2022-2023學年上海九年級數學上學期同步精講精練第12講 二次函數的概念與特殊二次函數的圖像一解析版

第12講二次函數的概念與特殊二次函數的圖像（1）

二次函數的定義

—知識梳理二次函數y=ax2的圖像

二次函數丫=3乂2的性質

，會判斷二次函數

根據二次函數的定義求字母取值

二次函數的概念與世衛(wèi)探元求函數值與解析式

特殊的二次函數的圖像（1）特殊二次函數的圖像畫法

特殊二次函數的圖像：開口方向、頂點坐標、對稱軸

二次函數的判斷中的注意事項

與特殊的二次函數有關的性質

課后作業(yè)

知識一、二次函數的概念

一般地，解析式形如〉=0%2+云+。（其中4、氏C是常數，且。二0）的函數叫做

二次函數.

其中依2叫做二次項、人叫做一次項系數、，是常數項.

二次函數丫=以2+法+。的定義域為一切實數.而在具體問題中，函數的定義域根據

實際意義來確定.

二次函數應注意的問題:

(1)a、b、c三個系數中，必須保證否則就不是二次函數了；而b、c兩數可以

為0,如特殊形式：y=ax2,y=ox2+c,y=ox2+〃x,y=x2等.

(2)由于.二次函數的解析式是整式的形式，所以自變量x的取值范圍是任意實數.

題型探究

題型一、二次函數的判斷

［例I］下列函數中哪些是二次函數？哪些不是二次函數？若是二次函數，指出“、b、

Co

[13

(1)y=l-3x2；(2)y-x(x—5)；(3)y--；--------；(4)y=—x2+—x+l；

3廠+2x+122

(5)y=3x(2—尤)+3/.(6)y=(2+x)(x-2)；(7)y=\jx2+5x4-6(8)

y=x4+%2+1io

【答案］（1）是，a=-3,b=0,c=l（2）是，a=l,0=-5,c=0；（3）不是;

（4）是，"5'"2，C1；⑸不是；⑹。=1力=°，c=-4；

（7）不是；（8）不是.

【解析】（1）y=l-3x2=3-3x2+l,符合二次函數的定義，故（1）是二次函數,

（2）y=x（x—5）=%2_5x,符合二次函數的定義，故（2）是二次函數，且o=l力=5；

（3）y-------是分式，不符合二次函數的定義，故（3）是二次函數;

-3X2+2X+1

i313

(4)y=-x2+-x+l,符合二次函數的定義，故(4)不是二次函數，。=一功=一同=1；

2222

丁=342-幻+3/=6；1-31+3/=6x,不符合二次函數的定義，故(5)不是二

次函數;

(6)y=(2+x)(x-2)=x2-4,符合二次函數的定義，故(6)是二次函數，且。=1力=-0,

c=-4；

y=&+5x+6是根式,不符合二次函數的定義，故（7）不是二次函數;

(8),=/+/+1最高次數為4,不符合二次函數的定義，故（8）不是二次函數.

題型二、根據二次函數求字母

【例2】y=（帆2-2加一3）9+（“一1戶+m2是關于x的二次函數需要滿足的條件是

【答案】加。3且相?！?.

【解析】加一3wO,解得相。3且〃7W-1.

君題型三、函數值

【例3】已知二次函數y=2%2-5x+3.

(1)當x=-1時，求函數值;

2

(2)當x取何值時，函數值為0?

【答案】(1)6;(2)1或3.

2

【解析】（1）把x=-g代入y=2f-5x+3得y=6；

c3

(2)把y=0代入2f—5x+3=0得玉=1,x2=—

內題型四、列解析式

Hl【例4】如圖，有一矩形紙片，長、寬分別為8厘米和6厘米，現(xiàn)在長寬上分別剪去寬

為x厘米（無＜6）的紙條，則剩余部分（圖中陰影部分）的面積y關于x的函數關系式為

8

6

x

x

【答案］y=x2-14x+48(0<x<6).

