2023年山東省聊城市冠縣中考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

2023年山東省聊城市冠縣中考數(shù)學(xué)二模試卷一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題有且僅有一個答案）1．對于一個實數(shù)a，如果它的倒數(shù)不存在，那么a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．02．下面幾何圖形的俯視圖是（）A． B． C． D．3．下列式子運算正確的是（）A．33+32＝35 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．（﹣a2b）2＝﹣a3b2 D．（﹣2）﹣2＝44．下列事件中，屬于確定事件的是（）①拋出的籃球會下落；②從裝有黑球、白球的袋中摸出紅球；③14人中至少有2人是同月出生；④買一張彩票，中1000萬大獎．A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④5．如圖，直線l1∥l2，AB⊥CD，∠2＝68°，那么∠1的度數(shù)是（）A．68° B．58° C．22° D．32°6．如圖，一塊等腰直角三角板，它的斜邊BC＝6cm，內(nèi)部△DEF的各邊與△ABC的各邊分別平行，且它的斜邊EF＝4cm，則△DEF的面積與陰影部分的面積比為（）A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．2：57．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠B＝70°，則∠OCB等于（）?A．40° B．50° C．60° D．65°8．已知等腰△ABC的邊是方程x2﹣7x+10＝0的根，則△ABC的周長為（）A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或159．如圖，在正方形ABCD中，按如下步驟作圖：①連接AC，BD相交于A點O；②分別以點B，C為圓心、大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E；③連接OE交BC于點F；④連接AF交BO于點G．若，則OG的長度為（）A．1 B．2 C． D．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：OB＝1：3，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于點P．若P（1，1），則tan∠ACO的值是（）A． B．3 C． D．211．如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A、B兩點，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②abc＞0；③拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數(shù)根；⑤當(dāng)1＜x＜4時，有y2＜y1，其中正確的是（）A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④12．課本中有這樣一句話：“利用勾股定理，可以作出，，…的線段（如圖）”．記△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的內(nèi)切圓的半徑分別為r1，r2，…，rn，若r1+r2+…+rn＝10，則n的值是（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）13．二次根式中，字母x的取值范圍是．14．從0，，，﹣7，五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則抽出的數(shù)是有理數(shù)的概率為．15．一個扇形的弧長是10π，其圓心角是150°，此扇形的面積為．16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若AC＝6，AB＝10，則CD的長為．17．如圖，點A，B是半徑為2的⊙O上的兩點，且，則下列說法正確的是．?①圓心O到AB的距離為1．②在圓上取異于A，B的一點C，則△ABC面積的最大值為．③以AB為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積為．④取AB的中點C，當(dāng)AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線長為2π．三、解答題（共8小題，滿分69分）18．解方程：x（x﹣6）＝6．19．為慶祝黨的二十大勝利召開，某學(xué)校開展了一系列學(xué)習(xí)黨史的活動，并開展了黨史相關(guān)的知識測試．為了解七、八年級學(xué)生的測試成績，進行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補充完整．【收集數(shù)據(jù)】：從七、八兩個年級各隨機抽取了20名學(xué)生的測試成績（百分制）如下：七年級：73，82，75，89，93，96，76，84，85，85，90，90，98，77，65，90，87，90，95，98；八年級；67，88，92，93，99，83，80，75，72，91，92，92，95，94，85，85，92，69，88，96；[整理、描述數(shù)據(jù)]：對上述數(shù)據(jù)進行分段整理如下：成績x人數(shù)年級60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年級1469八年級22610【分析數(shù)據(jù)】：兩個年級測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級85.9a90八年級86.489.5b根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）a＝，b＝．