2021年安徽省安慶市高考數(shù)學模擬試卷（文科）（二模）

2021年安徽省安慶市高考數(shù)學模擬試卷（文科）（二模）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

項是符合題目要求的.

1.(5分)若集合M={x|O<%,3},N={x|f+x-2,0},則Mr|N=()

A.（0,1]B.（0,3]C.（0,2]D.（-2,1]

2.（5分）若復數(shù)z滿足z（l+i）=2-29為虛數(shù)單位），則|z|=（）

A.1B.>/2C.6D.2

3.（5分）機器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機器.它可以輔助甚至替代人類完

成某些工作，提高工作效率，服務人類生活，擴大或延伸人的活動及能力范疇.某公司為了

研究M、N兩個機器人的銷售情況，統(tǒng)計了2020年2月至7月M、N兩店每月的營業(yè)額

（單位：萬元），得到如圖折線圖，則下列說法中錯誤的是（）

M店........N店

A.N店營業(yè)額的平均值是29

B.”店營業(yè)額的平均值在[34,35]內(nèi)

C.N店營業(yè)額總體呈上升趨勢

D.M店營業(yè)額的極差比N店營業(yè)額的極差大

4.(5分)已知函數(shù)/.(x)=(l-r)2+，Qe/?)是R上的奇函數(shù)，則f(2)./(-2)=()

2A

15R15225225

441616

5.（5分）在A48C中，a,b,c分別是NA,ZB,NC的對邊.若a,b,c成等比數(shù)歹ll，

且片+其0=/+"°,則44的大小是（）

A冗n2乃

A.—B.C.DT

6TT

6.（5分）設首項為1的等比數(shù)列{a,,}的前幾項和為S“，且$6=9$3.則

iog2(^iq?%?????%))=()

A.200B.190C.180D.170

22

7.(5分)頂點在坐標原點，焦點是雙曲線土-匕=1的左焦點的拋物線標準方程是()

45

A.x2=12yB.y2=—12xC.y2=-4xD.y2=\2x

5]IT

8.(5分)已知sin(a+—4)=一，則cos(--2a)=()

2x-y+2..0

9.（5分）如果點P（x,y）在平面區(qū)域x-2y+l,,0上，則四的取值范圍是（）

一-x-2

1311

A.[-2,--]B.[-2,C.[-2,D.

10.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的r為區(qū)間[上，10]內(nèi)任意一個數(shù)，則輸出

的用取值范圍為（）

TO3

A.（YO,-2）U15，必）B.[-2,g]

C.[0,1]J[2,+oo）D.（-a>,-2）J[0,1]

11.（5分）設直三棱柱A8C-AgG的所有頂點都在一個球面上，且球的體積是絲匝,

AB=AC=AAy,NB4c=120。，則此直三棱柱的高是（)

A.4應B.4C.2>/3D.242

12.（5分）若曲線,f（x）=a/〃科（編1），+1（隹/在點（1,f（1））處的切線與直線

7x+y-2=0平行，且對任意的Xj,x2e（0,+oo）,x,x2,不等式"（王）-/。2）|>，〃|司-%|

恒成立，則實數(shù)機的最大值為（）

A.&B,26C.4小D.573

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）命題“HreR,V-1〈氐”的否定是.

14.（5分）設m,向量G=（m,l）,5=若且121=2,則m”的值是.

15.（5分）已知過點（0,1）且斜率為左的直線/,與圓C:（x-2）2+（y-l）2=2交于例，N兩

點，若弦M/V的長是2,則人的值是—.

16.（5分）已知函數(shù)“￥）=2$山（的+夕）（3>0,0<e<§,》=一。為/（x）的一個零點，

x=^y=/（x）圖象的一條對稱軸，且/（x）在（蠢，3）內(nèi)不單調(diào)，則。的最小值為—.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共

60分.

