2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 7-4 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 學(xué)案

第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)【課標標準】1.從定義和基本事實出發(fā)，了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系，并加以證明.2.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題．必備知識·夯實雙基知識梳理1.直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條________直線垂直，那么該直線與此平面垂直_______________________________________________________性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線______________________________?a∥2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是____________，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面過另一個平面的______，那么這兩個平面垂直______________________?α⊥性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的______，那么這條直線與另一個平面垂直____________________________________________?[常用結(jié)論]1．若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線．2．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．5．兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．夯實雙基1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)已知直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.()(2)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．()(4)垂直于同一個平面的兩個平面平行．()2．(教材改編)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n3．(教材改編)在三棱錐P-ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．4．(易錯)“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直”是“直線與平面α垂直”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C.充要條件 D．既不充分也不必要條件5．(易錯)已知ABCD是邊長為a的正方形，點P在平面ABCD外，側(cè)棱PA＝a，PB＝PD＝2a，則該幾何體P-ABCD的5個面中，互相垂直的面有________對．關(guān)鍵能力·題型突破題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．(1)證明：CD⊥AE；(2)證明：PD⊥平面ABE.[聽課記錄]題后師說證明線面垂直的核心是證明線線垂直，而證明線線垂直則需要借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思路．鞏固訓(xùn)練1如圖，在四面體PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA.(1)求證：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G為垂足，求證：AG⊥BD.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2[2023·河南安陽期末]如圖，在正四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，點E，F(xiàn)分別為CD，CB中點．求證：(1)PA⊥EF；(2)平面PAD⊥平面PBC.[聽課記錄]題后師說(1)利用面面垂直的判定定理證明面面垂直的一般方法是先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線．若圖中存在這樣的直線，則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決，而作輔助線應(yīng)有理論根據(jù)并有利于證明．(2)證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現(xiàn)的．鞏固訓(xùn)練2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA＝PD＝AD＝2，∠BAD＝60°，Q為AD的中點．(1)求證：AD⊥平面PQB；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PM＝12PC，求四棱錐M-ABCD的體積題型三平行、垂直關(guān)系的綜合問題例3[2023·河北石家莊模擬]如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M為棱AC的中點，AB＝BC，AC＝2，AA1＝2.(1)求證：B1C∥平面A1BM；(2)求證：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在點N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此時BNBB1的值；如果不存在，[聽課記錄]題后師說1.對于三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．2．對于垂直與平行結(jié)合的問題，應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定定理的綜合應(yīng)用．3．對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證．鞏固訓(xùn)練3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，M為線段PC上的動點，N為線段BC的中點．(1)若M為線段PC的中點，證明：平面PBC⊥平面MND；(2)若PA∥平面MND，試確定點M的位置，并說明理由．第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)必備知識·夯實雙基知識梳理1．(1)垂線垂面(2)相交l⊥al⊥ba?