【解析】陰影部分的長方形的的長為（8-力52,寬為（6-X）C7H,

所以面積y=(8-工)(6-1)=工2_14x+48(0<x<6).

【例5】某公司4月份的營收為80萬元，設每個月營收的增長率相同，且為x(x>0),

6月份的營收為y萬元，寫出y關于x的函數解析.

【答案】y=80(l+x)2

【解析】因為4月份的營收為80萬元，5月份起，每月增長率都為x,所以5月份的營

收為80(1+x)萬元，12月份的營收為80(1+才萬元.

瓦［例6］用長為15米的籬笆，一面靠墻(墻的長度超過15米)，圍成一個矩形花圃.設

花圃的寬為x米，面積為y平方米，求y與x的函數解析式及函數的定義域.

【答案】y=-2x2+15jcfo<x<-^

【解析】設花圃的寬為X米，則長為(15-2X)米,

，面積y=x(l5-2x)=-2x2+15xfo<x<^-

舉一反三

1.（2021?全國九年級專題練習）若函數y=（〃-1）/+右+矯一1是二次函數，則（)

A.厚1B.存-1C.。=1D.a=±\

【答案】A

【解析】

解：由題意得：a-1#),

解得：#1,

故選：A.

2.（2019?浙江九年級期中）下列各式中，是二次函數的是（）

2222

A.y=ax+bx+cB.y=42x-xC.y=x+2xD.y=JC2+1

【答案】C

【解析】

解：A、當“=0時，y=加+6x+c不是二次函數，故不符合題意;

B、y=右邊不是整式，不是二次函數，故不符合題意;

C、y=x2+2x,是二次函數，故符合題意;

D、產=爐+1,變形可得y=±G71，不是二次函數，故不符合題意;

故選c.

3.（2021?廣東九年級專題練習）若函數y=（l+w）x""2,,i是關于x的二次函數，則根的值

是（）

A.2B.T或3C.3D.-1±V2

【答案】C

【解析】

?.?函數y=(1+m)X'"、mT是關于X的二次函數,

*'?m2-2m-1=2,且1+機HO,

由nv-2m-l=2得，加=3或m=-1,

由1+mwO得，6w-l,

：.m的值是3,

故選：c.

4.(1)已知二次函數y=爐―2X，當工=-2時，y=

（2）已知二次函數y=/-2,當y=0時，x=

【答案】（1）8；（2）±42

【解析】（1）把x=-2代入y=--2x得）=8；

（2）把y=0代入i―2=0得4土血.

5.已知函數y=（，/-1）/+（m+然是常數）。

（1）當陽為何值時，y是x的二次函數？

（2）當"2為何值時，y是X的一次函數？

（3）當陽為何值時，y是x的常值函數？

【答案】（I）；（2）；（3）

【解析】(1)二次函數時，m2-1^0,解得:加。±1。

(2)當〃2?—1=0時，加=1或加=一1。

當m=1時，根+lwO,y是x的一次函數。

（3）由（2）當加=T時，加2T=。，加+1=0。所以當根=-1時，y=—1,是x的

常值函數.

6.（2021.全國九年級專題練習）若正方體的棱長為X,表面積為y,則y與X的關系式為

【答案】j=6x2

【解析】

解：?..正方體有6個面，每一個面都是邊長為x的正方形,

，表面積y=61.

故答案為：y=6x2.

7.（2020?全國九年級專題練習）已知三角形的一邊長為x,這條邊上的高為x的2倍少1,

則三角形的面積y與x之間的關系為

【答案】y=x2-；x

【解析】

由題意得

y=^x（2x-\）=x2-^x.

故答案為y=W-；x.