17.（12分）第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月在中國北京舉行.為迎接此次冬

奧會，北京市組織大學生開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結(jié)束后統(tǒng)一進行了一次考

核.為了了解本次培訓活動的效果，從A、8兩所大學隨機各抽取10名學生的考核成績,

并作出如圖所示的莖葉圖.

（I）計算A、3兩所大學學生的考核成績的平均值；

（II）由莖葉圖判斷A、8兩所大學學生考核成績的穩(wěn)定性；（不用計算）

（III）將學生的考核成績分為兩個等級，如表所示，現(xiàn)從樣本考核等級為優(yōu)秀的學生中任取

2人，求2人來自同一所大學的概率.

考核成績[60,85][86,100J

考核等級合格優(yōu)秀

A校B校

46

88927890

568

93

18.(12分)已知數(shù)歹lj{&7}的前〃項和(=〃2+3〃(〃EN*).

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(II)令b=—￡(〃eN*),求數(shù)列｛b｝的前n項和S”.

n77+1n

19.(12分)如圖是矩形A8CD和以邊AB為直徑的半圓組成的平面圖形，AB=2AD=2a.將

此圖形沿折疊，使平面ABCD垂直于半圓所在的平面.若點E是折后圖形中半圓O上異

于A,8的點.

(I)證明：EALEC;

(II)若異面直線他和Z5C所成的角為工，求三棱錐AC的體積.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*+acosx,其中x>0,e為自然對數(shù)的底數(shù)，awR.

(I)當a=—1時，討論/(x)的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)f(x)的導函數(shù)廣(x)在(0,乃)內(nèi)有且僅有一個零點，求。的值.

22

21.(12分)已知橢圓C:工+馬=1(。>0)的左、右焦點分別為耳(-c,0)和月(c,0),P為橢

6b

圓C上任意一點，三角形PG瑪面積的最大值是3.

(I)求橢圓C的方程；

(H)若過點(2,0)的直線/交橢圓C于A,B兩點,且0),證明：豆?誣為定值.

(-)選考題：共10分.請考生從第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

第題目計分.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

IV--?-CCSf)

22.(10分)在直角坐標系xOy中，曲線G：一二(，為參數(shù)，常數(shù)r>0).以坐標原點

［y=rsind

為極點，X軸非負半軸為極軸建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位.曲線的

極坐標方程為0?-8"sin6+15=0.

(I)若曲線a與&有公共點，求廠的取值范圍；

(II)若r=l,過曲線a上任意一點尸作曲線C2的切線，切點為Q,求IPQI的最小值.

［選修4-5：不等式選講］(本小題滿分0分)

23.已知函數(shù)/(X)斗3x+l|+|x-2|.

(I)解不等式：/(%)>5；

(II)若關(guān)于x的不等式/(x)..V+機在［0,3］上恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

2021年安徽省安慶市高考數(shù)學模擬試卷(文科)(二模)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

項是符合題目要求的.

1.(5分)若集合M={x|0<%,3},N={X|X2+X-Z,O},則M0|N=()

A.(0,1]B.(0,3]C.(0,2]D.(-2,1]

【解答】解：因為M={x|0<x,1},7V={x|x2+x-2i!0}={x|-2A?1),

所以用「|/7=國0<%,l}=(0,1].

故選：A.

2.(5分)若復數(shù)z滿足z(l+i)=2—2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.1B.虛C.幣D.2

【解答】解：【方法一】復數(shù)z滿足z(l+i)=2-24■為虛數(shù)單位)，

2-2/(2-2/)(1-z)2(1-2/+/2)?

z=--------=--------------------=------------；------=—2/,

1+/(1+0(1-/)1-i2

.」zR-2i|=2.

[方法二】復數(shù)Z滿足z(l+/)=2—2/(/為虛數(shù)單位)，

則|z(l+i)R(2-2i)|,

即|z|[|l+i]=|2-2i|,

.?,Iz||J2=2拒，

.?Jz|=2.

故選：D.