αb?αa∩b＝O平行a⊥αb⊥α2．(1)直二面角(2)垂線l?βl⊥α交線α⊥βb?βα∩β＝ab⊥α夯實雙基1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．解析：對于A，m與l可能平行或異面，故A錯；對于B、D，m與n可能平行、相交或異面，故B、D錯，對于C，因為n⊥β，l?β，所以n⊥l，故C正確，故選C.答案：C3．解析：(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．(2)如圖2，延長AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G．∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．答案：(1)外(2)垂4．解析：根據(jù)直線垂直平面的定義，由“直線與平面α垂直”可推出“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”，反之不能由“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”推出“直線與平面α垂直”．故選B.答案：B5．解析：已知ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA＝a，PB＝PD＝2a，所以PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB＝A，所以PA⊥平面ABCD，因為PA?平面PAB，PA?平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，因為AB⊥AD，AB⊥PA，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，因為AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，同理可得BC⊥平面PAB，BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，因為AB∥CD，所以CD⊥平面PAD，CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD，故互相垂直的面有5對．答案：5關(guān)鍵能力·題型突破例1證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∵AE?平面PAC，故CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得PA＝AC，∵E是PC的中點，∴AE⊥PC，由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.鞏固訓(xùn)練1證明：(1)由AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，則AD⊥PB，又PB⊥PA，PA∩AD＝A，則PB⊥平面APD，(2)由(1)及PB?平面PBD，則平面PBD⊥平面APD，又平面PBD∩平面APD＝PD，AG⊥PD，AG?平面APD，所以AG⊥平面PBD，而BD?平面PBD.所以AG⊥BD.例2證明：(1)連接AC，BD交于點O，連接PO，在正四棱錐P-ABCD中，PO⊥平面ABCD，因為BD?平面ABCD，所以PO⊥BD，又AC⊥BD，PO∩AC＝O，PO，AC?平面PAO，所以BD⊥平面PAO，因為點E，F(xiàn)分別為CD，BC中點．所以EF∥BD，所以EF⊥平面PAO，又PA?平面PAO，所以PA⊥EF.(2)連接PF，取AD的中點G，連接PG，F(xiàn)G，在正四棱錐P-ABCD中，F(xiàn)是BC中點，所以PF⊥BC，又BC∥AD，所以PF⊥AD，因為在正四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱長為3，底面邊長為2，所以在△PBC和△PAD中，PF＝PG＝3-1＝2，又FG＝2，所以PF2＋PG2＝FG2，所以PF⊥PG，又PG∩AD＝G，PG，AD?平面PAD，所以PF⊥平面PAD，又PF?平面PBC，所以平面PAD⊥平面PBC.鞏固訓(xùn)練2解析：(1)證明：連接BD，∵PA＝PD＝AD＝2，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，又∵∠BAD＝60°，底面ABCD為菱形，∴△ABD是等邊三角形，∵Q為AD的中點，∴AD⊥BQ，∵PQ、BQ是平面PQB內(nèi)的相交直線，∴AD⊥平面PQB.(2)連接QC，作MH⊥QC于H，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，PQ?平面PAD，∴PQ⊥平面ABCD，又QC?平面ABCD，可得PQ⊥QC，∵平面PQC中，MH⊥QC且PQ⊥QC，∴PQ∥MH可得MH⊥平面ABCD，即MH就是四棱錐M-ABCD的高，∵PM＝12PC，可得MH＝12PQ＝12×3∴四棱錐M-ABCD的體積為VM-ABCD＝13×12AC×BD×MH＝16×2例3解析：(1)證明：連接AB1與A1B，兩線交于點O，連接OM，在△B1AC中M，O分別為AC，AB1的中點，所以O(shè)M∥B1C，又OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM.(2)證明：因為AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，所以AA1⊥BM.又M為棱AC的中點，AB＝BC，所以BM⊥AC.因為AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面ACC1A1，所以BM⊥平面ACC1A1，AC1?平面ACC1A1，所以BM⊥AC1.因為AC＝2，所以AM＝1.又AA1＝2，在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，所以∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，所以A1M⊥AC1，又BM∩A1M＝M，BM，A1M?平面A所以AC1⊥平面A1BM.(3)當點N為BB1的中點，即BNBB1＝12時，平面AC1N⊥平面AA1C證明如下：設(shè)AC1的中點為D，連接DM，DN，因為D，M分別為AC1，AC的中點，所以DM∥CC1且DM＝12CC1，又N為BB1的中點所以DM∥BN且DM＝BN，所以四邊形BNDM為平行四邊形，故BM∥DN，由(2)知：BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面ACC1A1，又DN?平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面ACC1A1.鞏固訓(xùn)練3解析：(1)證明：因為底面ABCD為正方形，PD＝AD，所以PD＝CD，BC⊥CD.因為M為線段PC中點，所以在平面PCD中，DM⊥PC.因為PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，所以PD⊥BC.又BC⊥CD，PD∩CD＝D，PD