（2）小明是該校八年級的學(xué)生，他本次測試成績?yōu)?7分，小明說：“因為我的成績高于我們年級的平均數(shù)．所以我的成績高于我們年級一半學(xué)生的成績．“請你判斷小明的話是否正確，并說明理由．（3）若測試成績不少于90分記為優(yōu)秀，請你估計七年級學(xué)生本次測試成績的優(yōu)秀率，并給七年級的老師提出一條建議．20．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD交于點O，過點B作BE∥CD交AC于點E，連結(jié)DE．（1）求證：四邊形BCDE為菱形．（2）若AB＝5，E為AC的中點，當(dāng)四邊形BCDE為正方形時，求BC的長．21．如圖，是某時刻太陽光線，光線與地面的夾角為45°．小星身高1.6米．（1）若小星正站在水平地面上A處時，那么他的影長為多少米？（2）若小星來到一個傾斜角為30°的坡面底端B處，當(dāng)他在坡面上至少前進多少米時，他的影子恰好都落在坡面上？22．我縣在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買A，B兩種樹苗對某路段道路進行綠化改造，已知購買A種樹苗8棵，B種樹苗3棵，要950元；若購買A種樹苗5棵，B種樹苗6棵，則需要800元．（1）求購買A，B兩種樹苗每棵各需多少元？（2）考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn)，購進A種樹苗要多于B種樹苗，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過7650元，若購進這兩種樹苗共100棵，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種方案最省錢？最少費用是多少？23．為預(yù)防流感，學(xué)校對教室采取藥熏法消毒．已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例函數(shù)關(guān)系，藥物燃燒完后，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系（如圖示）．現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6毫克．研究表明：①當(dāng)空氣中每立方米含藥量低于1.6毫克時學(xué)生方可進教室；②當(dāng)空氣中每立方米含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌．依據(jù)信息，解決下列問題：（1）從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學(xué)生才能回到教室？（2）你認(rèn)為此次消毒是否有效？并說明理由．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD和過點C的直線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E，且AC平分∠DAB．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）連接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的長．25．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c圖象的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖象與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖象上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且∠CAD＝90°．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；（3）點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題有且僅有一個答案）1．對于一個實數(shù)a，如果它的倒數(shù)不存在，那么a等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．0【分析】根據(jù)0沒有倒數(shù)即可求解．解：對于一個實數(shù)a，如果它的倒數(shù)不存在，那么a等于0．故選：D．【點評】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，倒數(shù)，關(guān)鍵是掌握0沒有倒數(shù)的知識點．2．下面幾何圖形的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案．解：該幾何體的俯視圖如圖所示：．故選：B．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖．3．下列式子運算正確的是（）A．33+32＝35 B．（﹣a2）3＝﹣a6 C．（﹣a2b）2＝﹣a3b2 D．