3.(5分)機器人是一種能夠半自主或全自主工作的智能機器.它可以輔助甚至替代人類完

成某些工作，提高工作效率，服務人類生活，擴大或延伸人的活動及能力范疇.某公司為了

研究M、N兩個機器人的銷售情況，統(tǒng)計了2020年2月至7月M、N兩店每月的營業(yè)額

(單位：萬元)，得到如圖折線圖，則下列說法中錯誤的是()

用幾

A.N店營業(yè)額的平均值是29

B.M店營業(yè)額的平均值在[34,35]內(nèi)

C.N店營業(yè)額總體呈上升趨勢

D.例店營業(yè)額的極差比N店營業(yè)額的極差大

【解答】解：對于A,N店營業(yè)額的平均值是春、(2+8+16+35+50+63)=29,所以A正

確：

對于8,M店營業(yè)額的平均值是1乂(14+20+26+45+64+36)=34工€[34,36],所以5正

66

確；

對于C,由圖象知N店營業(yè)額總體呈上升趨勢，所以C正確；

對于。，M店的極差為64-14=50,N店的極差為63-2=61,且50<61,所以。錯誤.

故選：D.

4.(5分)已知函數(shù)/(%)=(1-02+和《/?)是R上的奇函數(shù)，則/(2)-/(-2)=()

A.B.”C.-經(jīng)D.經(jīng)

441616

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/■。)=(1-)2"+’(止7?)是/?上的奇函數(shù)，

2V

則/(0)=(l-f)2°+g=l-f+l=0,解可得f=2,

所以/(x)=/-2*—則/(2)=*-22=-個，

故)(2)"(-2)=-尸(2)=一生.

故選：C.

5.（5分）在AABC中，a,b,c分別是NA,ZB,NC的對邊.若a,b,c成等比數(shù)列,

且/+J?c=c2+ac,則NA的大小是（）

57

A.—B.—C.—D.

633~6

【解答】解析：由已知得〃=ac,

因此〃+耳be=c2+ac,

可化為從4-c2-a2=y/3bc

222

工日AZ?+c-a6

J'THCOSA=---------------=----->

2bc2

71

A=—

6

故選：A.

6.（5分）設首項為1的等比數(shù)列{〃〃}的前〃項和為S〃，且S6=9S3.則

log2(《qq?…?〃2o)=()

A.200B.190C.180D.170

【解答】解：由題意夕wl，由9s3=§6得：

9(1-力1_Z76

二-,解得q=2.

i-qi-q

an=2"”,neN'.

?1?2?3..…a2(>=(?l?20)'0=2"">，

90

log2(tz,?〃2.%......%o)=log22,=190.

故選：B.

7.(5分)頂點在坐標原點，焦點是雙曲線?=1的左焦點的拋物線標準方程是()

A.x2=UyB.y2=-12xC.y2=-4xD.y2=\2x

【解答】解：因為/=4+5=9,.tc=3,F(—3,0),—"=—3,〃=6,「?)，=一12x.

2

故選：B.

517E

8.(5分)已知sin(a+-;r)=-，則cos(——2a)=()

7

D.

9

511

【解答】解：由已知a+—7r=-，

6J3

_rr,[

可得sin(---a)=sin[；T_(a+二;r)]=一，

663

故選：D.

2x—y+2..0

則言的取值范圍是（）

9.(5分)如果點P(x,y)在平面區(qū)域，x-2y+l,,0上,

x+y-2,,0

A.[―2,B.[—2,-C.[-2,&D.[-'2]

323

【解答】解：如圖，先作出點尸（x,y）所在的平面區(qū)域.

）里表示動點P與定點0（2,-1）連線的斜率.

x-2

x-2y+l=0,解味二

聯(lián)立

x+y-2=0

于是無=H10+1_1

QE1-2

因此-2剜絲i,1

x-23

10.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的f為區(qū)間[5,10]內(nèi)任意一個數(shù)，則輸出

的M取值范圍為（）

A.(―no,-2)[J[—,+<?)B.[一2,1]

C.[0,-j|J[2,-K?)D.(f-2)|J[0，1]

(3)2+1

—,,/<1

310

【解答】解：由題意知，M(f)=?

