∴圓E的方程為(x-3)2+(y-2)2=16,∴點D恒在圓E外,若圓E上存在兩點P,Q,使得以PQ為直徑的圓過點D(-2,t),即圓E上存在兩點P,Q,使得DP⊥DQ,顯然當DP,DQ均與圓E相切時,∠PDQ最大,此時應(yīng)滿足∠PDQ≥π2,所以|EP||DE|=4(3+2)2+(2?t)2≥解得2-7≤t≤2+7,故選D.9.C解法一:(特值法)取l的傾斜角為α=π3,不妨設(shè)B在A上方,聯(lián)立y2=4x,y=3(x?1),得x=13,y=?233或x=3,y=23,故A13,?233,B(3,23),又M(-1,-23),F(解法二:如圖,易知λ1<0,λ2>0.過B作BN⊥l于點N,由MB=λ2BF?cos由MA=λ1AF?|MA|=-λ1|AF|?(1+λ2)|BF|+|AF|=-λ1|AF又|AF||BF|=1+cosα1?cosα,所以-1+λ21+λ10.C由題意知,拋物線C的準線方程為x=-1,即p2=1,解得p=2,故選項A中結(jié)論正確因為p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x,其焦點為(1,0),記F(1,0),又直線l:2kx-2y-kp=0,即y=k(x-1),所以直線l恒過拋物線的焦點F(1,0),設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),因為A、B兩點在拋物線C上,所以y12=4x1,y22=4x2,兩式相減并整理可得,y1?y2x1?因為點Q(x0,y0)在直線l上,所以y0=k(x0-1),所以x0=2k2+1,所以點Q2k2+1,2k由拋物線的定義知,圓Q的半徑r=|AB|2=因為|QM|2=2k2+22+2k+12=r2,因為k=-2,所以|AB|=5,直線l:y+2(x-1)=0,即2x+y-2=0,由點到直線的距離公式可得,點M到直線l的距離d=|?2?1?2所以S△MAB=12·d·|AB|=12×5×11.AD若直線l⊥y軸,則直線l與拋物線y2=2px(p>0)有且只有一個交點,不符合題意.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為x=my+p2聯(lián)立y2=2px,x=my+p2則Δ=4m2p2+4p2>0,y1+y2=2pm,y1y2=-p2,x1x2=y1∴OA·OB=x1|AF|·|BF|=x1+p2x2+p2=(my1+p)(my2+p)=m2y1y2+mp(y1+y2)+p2=-m2p2+2m2p2+p2=(m2+1)p2=4所以直線AB的斜率為1m=±33,若拋物線上一點E(2,t)到焦點的距離為3,則2+p2=3,可得p=2,故拋物線方程為y2=4x,C錯誤拋物線的焦點F到準線的距離為2,則p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,所以y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,所以圓P的直徑為|AB|=x1+x2+2=4m2+4,則半徑r=|AB|2=2m2+2點P到y(tǒng)軸的距離d=x1+x22∴sin∠PMN=dr∵2m2+2≥2,∴12m2∴sin∠PMN∈12即(sin∠PMN)min=12,D正確故選AD.12.BCD點P到點M的距離比其到直線l的距離小1,等價于點P到點M的距離等于其到直線l':x=-1的距離,故點P的軌跡是以M(1,0)為焦點,直線l':x=-1為準線的拋物線,其方程是y2=4x,故A錯誤;點P的軌跡是拋物線y2=4x,它與直線l'沒有交點,故B正確;要成為“最遠距離直線”,則必須滿足其與拋物線y2=4x有交點,把y=2x+6代入拋物線方程y2=4x中,消去y并整理得x2+5x+9=0,因為Δ=52-4×1×9=-11<0,無解,所以y=2x+6不是“最遠距離直線”,故C正確;把y=12x+1代入拋物線方程y2=4x中,消去y并整理得x2-12x+4=0,因為Δ=(-12)2-4×1×4=128>0,有解,所以y=12x+1是“最遠距離直線”,故D正確13.解析(1)設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),由拋物線經(jīng)過點A(1,2),得p=2,∴拋物線的方程為y2=4x.(2)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),x1≠1,x2≠1.若直線CD的斜率存在,設(shè)直線CD的方程為y=kx+t(k≠0).由y2=4x,y=kx+t,消去x則y1+y2=4k,y1y2=4∵k1+k2=y=4(y1∴y1+2+y2+2=-(y1+2)(y2+2),∴3(y1+y2)+y1y2+8=0,∴12k+4tk+8=0,即∴直線CD:y=kx-2k-3,即y=k(x-2)-3,∴直線CD過定點(2,-3).若直線CD的斜率不存在,則C(x1,y1),D(x1,-y1),∴k1+k2=y1?2x1?1+?∴直線CD:x=2,此時直線CD過點(2,-3).綜上所述,直線CD過定點(2,-3).方法點睛在圓錐曲線綜合題的運算中,參數(shù)的選擇很重要,在有關(guān)拋物線的問題中巧妙運用拋物線方程的特點進行變量的轉(zhuǎn)化能夠很大程度降低運算量.14.解析(1)當p=116時,C2的方程為y2=18x,故拋物線C2的焦點坐標為(2)解法一(根與系數(shù)的關(guān)系+基本不等式法):設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),l:x=λy+m(m≠0),由x22+y2=1,x=λy+m得(2+λ∴y1+y2=?2λm2+λ2,y0=?λm2+λ2,x0由M在拋物線上,可得λ2m2(2+λ2)又y2=2px,x=λy+m?y2=2p(λy+m)∴y