實(shí)積分中應(yīng)用

6-2留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用一Δ、形如的積分二、形如的積分三、形如的積分1

應(yīng)用留數(shù)定理于數(shù)學(xué)分析中的廣義積分,可以積出許多原來無法積出的積分.其關(guān)鍵是將原來的積分區(qū)間置于復(fù)平面中某個(gè)區(qū)域的邊界上.書上的例題是很典型的,應(yīng)注意如何巧妙地把定積分化為復(fù)積分.

2思想方法

:沿某條封閉路線的積分。兩個(gè)重要工作:1)積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化；2)被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化。把定積分轉(zhuǎn)化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)3一Δ

、形如的積分定理1

若函數(shù)在圓周|z|=1上解析，在|z|<1內(nèi)除有限個(gè)奇點(diǎn)z1,z2,…,zn外解析，則有4

令，則，從而有其中可看作圓周|z|=1的參數(shù)方程的參數(shù)。于是令，則有，且有證明5當(dāng)從0變到2π時(shí)，z沿圓周|z|=1正向繞行一周，于是有由于函數(shù)在|z|<1內(nèi)只有有限個(gè)奇點(diǎn)z1,z2,…,zn，則由留數(shù)定理得得證。6例1

計(jì)算積分解則78例2

計(jì)算積分解由都是以為周期的偶函數(shù)則910二、形如的積分定理2

設(shè)函數(shù)f(z)在實(shí)軸上解析，在上半平面除有奇點(diǎn)z1,z2,…,zn外解析，若存在正數(shù)M、r和α>1，使當(dāng)且時(shí)，f(z)解析并且滿足，則積分I2存在且有xy...

z2.z3.z1112.積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條連接區(qū)間兩端的逐段光滑曲線,使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線,并使f(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點(diǎn)外處處解析.(此法常稱為“圍道積分法”)1.被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實(shí)軸上的區(qū)間內(nèi)變動(dòng)時(shí),f(z)=f(x))f(x)f(z)12

證明

設(shè)CR為上半圓周：z=Reiθ(0≤θ≤π)，當(dāng)R≥r

時(shí)，奇點(diǎn)z1,z2,…,zn均在由CR及實(shí)軸上從

-R到R的一段所圍成的閉路內(nèi)。由留數(shù)定理得由于在CR上因此得證。13并且分母在實(shí)軸上無零點(diǎn)，計(jì)算其中有理函數(shù)的無窮積分此時(shí)，我們?cè)O(shè)若有理函數(shù)的分母至少比分子高兩次,

則當(dāng)充分大時(shí)，有即于是由定理2可得14推論

若有理函數(shù)f(z)＝P(z)/Q(z)在上半平面上奇點(diǎn)為z1,z2,…,zn，Q(z)在實(shí)軸上無零點(diǎn)，且Q(z)的次數(shù)至少比P(z)的次數(shù)高兩次，則有15例3

計(jì)算積分解

所以

明顯，只有在上半平面，且為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，因此16

明顯，只有在上半平面，且為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，因此由于為偶函數(shù)，因此17例4

計(jì)算積分解

在上半平面有二級(jí)極點(diǎn)一級(jí)極點(diǎn)1819三、形如的積分定理3

設(shè)函數(shù)f(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，且在上半平面除有奇點(diǎn)z1,z2,…,zn外解析，若存在正數(shù)M和r，使當(dāng)且時(shí)，函數(shù)f(z)解析且有，則有20證明

設(shè)CR為上半圓周：，取充分大的R()，則有下面只須證明當(dāng)時(shí)，上述沿CR的積分趨向于零因此當(dāng)時(shí)，記沿

CR

的上述積分為IR，有由于當(dāng)時(shí)，有21令，從而有由于因此有得證。22推論

若有理函數(shù)f(z)＝P(z)/Q(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，且Q(z)的次數(shù)比P(z)的次數(shù)至少高一次，則有證明

略有理函數(shù)與三角函數(shù)乘積的積分注1積分存在要求:

f(x)是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次,并且f(z)

在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).23注224例5

計(jì)算積分解

在上半平面只有二級(jí)極點(diǎn)又25注意以上兩種類型的積分中，被積函數(shù)在實(shí)軸上無孤立奇點(diǎn).26例6.計(jì)算積分解：由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，因此在上半平面只有一個(gè)簡(jiǎn)單極點(diǎn)，且由定理3推論得因此27

通過上面三個(gè)定理的證明可以看出，利用留數(shù)來計(jì)算定積分，首先把積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條曲線的積分，若該積分滿足留數(shù)定理的條件，則可用留數(shù)定理直接計(jì)算。在一般情況下，需要象定理2和3的證明那樣，將積分曲線補(bǔ)充成一條閉曲線，然后利用留數(shù)定理和取極限求得積分值。注意所構(gòu)造的閉路必須可用留數(shù)定理來計(jì)算其積分，函數(shù)在所補(bǔ)充的路線上的積分或其極限要容易計(jì)算。28四、積分路徑上有奇點(diǎn)的積分定理3

設(shè)函數(shù)f(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，且在上半平面除有奇點(diǎn)z1,z2,…,zn外解析，若存在正數(shù)M和r，使當(dāng)且時(shí)，函數(shù)f(z)解析且有，則有29例1

計(jì)算積分分析

應(yīng)使封閉路線不經(jīng)過奇點(diǎn),所以可取圖示路線:某閉曲線因在實(shí)軸上有可去奇點(diǎn)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為30解封閉曲線C:由Cauchy積分定理得:由3132當(dāng)充分小時(shí),總有33即34例2證如圖路徑，3536令兩端實(shí)部與虛部分別相等，得菲涅耳(fresnel)積分37第五章內(nèi)容提要留數(shù)計(jì)算方法可去奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系留數(shù)定理留數(shù)在定積分計(jì)算