3W10

3+1'

當工”f<l時，M(z)=(l^ty+1=Igt+—?-2,當且僅當/=-!■時取等號.

10IgtIgt10

當啜!I10時，M⑴=-^-=l--?—是增函數(shù)，?(f)

lgt+1lgt+12

因此，M(t)的值域是(-oo,-2]|J[0,^].

故選：D.

11.(5分)設直三棱柱ABC-A8cl的所有頂點都在一個球面上，且球的體積是空匝

AB=AC=AA,,NB4c=120。，則此直三棱柱的高是()

A.4夜B.4C.2GD.2立

【解答】解：設AB=AC=例=2根.因為NB4c=120。，所以NACB=30。，

于是二^_=2r”是AABC外接圓的半徑)，r=2m.

sin30°

又球心到平面ABC的距離等于側(cè)棱長照的一半，

所以球的半徑為J(2㈤2+源=舟1.所以球的表面積為鬲)3=竺普，

解得加=忘.

于是直三棱柱的高是A4,=2m=2點.

故選：D.

12.(5分)若曲線/(x)=a5升(*1)攵+1(任/在點(1,f(1))處的切線與直線

7x+y-2=0平行，且對任意的藥,x,e(0,-H?)>xl^x2,不等式"(%)-/(工2)|>〃?|不一9|

恒成立，則實數(shù)，"的最大值為()

A.WB.2+C.4GD.573

【解答】解：/'(X)，+2(a+l)x=2(。+1)1+a.

XX-

因為/'(1)=—7,

所以2口+1)二=_7M=_3.f(x)=-3lwc-2x2+1.

1,

-4r2—3

因此/'(x)=----------<0,f(x)在(O.+oo)內(nèi)單減.

X-

不妨設Xj>%2>0,則/(X1)</(x2).

于是|/(百)一/(/)|>加3一九I就是了(%2)一，(大)>加(入1一%2)，

即/(W)+痛2>/(X1)+"g恒成立.

令g(x)=/(%)+〃優(yōu)，X>0,則g(X)在(0,+8)內(nèi)單減，

即g'(x凝！|).g'(x)=/'(x)+m=-2-4x+/n0,x>0.

x

而3+4x..4退，當且僅當工=且時，？+4x取到最小值4班，

x2x

所以473?

故選：C.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)命題“玉eR,x2-\<^x"的否定x2-i..Jix_.

【解答】解：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，得；

命題“3xeR,》2-1<氐”的否定是：

"VreR,x2-1..^3x

故答案為：“VXGH,X2-\..>J3X.

14.(5分)設機，向量a=(m,1),b=(-1,?)若aJ_5且|a|=2,則，"?〃的值是3.

【解答】解：因為乙，弓，所以-m+〃=0.又因為|?=2,所以病+1=4,nr=3.

于是m-n=m2*4=3.

故答案為：3.

15.(5分)已知過點(0,1)且斜率為上的直線/,與圓C:(x-2)2+(y-l)2=2交于M,N兩

點，若弦MN的長是2,則女的值是土包.

—3-

【解答】解：直線/的方程為y=fcr+l,即Ax-y+l=0,

?.?圓C:(x-2>+(y-l)2=2的圓心坐標為(2,1),半徑為點，且弦的長是2,

|21+1|、2

-2=1+(———)，

“+i

解得人=±且.

3

故答案為：土且.

3

16.(5分)已知函數(shù)/(》)=2$皿5+>)(0>0,0<夕<￡,x=-g?為/(x)的一個零點,

“為y=/&)圖象的一條對稱軸，且/⑴在(島，令內(nèi)不單調(diào)，則3的最小值為

15

~4~

--CD+(P=k7U

]k九71

【解答】解:由題意知，則9=一+—

7i.n24

§口+9=&2"十萬

』丁k7l九71

由0v—+—<—

242

得，--<k<-,又keZ、

22

所以攵=0,

則°=：.