8.（2020.四川）如圖，用一段長為20米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的長方

形菜園ABC￡>,設4B為x米，則菜園的面積y（平方米）與x（米）的關系式為.（不

要求寫出自變量X的取值范圍）

AD

菜園

B'-----------------'C

【答案】尸-2x2+20x

【解析】

的邊長為x米，而菜園ABC。是矩形菜園,

：.BC=20-2x,

:菜園的面積=4BXBC=X?(20-2X),

；.y=-2x2+20x.

故填空答案：y=-2x2+20x.

知識二、二次函數丁=才的圖像

y=￡的圖像

在平面直角坐標系xOy中，按照下列步驟畫二次函數y=x2的圖像.

(1)列表：取自變量X的一些值，計算相應的函數值y,如下表所示:

-1-_1111

X-22-1012

222

￡J_

y=/42-101214

4444

(2)描點：分別以所取的x的值和相應的函數值y作為點的橫坐標和縱坐標，描

出這些坐標所對應的各點，如圖1所示.

（3）連線：用光滑的曲線把所描出的這些點順次聯(lián)結起來，得到函數y=f的圖像,

如圖2所示.

二次函數y=Y的圖像是一條曲線，分別向左上方和右上方無限伸展.它屬于一類

特殊的曲線，這類曲線稱為拋物線.二次函數y=Y的圖像就稱為拋物線y=/.

歸納總結:

拋物線y=/的開口方向向上;它是軸對稱圖形，對稱軸是y軸，即直線k0.

拋物線），=f與y軸的交點是原點O;除這個交點外，拋物線上的所有點都在x軸的上

方，這個交點是拋物線的最低點.

拋物線與它的對稱軸的交點叫做拋物線的頂點.拋物線y=x2的頂點是原點0(0,0).

2.二次函數y=的圖像

拋物線>=以2（其中〃是常數，且ax。）的對稱軸是y軸，即直線x=O；頂點是原點.拋

物線的開口方向由a所取值的符號決定，當時，拋物線開口向上，頂點為拋物線的最

低點；當a<0時，拋物線開口向下，頂點為拋物線的最高點.

總結：（1）開口向上時；從左向右看，對稱軸左側部分圖像下降（y隨著x的增大而減?。?，

對稱軸右側部分圖像上升（y隨著x增大而增大）.

（2）開口向下時；從左向右看，對稱軸左側部分圖像上升（y隨著x的增大而增大），對

稱軸右側部分圖像下降（y隨著x增大而減?。?

題型探究

題型一、二次函數產a/的圖像

【例7】在同一直角坐標系中.

(1)畫出下列函數的圖像;①y=gf；②y=2/;③y=—3％2；④、=一2》2；

(2)說出四個函數圖像的區(qū)別與聯(lián)系.

【答案】（1）圖像見解析；（2）見解析.

【解析】（1）①列表:

X-4-3-2-101234

y=-1x~284.520.500.524.58

2

12

y=——x-8-4.5-2-0.50-0.5-2.-4.5-8

2

X-2-1.5-1-0.500.511.52

y=2x284.520.500.524.58

y=-2x2-8-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5-8

②描點

③連線

(2)四個函數的區(qū)別于聯(lián)系如下表:

函數區(qū)別聯(lián)系

y=lx2圖像開口方向拋物線位置開口大小

12

x拋物線除頂點在X軸當間變大時，拋物線

y=~~四個圖

開口向上上外,其余在X軸上方，像的頂

a>0,開口變窄；當時變小

并向上無限延伸.點都是

原點，對

時，拋物線開口變寬.

稱軸都

y=-2x2拋物線除頂點在X軸當同變大時，拋物線是y軸.

1a<0,開口向下上外,其余在X軸下方，

y=——x2'開口變窄；當時變小

2并向下無限延伸.

時，拋物線開口變寬.

題型二、二次函數產研2的性質

【例8】說出下列函數圖像的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

(1)y=2x2；(2)y———x~.

