平面向量數(shù)量積的含義

OBAθ向量的夾角復(fù)習(xí)回顧：已知兩個(gè)非零向量a和b,作OA=a,

OB=b，則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角。

當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；OAB

當(dāng)θ＝180°時(shí)，

a與b反向；OAB

當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱a與b垂直，記為a⊥b.BOAab注意:在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是同起點(diǎn)的2021/5/91練習(xí)：在中，找出下列向量的夾角：

ABC(1)(2)(3)2021/5/92

任意兩個(gè)向量都可以進(jìn)行加,減運(yùn)算,同時(shí)兩個(gè)向量的和與差仍是一個(gè)向量,并且向量的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律.由于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行乘法運(yùn)算,我們自然會(huì)提出,任意兩個(gè)向量是否也可以進(jìn)行乘法運(yùn)算呢？對(duì)此,我們從理論上進(jìn)行相應(yīng)分析.引入：2021/5/93Fs新課引入:

我們學(xué)過(guò)功的概念,即一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S(如圖)其中θ是F與S的夾角，那么力F所做的功W，可以用如下式子計(jì)算：2021/5/94平面向量的數(shù)量積2021/5/95定義規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0。a·b=

|a||b|cosθ

已知兩個(gè)非零向量a

與

b,它們的夾角為θ，我們把數(shù)量

|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作:a.b

注意：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量。2021/5/96

(2)兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由夾角決定；定義理解：

(1)a

·

b不能寫(xiě)成

a×b

,a×b

表示向量的另一種運(yùn)算．a(chǎn)·b=

|a||b|cosθ2021/5/97向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎裁磿r(shí)候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)a·b為零。2021/5/98你會(huì)變嗎？會(huì)用嗎？試試看2021/5/99OABab平面向量的數(shù)量積的幾何意義，過(guò)點(diǎn)B作垂直于直線OA，|b|cosθ叫向量b

在a方向上的投影.平面向量的數(shù)量積的幾何意義是:|b|cosθ垂足為，則等于的長(zhǎng)度與的乘積。2021/5/910平面向量的數(shù)量積的幾何意義OABabBOAabOABabθ為銳角時(shí)，|b|cosθ＞0θ為鈍角時(shí)，|b|cosθ＜0θ為直角時(shí)，|b|cosθ=0θ

為

時(shí),它是|b|0。OABbaOABba

θ為時(shí),它是-|b|180。2021/5/911重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB12021/5/912我真的理解了嗎?真假假假⑤⑥真假假真⑧⑦若，，則2021/5/9132021/5/9142021/5/915進(jìn)行向量數(shù)量積計(jì)算時(shí),既要考慮向量的模,又要根據(jù)兩個(gè)向量方向確定其夾角2021/5/916(1)已知，則向量在向量

上的投影為

。(2)已知△ABC中,當(dāng)時(shí),ΔABC是

什么三角形？4鈍角三角形(3)已知平面上三點(diǎn)A,B,C滿足

則

的值等于

。?25練習(xí)一：2021/5/9173練習(xí)一：A2021/5/9184.數(shù)量積的運(yùn)算律：⑴交換律:⑵數(shù)乘的結(jié)合律:⑶分配律:注意:數(shù)量積不滿足結(jié)合律2021/5/919(3)

12ABOA1B1C

證明:在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作,，(即)在方向上的投影等于在方向上的投影的和，即即2021/5/9202021/5/921例3.-72600變式訓(xùn)練2021/5/922例4.注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是否為零,是判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直的重要方法之一.2021/5/9232021/5/9242021/5/925練習(xí)二：A、梯形B、菱形C、矩形D、正方形(1)在四邊形ABCD

中,AB

·

BC=0,且AB=DC則四邊形ABCD是（）CC2021/5/926練習(xí)二：等邊三角形D(3)在中,已知|AB|=|AC|=1,且則這個(gè)三角形的形狀是AB

·

AC=,2021/5/927()CA.重心、外心、垂心B.重心、外心、內(nèi)心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心思考：2021/5/928重要結(jié)論：2021/5/9