（﹣2）﹣2＝4【分析】根據(jù)合并同類項判斷A選項；根據(jù)冪的乘方和積的乘方判斷B選項；根據(jù)積的乘方判斷C選項；根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪判斷D選項．解：A選項，32+33＝9+27＝36≠35，故該選項不符合題意；B選項，原式＝﹣a6，故該選項符合題意；C選項，原式＝a4b2，故該選項不符合題意；D選項，原式＝，故該選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了合并同類項，冪的乘方和積的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，掌握a﹣p＝（a≠0）是解題的關(guān)鍵．4．下列事件中，屬于確定事件的是（）①拋出的籃球會下落；②從裝有黑球、白球的袋中摸出紅球；③14人中至少有2人是同月出生；④買一張彩票，中1000萬大獎．A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可．解：①拋出的籃球會下落，是必然事件，屬于確定事件；②從裝有黑球、白球的袋中摸出紅球，是不可能事件，屬于確定事件；③14人中至少有2人是同月出生，是必然事件，屬于確定事件；④買一張彩票，中1000萬大獎，是隨機事件；屬于確定事件的是①②③，故選：C．【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．5．如圖，直線l1∥l2，AB⊥CD，∠2＝68°，那么∠1的度數(shù)是（）A．68° B．58° C．22° D．32°【分析】由兩直線平行同位角相等得到∠2＝∠3，再由AB與CD垂直，利用垂直的定義得到∠BMC為直角，得到∠1與∠3互余，由∠3的度數(shù)求出∠1的度數(shù)．解：∵直線l1∥l2，∴∠2＝∠3＝68°，∵AB⊥CD，∴∠CMB＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∠3＝68°，∴∠1＝22°，故選：C．【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)有：兩直線平行同位角相等；兩直線平行內(nèi)錯角相等；兩直線平行同旁內(nèi)角互補．6．如圖，一塊等腰直角三角板，它的斜邊BC＝6cm，內(nèi)部△DEF的各邊與△ABC的各邊分別平行，且它的斜邊EF＝4cm，則△DEF的面積與陰影部分的面積比為（）A．2：3 B．4：9 C．4：5 D．2：5【分析】發(fā)布期間兩個等腰直角三角形端點面積，可得結(jié)論．解：∵△ABC，△DEF是等腰直角三角形，BC＝6cm，EF＝4cm，∠A＝∠D＝90°，∴AB＝AC＝BC＝3（cm），DE＝DF＝EF＝2（cm），∴△ABC的面積＝×3×3＝9（cm2），△DEF的面積＝×2×2＝4（cm2），∴陰影部分的面積＝9﹣4＝5（cm2），∴△DEF的面積與陰影部分的面積比為4：5．故選：C．【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠B＝70°，則∠OCB等于（）?A．40° B．50° C．60° D．65°【分析】連接OB，先利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝70°，從而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝40°，然后再利用圓周角定理可得∠BOC＝2∠A＝80°，最后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，進行計算即可解答．解：連接OB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝50°，故選：B．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8．已知等腰△ABC的邊是方程x2﹣7x+10＝0的根，則△ABC的周長為（）A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝5，x2＝2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等腰△ABC的三邊長可以為5、5、2或5、5、5或2、2、2，然后分別計算對應(yīng)的△ABC的周長．解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣5）（x﹣2）＝0，x﹣5＝0或x﹣2＝0，所以x1＝5，x2＝2，當(dāng)?shù)妊鰽BC的邊長分別為5、5、2時，△ABC的周長為5+5+2＝12；當(dāng)?shù)妊鰽BC的邊長分別為5、5、5時，△ABC的周長為5+5+5＝15；當(dāng)?shù)妊鰽BC的邊長分別為2、2、2時，△ABC的周長為2+2+2＝6，綜上所述，△ABC的周長為6或12或15．故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三邊的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．9．如圖，在正方形ABCD中，按如下步驟作圖：①連接AC，BD相交于A點O；②分別以點B，C為圓心、大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E；③連接OE交BC于點F；④連接AF交BO于點G．若，則OG的長度為（）A．1 B．2 C． D．【分析】證明OF∥AB，OF＝AB，求出OB，可得結(jié)論．