一元二次方程的解法全

一元二次方程的解法全第一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六共同回顧:一元二次方程1、定義：

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程通?？蓪?xiě)成如下的一般形式：ax2+bx+c=0a≠03、判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，按順序要把握三點(diǎn)：①：方程是整式方程；②：只含有一個(gè)未知數(shù)③：可化為ax2+bx+c=0（a≠0

）的形式第二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六1.判斷下列方程是否一元二次方程？2．m何值時(shí)，方程是關(guān)于χ的一元二次方程?03-2xx)1(40cx30yx212222＝）＝＋）＝－）01x3xx22＝－＋）+++mbax第三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六下列各數(shù)有平方根嗎?若有,你能求出它的平方根嗎?25;0;;2;-3;合作學(xué)習(xí)共同回顧一個(gè)數(shù)x的平方等于a，這個(gè)數(shù)x叫做a的什么？即（a≥0）則x叫做a的平方根，表示為：第四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1解方程先移項(xiàng)，得所以

以上解某些一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法。例題解析：可見(jiàn)，上面的實(shí)際上就是求4的平方根。第五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六初試鋒芒用直接開(kāi)平方法解下列方程：;02（4）212=-x（2）02-2=x（1）;0121

2=-y(3)將方程化成(b≥0）的形式,再求解第六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六再顯身手例2解方程:

(1)

(2)將方程化成(b≥0）的形式,再求解第七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六解下列方程：

()045t2

2=-()();2516

62=-x()();0365

52=+-x()();532

42=-x();04916

32=-x();09

12=-x隨堂練習(xí)第八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六1、用直接開(kāi)方法解方程：

2、用直接開(kāi)方法解方程：

你會(huì)變嗎？

拓展練習(xí)第九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六提問(wèn)：下列方程有解嗎？議一議方程一定有解嗎?第十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六用直接開(kāi)平方法可解下列類型的一元二次方程：根據(jù)平方根的定義，要特別注意：由于負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以，當(dāng)b<0時(shí)，原方程無(wú)解。學(xué)會(huì)自我總結(jié)歸納小結(jié)()()().0

ax

0

223=-3=bbbbx或第十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六23.2一元二次方程的解法華東師大版九年級(jí)（第2課時(shí)）第23章一元二次方程第十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六用直接開(kāi)平方法可解下列類型的一元二次方程：根據(jù)平方根的定義，要特別注意：由于負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以當(dāng)b<0時(shí)，原方程無(wú)解。知識(shí)回顧第十三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六大膽猜測(cè)：使下列式子成立的x為多少？AB=0A=0或Ｂ＝０知識(shí)回顧第十四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六解:(直接開(kāi)平方法):第十五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例2：解方程x2-4=0.另解：原方程可變形為(x+2)(x－2)=0x+2=0或x－2=0∴x1=-2,x2=2我們觀察可以發(fā)現(xiàn)可以使用平方差公式以上解某些一元二次方程的方法叫做因式分解法。x2－4=（x－2）（x＋2）第十六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六初試鋒芒解下列方程：（2）（1）第十七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六

例3解下列方程：

第十八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六x+2=0或3x－5=0

∴x1=-2,x2=

第十九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六解：原方程可變形為第二十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六歸納：用因式分解法解一元二次方程的步驟1.方程右邊不為零的化為

。2.將方程左邊分解成兩個(gè)

的乘積。3.至少

一次因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程。4.兩個(gè)

就是原方程的解。

零一次因式有一個(gè)一元一次方程的解第二十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例(x+3)(x－1)=5解：原方程可變形為(x－2)(x+4)=0x－2=0或x+4=0∴x1=2,x2=-4解題步驟演示方程右邊化為零x2+2x－8=0左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積至少有一個(gè)一次因式為零得到兩個(gè)一元一次方程

兩個(gè)一元一次方程的解就是原方程的解

第二十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六這樣解是否正確呢？

方程的兩邊同時(shí)除以同一個(gè)不等于零的數(shù)，所得的方程與原方程同解。拓展練習(xí)1：辨析第二十三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、下面的解法正確嗎？如果不正確，錯(cuò)誤在哪？()第二十四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六解下列方程：y2=3y(2)(2a－3)2=(a－2)(3a－4)(3)(1)(x＋1)(x+2)=2拓展練習(xí)2：解方程第二十五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六(4)(4x－3)2=(x+3)2第二十六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六用因式分解法解一元二次方程的步驟1.方程右邊不為零的化為

。2.將方程左邊分解成兩個(gè)

的乘積。3.至少

一次因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程。4.兩個(gè)

就是原方程的解。

零一次因式有一個(gè)一元一次方程的解小結(jié)第二十七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六23.2一元二次方程的解法華東師大版九年級(jí)（第3課時(shí)）第23章一元二次方程第二十八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六1、選擇合理的方法解下列方程(1)(2)(3)復(fù)習(xí)練習(xí)：第二十九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六２、請(qǐng)說(shuō)出完全平方公式

第三十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六３、根據(jù)完全平方公式填空(格式如題(1))(1)(2)(3)424525_______x++25＝(______)2（±10）x±5第三十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六參照第（1）題，推想一下第（2）題及第（3）題的解法(1)(2)(3)第三十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六上面，我們把方程變形為它的左邊是一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù).這樣，就能應(yīng)用直接開(kāi)平方的方法求解.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.第三十三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六隨堂練習(xí)解下列方程：第三十四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1解下列方程：

(1)(2)解：(1)第三十五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)(2)解下列方程：

拓展練習(xí)