3

【答案】（1）向上，直線40,（0,0）

(2)向下，直線x=0,(0,0)

【解析】（1）丁=2/圖像為拋物線，頂點坐標為（0，°）,對稱軸為y軸或直線40；

開口向上;

（2）3圖像為拋物線，?<0,開口向下，頂點坐標為（°，°）,對稱軸為），軸或

直線,r=0：

【例9】（1）拋物線y=2f除了點以外，都位于.上方.

【答案】（0,0）;X軸.

【解析】拋物線y=2W的圖像為頂點是（0,0）點，開口向上的拋物線,

,只有（0,0）點在x軸上，其余的都位于x軸上方.

(2)拋物線>=以2與y=|f的形狀相同，則。的值為

【答案】±2.

5

【解析】???拋物線y=#與y=2*2的形狀相同，，同=2,得。=±2.

⑶已知點P《，6）在拋物線尸加上，那么〃的值為

【答案】

3

【解析】把P（』，6）代入尸/得〃=號

23

(4)函數y=-?2與y="+匕的圖像可能是()

【答案】D.

【解析】當。＞0時，拋物線開口向下，一次函數一定過第一、三象限,

當a<0時.，拋物線開口向上，一次函數一定過第二、四象限.

（5）已知二次函數y=（2-的圖像開口向下，求小的值.

【答案】m=—.

2

【解析】由題意得（4*+1=2,得加

2-5/n<02

（6）如圖，四個二次函數圖像，分別對應的是①1y=加一；②>=6/；③y=cr2；④y=dx2,

則a、b、c、d的大小關系為（）

A.a>b>c>dB.a>b>d>c

C.b>a>c>dD.b>a>d>c

【答案】A.

【解析】:①、②函數圖像開口向上，...a〉。,&>0;

???③、④函數圖像開口向下，...cvO,d<0;

,.,二次函數。=0?2（。*0）中，|4越大,開口越小,a>b>c>d.

（7）若把拋物線丫=g2（a*0）沿著頂點旋轉180。，所得拋物線的表達式是；

若把拋物線丫=奴2（aw。）沿著工軸翻折，所得的拋物線的表達式是；由這樣

的旋轉與翻折分別得到的兩條拋物線_____重合的（選填"是''或"不是”）.

［答案】y=-ax2；y=-ax2；是.

【解析】若把拋物線>=內2（。工0）沿著頂點旋轉180。,

則新的拋物線頂點和對稱軸不變，方向相反，.?.新的拋物線的表達式為丫=-四2；

若拋物線丫:"？（a*o）沿著x軸翻折，則新的拋物線頂點和對稱軸不變，方向相反,

.?.新的拋物線的表達式為y=-，￡.

舉一反三

1.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）下列關于拋物線y=x?和y=-Y的關系

的說法中，錯誤的是（）

A.它們有共同的頂點和對稱軸

B.它們都是關于y軸對稱

C.它們的形狀相同，開口方向相反

D.點A(-2,4)在這拋物線y=V上，也在拋物線y=-V的圖像上.

【答案】D

【解析】

解：拋物線y=x?和y=-xz的性質可知,

二次項系數。的絕對值相等，所以開口方向相反,

并且都關于y軸對稱，頂點都為原點,

但是點A(-2,4)在這拋物線y=f上，但不在拋物線y=-V的圖像上,

綜上所述，A,B,C選項都正確，只有D錯誤,

故選：D.

2.二次函數y=-1%2的圖像是,它的對稱軸是，頂點坐標是,開口方向

【答案】拋物線；y軸；（0,0）；向下.

【解析】丫=62（〃#0）圖像為拋物線，頂點坐標為（0,0）；對稱軸為y軸;

a>0,開口向上，a<0,開口向下

3.拋物線y=3/經過點A(3,〃)，則〃=,且點A關于拋物線對稱軸的對稱點4

的坐標是

【答案】27：(-3,27).

【解析】把A(3,n)代入y=3f得〃=27；?.?拋物線y=3x?的對稱軸為y軸,

；.A（-3,27）.