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝4，∠BAD＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，∴BD＝＝＝8，∴OB＝OD＝4，由作圖可知OE垂直平分線段BC，∴BF＝CF，∴OC＝OA，∴OF∥AB，F(xiàn)O＝AB，∴＝＝，∴OG＝OB＝．故選：C．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：OB＝1：3，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于點P．若P（1，1），則tan∠ACO的值是（）A． B．3 C． D．2【分析】根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，結(jié)合OC：OB＝1：3得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過點P作PQ⊥x軸于點Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，則可求得AQ＝3，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠APQ的值，從而可求tan∠ACO的值．解：∵OP∥AB，∴△OCP∽△BCA，∴，∵OC：OB＝1：3，∴，∴，過點P作PQ⊥x軸于點Q，如圖，∴∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∠ACO＝∠APQ，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2OQ＝2，∴AQ＝3，∴tan∠APQ＝＝3，∴tan∠ACO＝tan∠APQ＝3．故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2是解題的關(guān)鍵．11．如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點坐標(biāo)A（1，3），與x軸的一個交點B（4，0），直線y2＝mx+n（m≠0）與拋物線交于A、B兩點，下列結(jié)論：①2a+b＝0；②abc＞0；③拋物線與x軸的另一個交點是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數(shù)根；⑤當(dāng)1＜x＜4時，有y2＜y1，其中正確的是（）A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、方程與二次函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與不等式的關(guān)系一一判斷即可．解：①∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正確；②∵拋物線開口向下，與y軸相交于正半軸，∴a＜0，c＞0，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故②錯誤；③∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點B（4，0），∴另一個交點坐標(biāo)為（﹣2，0），故③錯誤；④從圖象可以知道，拋物線頂點為（1，3），∴拋物線y1＝ax2+bx+c與直線y＝3有且只有一個交點，∴方程ax2+bx+c＝3有兩個相等的實數(shù)根，故④正確；⑤由圖象可知，當(dāng)1＜x＜4時，y1＞y2，故⑤正確；故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、方程與二次函數(shù)的關(guān)系、函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識，解答關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．12．課本中有這樣一句話：“利用勾股定理，可以作出，，…的線段（如圖）”．記△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的內(nèi)切圓的半徑分別為r1，r2，…，rn，若r1+r2+…+rn＝10，則n的值是（）A．24 B．25 C．26 D．27【分析】設(shè)△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的內(nèi)切圓圓心分別為O1，O2，…，設(shè)圓O1與△OAA1的三邊相切于點B，C，D，四邊形ABOC是正方形，然后利用切線長定理列式計算得r1＝，同理在△OA1A2中，四邊形A1EO2F是正方形，求出r2＝，得到規(guī)律得r3＝，r4＝，...，rn＝，進而利用一元二次方程求解即可解決問題．解：如圖，設(shè)△OAA1，△OA1A2，…，△OAn﹣1An的內(nèi)切圓圓心分別為O1，O2，…，設(shè)圓O1與△OAA1的三邊相切于點B，C，D，∴∠ABO＝∠ACO＝90°，由題意“利用勾股定理，可以作出，∴∠A＝90°，∴∠A＝∠ABO＝∠ACO＝90°，∴四邊形ABOC是正方形，∴AB＝AC＝OB＝r1，∴AB＝AC＝1﹣r1，A1C＝A1D＝1﹣r1，∵OA1＝，∴1﹣r1+1﹣r1＝，∴r1＝，同理在△OA1A2中，四邊形A1EO2F是正方形，∴A2G＝A2F＝1﹣r2，OG＝OE＝﹣r2，∵OA2＝，∴1﹣r2+﹣r2＝，∴r2＝，同理r3＝，r4＝，...，rn＝，∴r1+r2+…+rn＝++++，...