故°=-3k\+?.

jr

所以/(x)=2sin(s+—).

4

由題設知刃>0,當％|=0時，0則/(x)=2sinc|x+?).

乃c5S,3冗冗'8丸75li兀8〃萬

由—+2〃磅卜工+———1~2〃乃,一乃十---強Hk—H--------，

2442333

知/(x)在(-肛內(nèi)單增，顯然在(蠢,看)內(nèi)單增，不合題意.

當年=-1時，啰=?,則/(x)=2sin(?x+").

44c5H.il5〃■萬-雙［7V8〃4

由1一7+2〃磅吁x+7-+2n7r,-TV-+—^—+—，

24425151515

知f(x)在(-7,自內(nèi)單增，在令，當內(nèi)單減,

符合在(上，生)內(nèi)不單調(diào)的條件.

20216

故0的最小值為”.

4

故答案為：

4

三、解答題：共7()分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共

60分.

17.(12分)第24屆冬季奧林匹克運動會將于2022年2月在中國北京舉行.為迎接此次冬

奧會，北京市組織大學生開展冬奧會志愿者的培訓活動，并在培訓結(jié)束后統(tǒng)一進行了一次考

核.為了了解本次培訓活動的效果，從A、8兩所大學隨機各抽取10名學生的考核成績,

并作出如圖所示的莖葉圖.

(I)計算A、3兩所大學學生的考核成績的平均值;

(II)由莖葉圖判斷A、8兩所大學學生考核成績的穩(wěn)定性；(不用計算)

(III)將學生的考核成績分為兩個等級，如表所示，現(xiàn)從樣本考核等級為優(yōu)秀的學生中任取

2人，求2人來自同一所大學的概率.

考核成績[60,85][86,100]

考核等級合格優(yōu)秀

A校B校

46

88927890

568

9

64+75+78+78+79+72+85+86+91+92800。八

【解答】解：(I)與-------------------------------------------O(J

1010

石=67+62+70+79+78+87+84+85+95+93=翌=8。;

1010

(II)由莖葉圖可知，A所大學學生的成績比3所大學學生的成績穩(wěn)定;

(Ill)記事件M為“從樣本考核等級為優(yōu)秀的學生中任取2人，2人來自同一所大學”.

樣本中，A?？己说燃墳閮?yōu)秀的學生共有3人，分別記為a,b,c,

3?？己说燃墳閮?yōu)秀的學生共有3人，分別記為A,B,C,

從這6人中任取2人，所有的基本事件個數(shù)為ab,ac,aA,aB,aC,be,bA,hB,bC,

cA,cB,cC,AB,AC,3c共15種，

而事件〃包含的基本事件是必，ac,be,AB,AC,8C1共6種，

因此p(M)q=|.

18.(12分)己知數(shù)列｛口｝的前〃項和7；=〃2+3〃(〃eN*).

(I)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

(II)令勿=4-％(〃€%*),求數(shù)列｛2｝的前"項和S,,.

724-1

【解答】解：(I)〃=1時,=4,q=16.

當加.2時,7；,.,=(n-l)2+3(n-l).7；=n2+3?,

作差得瘋=2〃+2,a?=4(?+l)2.

又當〃=1時滿足此式，a“=4(〃+l)2,neN*.......(5分)

(II)bn=2”-4(〃+1)--(〃+1〉*.........(7分)

〃+1

SfJ=b、+b,+…+hn,

5?=2-23+3-24+...+n-2,'+l+(n+l)-2',+2,

2s“=2"+3?25+...+〃,2-2+(〃+I)2+3.

:.-S?=2-23+24+25+...+2nt2-(n+l)-2,,+：!

