平面與平面平行

8.5.3

平面與平面平行第八章立體幾何初步問(wèn)題1

兩個(gè)平面平行可以通過(guò)定義來(lái)判斷，即通過(guò)兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)而得到兩個(gè)平面平行．由于平面的無(wú)限延展，很難去判斷平面與平面是否有公共點(diǎn)，因此很難直接利用定義判斷．?dāng)?shù)學(xué)中的“定義”都是充要條件，類(lèi)似于研究直線(xiàn)與平面平行的判定那樣，平面與平面平行的判定，是否有更簡(jiǎn)便的方法？一、探究?jī)蓚€(gè)平面平行的判定定理問(wèn)題2

平面內(nèi)的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)多條，我們難以對(duì)所有直線(xiàn)逐一檢驗(yàn)，能否將“一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面”中的“任意一條直線(xiàn)”減少，得到更簡(jiǎn)便的方法？一、探究?jī)蓚€(gè)平面平行的判定定理追問(wèn)1

減少到一條可以嗎？為什么？在如圖所示的長(zhǎng)方體中，A1B1在平面A1B1BA內(nèi)，A1B1//平面ABCD，但平面A1B1BA與平面ABCD相交．追問(wèn)2

根據(jù)基本事實(shí)的推論2，3，兩條平行直線(xiàn)或兩條相交直線(xiàn)都可以確定一個(gè)平面．由此可以想到，由“一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行”和“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行”，能否判斷這兩個(gè)平面平行？用語(yǔ)言和符號(hào)表示你的結(jié)論．一、探究?jī)蓚€(gè)平面平行的判定定理觀(guān)察—探究如圖（1），a，b分別是矩形硬紙片的兩條對(duì)邊所在直線(xiàn)，它們都和桌面平行．請(qǐng)觀(guān)察硬紙片與桌面一定平行嗎？如圖（2），c，d分別是三角尺的兩條邊所在直線(xiàn)，它們都和桌面平行，請(qǐng)觀(guān)察這個(gè)三角尺與桌面平行嗎？你能從中總結(jié)出判定平面與平面平行的方法嗎？GGB動(dòng)畫(huà)素材演示一、探究?jī)蓚€(gè)平面平行的判定定理平面與平面平行的判定定理一、探究?jī)蓚€(gè)平面平行的判定定理圖形表示：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．αabPβ符號(hào)表示：線(xiàn)面平行面面平行轉(zhuǎn)化，a∥α，b∥α

β∥α．

為什么不能用“一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面”判斷兩個(gè)平面平行，而可以用“一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面”判斷兩個(gè)平面平行？聯(lián)想平面向量基本定理，你能對(duì)面面平行判定定理做出進(jìn)一步解釋嗎？

平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)代表兩個(gè)不共線(xiàn)向量，而平面內(nèi)的任意向量可以表示為它們的線(xiàn)性組合，從而平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)可以“代表”這個(gè)平面上的任意一條直線(xiàn)；而兩條平行直線(xiàn)所表示的向量是共線(xiàn)的，用它們不能“表示”這個(gè)平面上的任意一條直線(xiàn)．平面與平面平行的判定定理的深入理解一、探究?jī)蓚€(gè)平面平行的判定定理問(wèn)題3

在實(shí)際生活中，工人師傅將水平儀在桌面上交叉放置兩次，如果水平儀的氣泡兩次都在中央，就能判斷桌面是水平的，你能說(shuō)明這么做的道理嗎？二、應(yīng)用定理，熟練掌握例1

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1．求證：平面AB1D1//平面BC1D．

二、應(yīng)用定理，熟練掌握看到要證明的結(jié)論，你能想到用什么方法？平面AB1D1和平面BC1D哪個(gè)平面中的兩條相交直線(xiàn)平行另一個(gè)平面？又怎樣證明一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面呢？二、應(yīng)用定理，熟練掌握例1

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1．求證：平面AB1D1//平面BC1D．

證明：因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為正方體，∴．∴．∴四邊形D1C1BA為平行四邊形．∴D1A∥C1B．又

D1A平面BC1D，C1B平面BC1D，∴D1A∥平面BC1D．同理D1B1∥平面BC1D．又D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1//平面BC1D．

問(wèn)題4

下面我們研究平面與平面平行的性質(zhì)．類(lèi)比直線(xiàn)與平面平行的研究，已知兩個(gè)平面平行，我們可以得到哪些結(jié)論？三、探究并證明兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面平行，那么：（1）一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)必平行另一個(gè)平面；（2）一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，它們或者是異面直線(xiàn)，或者是平行直線(xiàn)．在分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線(xiàn)中，平行是一種特殊情況，什么時(shí)候這兩條直線(xiàn)平行呢？三、探究并證明兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理在如圖所示的長(zhǎng)方體中，平面A′C′與平面AC平行，在平面AC內(nèi)過(guò)點(diǎn)D有平行于直線(xiàn)B′D′的直線(xiàn)嗎？如果有，怎樣畫(huà)出這條直線(xiàn)？由直線(xiàn)B′D′和點(diǎn)D可以確定一個(gè)平面，這個(gè)平面也是平行直線(xiàn)DD′和BB′確定的平面，它與平面AC有唯一過(guò)點(diǎn)D的公共直線(xiàn)BD，直線(xiàn)BD與直線(xiàn)B′D′都在直線(xiàn)B′D′和點(diǎn)D確定平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以BD∥B′D′．圖形表示：兩個(gè)平面平行，如果一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線(xiàn)平行．符號(hào)表示：面面平行線(xiàn)性平行轉(zhuǎn)化你能證明該性質(zhì)定理嗎？三、探究并證明兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理平面與平面平行的判定定理α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b．

例2

求證：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段相等．四、應(yīng)用定理，熟練掌握如圖，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求證：AB＝CD．在本題條件下，要證明AB＝CD，你想到了什么？構(gòu)造平行四邊形．AB與CD是一個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊，那么另一組對(duì)邊怎么構(gòu)造呢？題目的條件如何使用？過(guò)平行線(xiàn)AB，CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD．例2

求證：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線(xiàn)段相等．四、應(yīng)用定理，熟練掌握如圖，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求證：AB＝CD．證明：過(guò)平行線(xiàn)AB，CD作平面γ，與平面α和β分別相交于AC和BD．∵α∥β，

∴BD∥AC．又AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴AB＝CD．五、鞏固練習(xí)1．在描述箭頭的括號(hào)處填上適當(dāng)?shù)脑~．2．教科書(shū)第142頁(yè)練習(xí)第1，2，3題．（1）平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理分別是什么？利用它們分別可以證明什么樣的命題？（2）在平面與平面平行的判定定理的探究中，為什么可以將“一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，則兩個(gè)平面平行”，轉(zhuǎn)化為“一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，則兩個(gè)平面平行”？（3）回顧直線(xiàn)與直線(xiàn)平行、直線(xiàn)與平面平行、平面與平面平行的學(xué)習(xí)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？六、歸納小結(jié)教科書(shū)第143頁(yè)練習(xí)第4題．教科書(shū)習(xí)題8.5第8題．七、布置作業(yè)目標(biāo)檢測(cè)1．如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)，R分別是棱PA，PB，PC，AB上的點(diǎn)，且平面DEF∥平面A