，+＝10，∴＝10，∴n+1﹣＝20，∴n﹣19＝，∴（n﹣19）2＝n+1，整理得：n2﹣39n+360＝0，∴n1＝15，n2＝24，當(dāng)n＝15時，代入n﹣19＝，不成立，舍去，∴n＝24．故選：A．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，規(guī)律型：圖形的變化類，勾股定理，一元二次方程，解題的關(guān)鍵是尋找規(guī)律．二、填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）13．二次根式中，字母x的取值范圍是x≥．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．解：根據(jù)題意，得2x﹣1≥0，解得．故答案為：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．14．從0，，，﹣7，五個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則抽出的數(shù)是有理數(shù)的概率為．【分析】先找出有理數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．解：在0，，，﹣7，這五個數(shù)中，有理數(shù)有0，，﹣7這3個，∴抽出的數(shù)是有理數(shù)的概率為．故答案為：．【點評】此題主要考查了概率公式，正確得出有理數(shù)的個數(shù)是解題關(guān)鍵．15．一個扇形的弧長是10π，其圓心角是150°，此扇形的面積為60π．【分析】先根據(jù)題意可算出扇形的半徑，再根據(jù)扇形面積公式即可得出答案．解：根據(jù)題意可得，設(shè)扇形的半徑為r，則l＝，即10π＝，解得：r＝12，∴S＝＝＝60π．故答案為：60π．【點評】本題主要考查了扇形面積的計算，熟練掌握扇形面積的計算方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點A為圓心，以適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，若AC＝6，AB＝10，則CD的長為3．【分析】利用基本作圖得到AP平分∠BAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點D到AC和AB的距離相等，則利用三角形面積公式得到∴S△ACD：S△ABD＝AC：AB＝3：5，而S△ACD：S△ABD＝CD：BD，所以CD：BD＝3：5，然后利用勾股定理計算出BC，從而得到CD的長．解：由作法得AP平分∠BAC，∴點D到AC和AB的距離相等，∴S△ACD：S△ABD＝AC：AB＝6：10＝3：5，∵S△ACD：S△ABD＝CD：BD，∴CD：BD＝3：5，∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝8，∴CD＝×8＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)和勾股定理．17．如圖，點A，B是半徑為2的⊙O上的兩點，且，則下列說法正確的是①③④．?①圓心O到AB的距離為1．②在圓上取異于A，B的一點C，則△ABC面積的最大值為．③以AB為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積為．④取AB的中點C，當(dāng)AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線長為2π．【分析】由垂徑定理，勾股定理求出OH＝1，延長HO交圓于C，即可求出△ABC的最大面積，當(dāng)AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線是以O(shè)為圓心半徑是1的圓，即可求出C運動的路線長，以AB為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積＝扇形OPQ的面積+△OAB的面積×3，于是可以得到答案．解：如圖①，OH⊥AB于H，∴AH＝AB＝×2＝，∵OA＝2，∴OH＝＝1，故①正確，符合題意；如圖①延長HO交圓于C，此時△ABC的面積最大，∵CH＝OC+OH＝2+1＝3，AB＝2，∴△ABC的面積＝AB?CH＝3，故②錯誤，不符合題意；如圖②四邊形ABNM是正方形，連接AQ，PB，作OK⊥AB于K，∴△OAB的面積＝AB?OK＝×2×1＝，∵OP＝OQ＝OA＝OB，∴△OAP的面積＝△OAB的面積＝△OBQ的面積＝，∵∠POQ＝120°，∴扇形OPQ的面積＝＝π，∴以AB為邊向上作正方形，與⊙O的公共部分的面積＝扇形OPQ的面積+△OAB的面積×3＝3+，故③正確，符合題意；取AB的中點C，連接OC，OA，OB，∵OA＝OB，∴OC⊥AB，∴OC＝＝＝1，∴當(dāng)AB繞點O旋轉(zhuǎn)一周時，點C運動的路線是以O(shè)為圓心半徑是1的圓，∴C運動的路線長是2π×1＝2π，故④正確，符合題意；故答案為：①③④．【點評】本題考查扇形面積的計算，三角形面積的計算，垂徑定理，勾股定理，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共8小題，滿分69分）18．解方程：x（x﹣6）＝6．【分析】根據(jù)單項式乘多項式的運算法則把原方程變形，利用配方法解出方程．解：原方程變形為：x2﹣6x＝6，則x2﹣6x+9＝6+9，即（x﹣3）2＝15，∴x﹣3＝±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．19．