想想怎樣解？第三十六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2、把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；3、在方程的兩邊各加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；4、如果方程的右邊整理后是非負(fù)數(shù)，用直接開(kāi)平方法解之，如果右邊是個(gè)負(fù)數(shù)，則指出原方程無(wú)實(shí)根。1、若二次項(xiàng)系數(shù)不是1，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù))；請(qǐng)歸納配方法解一元二次方程的步驟第三十七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六拓展練習(xí)用配方法證明：代數(shù)式的值是正數(shù)第三十八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六小結(jié)：配方法也是一元二次方程常見(jiàn)的解法2.配方法的運(yùn)用第三十九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六23.2一元二次方程的解法華東師大版九年級(jí)（第4課時(shí)）第23章一元二次方程第四十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六配方法的步驟：1.化

12.移項(xiàng)3.配方4.求解配方的關(guān)鍵是在方程兩邊同時(shí)添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。知識(shí)回顧第四十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六

用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0

用配方法解一元二次方程的步驟：1.把原方程化成x2+px+q=0的形式。2.移項(xiàng)整理得x2+px=-q3.在方程x2+px=-q的兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)p的一半的平方。x2+px+()2=-q+()24.用直接開(kāi)平方法解方程(x+)2=-q

知識(shí)回顧第四十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解:把方程兩邊都除以a,得x2+x+=0

解得x=-±∴當(dāng)b2-4ac≥0時(shí),x+=±∵4a2＞0即(x+)2=配方，得x2+x+()2=-+()2即x=用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。移項(xiàng)，得x2+x=-第四十三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例用公式法解方程2x2+x-6=0。解：這里a=2，b=1，c=-6，所以b2-4ac=12-4×2×(-6)=49.1、把方程化成一般形式，并寫(xiě)出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。用公式法的一般步驟：求根公式:

x=4、寫(xiě)出方程的解：x1=?,x2=?3、代入求根公式

x=(a≠0,b2-4ac≥0)(a≠0,

b2-4ac≥0)即x1=-2，x2=第四十四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六（口答）填空：用公式法解方程5x2-4x-12=0。解：a=

，b=

，c=

.b2-4ac=

=

.x=

=

=

.即x1=,x2=.5-4-12(-4)2-4×5×(-12)2562求根公式:

x=(a≠0,

b2-4ac≥0)第四十五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六解:將方程化為一般式，得x2＋4x－2＝0∴x＝∴原方程的解是x1＝，x2=用公式法解下列方程：x2＋4x＝2第四十六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六

用公式法解方程：

x2–x-=0解：方程兩邊同乘以3

得2x2-3x-2=0a=2，b=-3，c=-2.∴b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=25.∴x=即x1=2,x2=-

用公式法解方程：

x2+3=2x

解：移項(xiàng)，得x2-2x+3=0a=1，b=-2，c=3b2-4ac=(-2

)2-4×1×3=0x1=x2===∴x===求根公式:

x=(a≠0,

b2-4ac≥0)×第四十七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六求根公式:

x=由配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)

若b2-4ac≥0，得1、把方程化成一般形式。并寫(xiě)出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。3、代入求根公式:用公式法解一元二次方程的一般步驟：小結(jié)4、寫(xiě)出方程的解：x1=?,x2=?(a≠0,b2-4ac≥0)x=第四十八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六思考題:1、用公式法解下列方程： （m為已知常數(shù)）2、m取什么值時(shí)，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解？第四十九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六一元二次方程的解法習(xí)題課（第5課時(shí)）華東師大版九年級(jí)第23章一元二次方程第五十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)直接開(kāi)平方法(2)因式分解法提公因式法公式法：平方差公式，完全平方公式(3)配方法(4)公式法當(dāng)b-4ac≥0時(shí)，x=

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1的時(shí)候，方程兩邊同加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方ax2=b(a≠0)第五十一頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六一直接開(kāi)平方法依據(jù)：平方根的意義，即如果x2=a,那么x=這種方法稱為直接開(kāi)平方法。

解題步驟：1，將一元二次方程常數(shù)項(xiàng)移到方程的一邊。2，利用平方根的意義，兩邊同時(shí)開(kāi)平方。3，得到形如：x=的一元一次方程。4，寫(xiě)出方程的解x1=?,x2=?第五十二頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1（3x-2）2-49=0例2（3x-4）2=（4x-3）2解：移項(xiàng)，得：（3x-2）2=49

兩邊開(kāi)平方，得：3x-2=±7解：兩邊開(kāi)平方，得：

3x-4=±（4x-3）3x-4=4x-3或3x-4=-4x+3-x=1或7x=7x=-1，x=1例題講解所以x=所以x1=3，x2=-第五十三頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六二因式分解法1提公因式法=0解：提公因式得：第五十四頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六2平方差公式與完全平方公式形如運(yùn)用平方差公式得：形如的式子運(yùn)用完全平方公式得：或第五十五頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例題講解（1）解：原方程變形為

直接開(kāi)平方，得例5解下列方程:（2）解：原方程變形為所以，。所以。第五十六頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六三配方法我們通過(guò)配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法平方根的意義:完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2.如果x2=a,那么x=用配方法解一元二次方程的方法的助手:第五十七頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六用配方法解一元二次方程

2x2-9x+8=0.1.化1:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1;3.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方;4.變形:方程左邊分解因式,右邊合并同類;5.開(kāi)方:兩邊開(kāi)平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:寫(xiě)出原方程的解.2.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;第五十八頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例題講解例6用配方法解下列方程

x2+6x-7=0第五十九頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六例題講解例7用配方法解下列方程2x2+8x-5=0第六十頁(yè)，共六十五頁(yè)，編輯于2023年，星期六四公式法一般地,對(duì)