4.已知關于x的二次函數y=(l+k)V,當人為何值時，它的圖像開口向上？當k為何值時,

它的圖像開口向下？

【答案】%>-1時，圖像開門向上；Z<-1時，圖像開口向下.

【解析】當1+%>0,即4>-1,拋物線圖像開口向上;

當1+々<0,即人<—1,拋物線圖像開口向下.

5.拋物線y=；/上一點到*軸的距離為8,求該點的坐標.

【答案】(4,8)、(-4,8).

【解析】：拋物線y=上一點p到x軸的距離為8,則P點縱坐標為8,

,2

把y=8代入y=得耳(4,8)、鳥(-4,8).

6.已知直線y=gx+2上有兩個點A、B,它們的橫坐標分別是3和-2,若拋物線y=也經

過點4,試求該拋物線的表達式.該拋物線也經過點B嗎？請說出你的理由.

【答案】y=-x2；拋物線不經過B點.

3

【解析】把3和-2分別代入y=gx+2得4(3,6)、7?^-2,-|

把A(3,6)代入y=以?得。=2,.?.拋物線的表達式為丫=|/；

把x=-2代入y=2/得y=g，與8點縱坐標不同,

...拋物線不經過點8.

總堂總結

1.知識清單:

(1)二次函數的定義;

(2)二次函數、=加的圖像的畫法;

(3)二次函數y=o?的圖像的性質.

2.總結:

(1)判斷某個函數是否為二次函數時，需要從以下幾個方面考慮:

1）二次函數是整式形式，根號、分母里不能含有未知數;

2）將解析式化簡之后再進行判斷;

3）對于二次項系數中含有字母的，一定要考慮到二次項系數不為0這一前提條件.

（2）對于實際應用問題，注意結合實際情況考慮自變量的取值范圍.

（3）函數y=ax1（存0）的圖像與。的關系。

函數y=ax2（^0）的圖像的開口方向與〃有關，開口大小與間有關.例如）=2^2與尸?2r2的形

狀一樣，開口方向相反，也就是說;將拋物線產2%2沿x軸翻折或繞其頂點（0,0）旋轉180。

得到拋物線y=-2N.同越大時，拋物線的開口方向越小.

（4）畫二次函數>=依2的圖像時應注意的問題。

（1）描點法所畫的圖像只是整個函數圖像的一部分，是近似的，由于x可取一切實數，所

以圖像是向兩方無限延伸的；（2）點選的越多，圖像越精確（一般取五點）；（3）圖像必須

平滑，頂點不能畫成尖形的.

課后作業(yè)

1.以x為自變量的函數：①y=(x+2)(x—2)；②y=(x+2)2；③>=1+2》-3/；④

y=x2-x(x-1).是二次函數的有()

A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【解析】

解：①尸(*+2)(工-2)=/_4,符合二次函數的定義，故①是二次函數;

②y=(x+2>,符合二次函數的定義，故②是二次函數;

③y=l+2x-3一,符合二次函數的定義，故②是二次函數;

④-耳刀-1)=/-/-工=一了，不符合二次函數的定義，故④不是二次函數.

所以，是二次函數的有①②③,

故選：C.

2.（2021?全國九年級專題練習）若函數y=（，〃+2）戶是二次函數，那么機的值是（)

A.2B.-2或2C.-2D.0或2

【答案】A

【解析】

函數y=(m+2)J”是二次函數,

/%+2工0且帆=2,

m=2

故選：A.

3.（2021?江蘇九年級專題練習）已知兩個變量％與y之間的三組對應值如表，則y與x之間

的函數解析式可能是（）

X-i2-3

y-63-2

A.y=6xB.y=x-5C.y=x2-5D.y=—

x

【答案】D

【解析】

解：A.將表格對應數據代入，不全符合方程y=6x,故A不符合題意;

B.將表格對應數據代入，不全符合方程y=x-5,故B不符合題意;

C.將表格對應數據代入，不符合方程y=--5,故C不符合題意;

。.將表格對應數據代入，符合方程y=9,故0符合題意.