為慶祝黨的二十大勝利召開，某學(xué)校開展了一系列學(xué)習(xí)黨史的活動，并開展了黨史相關(guān)的知識測試．為了解七、八年級學(xué)生的測試成績，進行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補充完整．【收集數(shù)據(jù)】：從七、八兩個年級各隨機抽取了20名學(xué)生的測試成績（百分制）如下：七年級：73，82，75，89，93，96，76，84，85，85，90，90，98，77，65，90，87，90，95，98；八年級；67，88，92，93，99，83，80，75，72，91，92，92，95，94，85，85，92，69，88，96；[整理、描述數(shù)據(jù)]：對上述數(shù)據(jù)進行分段整理如下：成績x人數(shù)年級60≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100七年級1469八年級22610【分析數(shù)據(jù)】：兩個年級測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級85.9a90八年級86.489.5b根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）a＝88，b＝92．（2）小明是該校八年級的學(xué)生，他本次測試成績?yōu)?7分，小明說：“因為我的成績高于我們年級的平均數(shù)．所以我的成績高于我們年級一半學(xué)生的成績．“請你判斷小明的話是否正確，并說明理由．（3）若測試成績不少于90分記為優(yōu)秀，請你估計七年級學(xué)生本次測試成績的優(yōu)秀率，并給七年級的老師提出一條建議．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可；（2）根據(jù)中位數(shù)的意義解答即可；（3）利用樣本估計總體即可．解：（1）把七年級20名學(xué)生的測試成績從小到大排列為65，73，75，76，77，82，84，85，85，87，89，90，90，90，90，93，95，96，98，98；所以排在中間的兩個數(shù)是87，89，故中位數(shù)a＝＝88；八年級20名學(xué)生的測試成績中92出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)b＝92；故答案為：88；92；（2）小明的話錯誤，理由如下：因為小明本次測試成績?yōu)?7分，低于中位數(shù)89.5，所以小明的成績低于我們年級一半學(xué)生的成績；（3）七年級學(xué)生本次測試成績的優(yōu)秀率為：；建議七年級的學(xué)生加強學(xué)習(xí)黨史（答案不唯一）．【點評】此題考查了用樣本估計總體以及眾數(shù)、中位數(shù)的定義，眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據(jù)按要求重新排列，就會出錯．20．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AC，BD交于點O，過點B作BE∥CD交AC于點E，連結(jié)DE．（1）求證：四邊形BCDE為菱形．（2）若AB＝5，E為AC的中點，當(dāng)四邊形BCDE為正方形時，求BC的長．【分析】（1）先判斷AC為BD的垂直平分線得到AC⊥BD，OB＝OD，再證明△EOB≌△COD得到EO＝CO，于是可判斷四邊形BCDE為平行四邊形，然后利用CB＝CD可判斷四邊形BCDE是菱形；（2）設(shè)OB＝x，根據(jù)正方形的判定當(dāng)OE＝OB＝x時，四邊形BCDE是正方形，此時BC＝x，由于AE＝CE＝2x，則在Rt△AOB中利用勾股定理得到x2+（3x）2＝52，解方程x＝，從而得到此時BC的長．【解答】（1）證明：∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC為BD的垂直平分線，即AC⊥BD，OB＝OD，∵BE∥CD，∴∠EBO＝∠CDO，在△EOB和△COD中，，∴△EOB≌△COD（ASA），∴EO＝CO，∴四邊形BCDE為平行四邊形．∵CB＝CD，∴四邊形BCDE是菱形；（2）解：設(shè)OB＝x，∵四邊形BCDE是菱形，∴當(dāng)OE＝OB＝x時，四邊形BCDE是正方形，此時BC＝x，∵E為AC的中點，∴AE＝CE＝2x，在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2，∴x2+（3x）2＝52，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），∴BC＝，即當(dāng)BC的長為時，四邊形BCDE為正方形．【點評】本題考查了正方形：熟練掌握正方形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．也考查了菱形的判定與性質(zhì)．21．如圖，是某時刻太陽光線，光線與地面的夾角為45°．小星身高1.6米．（1）若小星正站在水平地面上A處時，那么他的影長為多少米？（2）若小星來到一個傾斜角為30°的坡面底端B處，當(dāng)他在坡面上至少前進多少米時，他的影子恰好都落在坡面上？【分析】（1）直接利用太陽光線與地面成45°角得到等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的兩直角邊相等求得影長即可；（2）利用斜坡BF的坡度i的值得到∠FBG＝30°，然后設(shè)FG＝x米，則BF＝2x米，從而得BG的長、EG＝EF+FG＝（x+1.6）米，最后在Rt△EBG中利用∠EBG＝45°得到BG＝EG，從而列出關(guān)于x的方程，求解即可．