二23+8(1-2"1+3

1-2

=2,,+3-n-2n+3-2"*3=-n-2n+3........(11分)

S?=n-2n+3..........(12分)

19.(12分)如圖是矩形43co和以邊4?為直徑的半圓組成的平面圖形，AB=24)=2a.將

此圖形沿至折疊，使平面ABCZ)垂直于半圓所在的平面.若點￡是折后圖形中半圓O上異

于A,B的點.

（I）證明：E4±￡C;

（n）若異面直線鉆和DC所成的角為工，求三棱錐E>-AC的體積.

【解答】解：（I）?.?平面ABC力垂直于圓。所在的平面，兩平面的交線為Afi,BCu平面

ABCD,BC±AB,

.?.3C垂直于圓O所在的平面.

又E4在圓O所在的平面內(nèi)，.?.BC_LE4................（3分）

是直角，：.BELEA.而B￡u平面EBC,3Cu平面E3C,

.,.E41.平面EBC.

又：ECu平面EBC,..EA1EC................（5分）

（II）因為在矩形中，AB//CD,直線AE和。C所成的角為土，

6

所以直線小和/記所成的角為工，即NBAE=工.______（6分）

過E作耳'_L4?于F,則EF_L平面43CD.

又AB=2a,ZBAE=~,所以AE=6,EF=且。，

62

因此分）

5AAe°=gx4￡）xC￡>=gxax2a=a2..................（8

于是匕MCE=VE-ACD=~：xSAACDXEF=TXa2X-^-a=-^-a3-

J3ZO

即三棱錐。-ACE的體積是走a，............（12分）

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=e*+acosx,其中x>0,e為自然對數(shù)的底數(shù)，aeR.

(I)當a=T時.，討論/(幻的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)八幻的導函數(shù)廣(幻在(0,乃)內(nèi)有且僅有一個零點，求〃的值.

x

【解答】解：(I)當。=一1時，f(x)=e-cosx9則r(x)=e*+sinx,

因為x>0,所以/>1,一啜！hinx1,因此

故函數(shù)/(X)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增.

(II)由廣(x)=e'-。sinx=O,得asinx=",

因為x￡(0,萬)，所以sinx>0,因止匕〃=——，

sinx

令g(x)=-^—,O<x<%，則g'(x)=e(sinx：cosx),

smxs\n'x

由g，(x)=O,得工=工，

4

當Ovx<工時，gr(x)<0；當工<工<乃時，gr(x)>0,

44

故g(%)在(0,馬單調(diào)遞減,在(乙，%)單調(diào)遞增，

44

所以g(x)加“=g(J=缶4,

故Q=6圓.

22

21.(12分)已知橢圓C:土+4=1(〃>0)的左、右焦點分別為《(-c,0)和月(c,0)，P為橢

6b

圓C上任意一點，三角形PF；鳥面積的最大值是3.

(I)求橢圓C的方程；

(II)若過點(2,0)的直線/交橢圓C于4,5兩點，且Q(=,0),證明：Q4QB為定值.

4

【解答】解：(I)由題意知。2=6一層..........(1分)

當P點位于橢圓C短軸端點時，三角形PF[F]的面積S取最大值，此時

S3=QX2Cxb=be=3..........................(2分)

所以層C2=9,即從(6-人)=9,解得廿=3...................(4分)

22

故橢圓C的方程為—+—=1........................(5分)

63

(II)(方法1)當直線/的斜率不為0時，設直線/:X=J沙+2交橢圓于4(%,%)，85，必)?

、=四'+2消去22

由X得（m+2）y+4my-2=0則

X2+2/=6

4m29

…'m皿=一人..….....（7分）而d=,QB=々一7%卜

所以

⑦磔“沁-2—yM-%i）+A+勺方-刎-券匕=W+方V

....（10分）

當

直

線

斜

率

為

的

;O時

流

3?Q8

一

-<分X

A16J

e一-Z

4)〕

()--41

故逾?須為定值，且為............（12分）

（方法2）當直線/的斜率存在時，設直線/:y=Z（x-2）交橢圓于Al5,y）,B（x2,巴）?

k（x；2）消去丫得，&公+1）*2_8r