X

故選：D.

4.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）下列說法中正確的是（)

A.拋物線、=以2的頂點是原點B.拋物線丫=-"2的開口向下

C.拋物線，=以2的開口向上D.拋物線丫=以2的頂點是拋物線的最低點

【答案】A

【解析】

解：A.拋物線^=以2的頂點是原點，正確;

B.拋物線丫=-以2的開口不確定，因為a不知是正是負:

C.拋物線y=or2的開口不確定，因為a不知是正是負;

D.拋物線y=a/的頂點不確定，因為a不知是正是負,

故選A.

5.(2020?蘇州市平江中學校九年級期中)二次函數y=(m+3)Y+3x+M-9的圖象經過原

【答案】3

【解析】

解：根據二次函數圖象過原點，把(0,0)代入解析式,

得0=>-9，整理得病=9,解得〃z=±3,

m+300,

根。一3,

"2=3.

故答案為：3.

6.（2021?上海市實驗學校九年級二模）已知/（犬）=/+1,則〃-1）

【答案】2.

【解析】

解：???〃力=1+1

.-,/(-1)=(-1)2+1=2

故答案為：2.

7.（2021?山東九年級期末）在實數范圍內定義一種運算“※”，其運算法則為。※匕=〃-2"

,根據這個法則，若y=（x+3）X2,則丫=（寫成一般式）.

【答案】y=x2+2x-3

【解析】

解：由題意可得:y=(x+3)2-2x2(x+3)

整理，得：y=x2+6X+9-4X-\2=X2+2X-3

故答案為：y=f+2x-3

8.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）函數丫=-3/+2心-1,二次項系數是

_,一次項系數是一，常數項是一.

【答案】-32正-1

【解析】

函數是￥=-3無2+2夜工-1,二次項系數是：-3,一次項系數是：2正，常數項是：-1.

故答案是：-3；2^2;—1.

9,若函數丁="+川/一2小是二次函數，則m=,它的圖像開口,頂點是它

的最點，它的對稱軸是

【答案】3；向上;低；y軸.

【解析】?；函數y=（加+時/々a是二次函數,

/.nT—2m—1=2,解得班=3,，巧=—1,

丁加+機工0,，利工一1,，相=3,J函數解析式為y=12—.

???圖像開口向上，頂點是它的最低點，對稱軸是y軸.

10.（2020?上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）二次函數y=2f的圖像以X軸為對稱

軸翻折，翻折后它的函數解析式是

【答案】y=-2xi

【解析】

由題意得二次函數圖像形狀不變，開口相反，則a相反，故翻折后它的函數解析式為y=-2x2,

故答案為：y=-2x2

11.（2020.上海市靜安區(qū)實驗中學九年級課時練習）二次函數y=的圖像開口方向是

，對稱軸是,頂點坐標是

【答案】開口向下y軸（0,0）

【解析】

解：函數y=-gx?中,

Va=--<0,

3

拋物線的開口向下,

h=k=。,

.?.對稱軸是y軸，頂點坐標是（0,0）,

故答案為：開口向下，y軸，（0,0）.

12.（2019?江蘇省祁江中學（集團）北區(qū)校維揚中學九年級月考）一臺機器原價50萬元,

如果每年的折舊率是X,兩年后這臺機器的價格為y萬元，則y與X的函數關系式為

【答案】y=50(1-x)2

【解析】

解：由題意得：兩年后的價格為：50x(1-x)x(1-x)=50(1-x)2,

故y與x的函數關系式是：y=50(1-x)2.

故答案為：y=50(1-x)2.

13.(2021.西安高新一中實驗中學九年級其他模擬)在同一個平面直角坐標系xOy中，二

次函數弘="然2,%%=%/的圖象如圖所示，則4，生嗎的大小關系為

（用“〉，，連接）.

【答案】例＞%＞《.

【解析】

解：，.,二次函數yi=ai/的開口最大，二次函數