解：（1）如圖：由題意得：AD＝1.6米，∠DCA＝45°，故AD＝AC＝1.6米，答：小星在A處的影子為1.6米．（2）∵∠FBG＝30°，設(shè)FG＝x米，則BF＝2x米．∴BG＝x米．∴EG＝EF+FG＝（x+1.6）米．在Rt△EBG中，∠EBG＝45°，∴BG＝EG．∴x＝1.6+x．解得：x＝（+1）．∴小星在斜坡上的影子為：BF＝2x，即2×（+1）＝（+1）（米）．答：當(dāng)他在坡面上至少前進（+1）米時，他的影子恰好都落在坡面上．【點評】本題考查了解直角三角形的坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意整理出直角三角形，從而求解．22．我縣在創(chuàng)建全國文明城市過程中，決定購買A，B兩種樹苗對某路段道路進行綠化改造，已知購買A種樹苗8棵，B種樹苗3棵，要950元；若購買A種樹苗5棵，B種樹苗6棵，則需要800元．（1）求購買A，B兩種樹苗每棵各需多少元？（2）考慮到綠化效果和資金周轉(zhuǎn)，購進A種樹苗要多于B種樹苗，且用于購買這兩種樹苗的資金不能超過7650元，若購進這兩種樹苗共100棵，則有哪幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，哪種方案最省錢？最少費用是多少？【分析】（1）設(shè)購買A種樹苗每棵需x元，B種樹苗每棵需y元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（2）設(shè)購進A種樹苗m棵，則購進B種樹苗（100﹣m）棵，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解；（3）比較各方案即可得答案．解：（1）設(shè)購買A種樹苗每棵需x元，B種樹苗每棵需y元，依題意得，解得．答：購買A種樹苗每棵需100元，B種樹苗每棵需50元．（2）設(shè)購進A種樹苗m棵，則購進B種樹苗（100﹣m）棵，依題意得：，解得：50＜m≤53，又∵m為正整數(shù)，∴m可以為51，52，53，∴共有3種購買方案，方案1：購進A種樹苗51棵，B種樹苗49棵；方案2：購進A種樹苗52棵，B種樹苗48棵；方案3：購進A種樹苗53棵，B種樹苗47棵．（3）方案1：購進A種樹苗51棵，B種樹苗49棵；51×100+49×50＝7550元，方案2：購進A種樹苗52棵，B種樹苗48棵；52×100+48×50＝7600元，方案3：購進A種樹苗53棵，B種樹苗47棵．53×100+47×50＝7650元，∴購進A種樹苗51棵，B種樹苗49棵最省錢．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組與不等式組是解題的關(guān)鍵．23．為預(yù)防流感，學(xué)校對教室采取藥熏法消毒．已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例函數(shù)關(guān)系，藥物燃燒完后，y與x成反比例函數(shù)關(guān)系（如圖示）．現(xiàn)測得藥物8分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6毫克．研究表明：①當(dāng)空氣中每立方米含藥量低于1.6毫克時學(xué)生方可進教室；②當(dāng)空氣中每立方米含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌．依據(jù)信息，解決下列問題：（1）從消毒開始，至少需要經(jīng)過多少分鐘后，學(xué)生才能回到教室？（2）你認(rèn)為此次消毒是否有效？并說明理由．【分析】（1）直接利用正比例函數(shù)解析式求法得出答案；（2）利用反比例函數(shù)解析式求法得出答案．解：（1）設(shè)藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝，把（8，6）代入得：k＝48，故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝；當(dāng)y＝1.6時，代入y＝得x＝30，答：從消毒開始，至少需要經(jīng)過30分鐘后，學(xué)生才能回到教室；（2）此次消毒有效，理由：藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間x（分鐘）成正比例，所以設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝kx（k≠0），將點（8，6）代入，得k＝，即y＝x，自變量x的取值范圍是0≤x≤8：將y＝3分別代入y＝x，y＝得，x＝4和x＝16，那么持續(xù)時間是16﹣4＝12＞10分鐘，所以有效殺滅空氣中的病菌．【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD和過點C的直線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E，且AC平分∠DAB．（1）求證：直線CD是⊙O的切線；（2）連接BC，若BC＝3，AC＝4，求AE的長．【分析】（1）如圖所示，連接OC，根據(jù)角平分線的定義和等邊對等角證明∠OCA＝∠CAD，則AD∥OC，由AD⊥CD，可證OC⊥CD，即可證明直線CD是⊙O的切線；（2）先求出CE＝BC＝3，利用勾股定理求出AB＝5，證明△ABC∽△ACD求出，利用勾股定理求出，，則．【解答】（1）證明：如圖所示，連接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠OCA＝∠CAD，∴AD∥OC，∵