高數(shù)下冊數(shù)十十一章2節(jié)

若L

x

=j(t)：

y

=y

(t)(M

0

?t0

),則(''00

0),y

(t

)

.t

=

j

(tL在M

處的切向量1、平面光滑曲線上某點處的切向量：00

z

=

w

(t)若G：

y

=y

(t)(M

?t

),則('''0000(t

)

.y

(t

),wG在M

處的切向量t

=

j

(t

),2、空間光滑曲線上某點處的切向量：

x

=

j(t)(1)若t

=

(a,b),則其單位化向量為：3、非零向量的單位化向量：(2)若t

=

(a,b,c),則其單位化向量為：1t(a,b).|

t

|a2

+b21

e

=

t

=1t(a,b,

c).|

t

|a2

+b2

+

c21

e

=

t

=11.2

對坐標(biāo)的曲線積分W

=lim[P(xi

,hi

)Dxi

+Q(xi

,hi

)Dyi

]lfi

0

i=1(第二類曲線積分)一、變力F(x,

y)沿xoy

面內(nèi)有向光滑曲線L所作的功W：P191若記變力F(x,

y)=P(x,

y)i+Q(x,

y)j,L上的有向弧△s在x,

y軸的投影為△x,

△y,則經(jīng)分割取點、近似作積、求和、取極限可得：n二、定義：設(shè)P(x,y),Q(x,y)在xoy面內(nèi)的有向光滑曲線LAfi

B上有界,記L上的有向弧Ds在x,y軸上的投影分別為Dx,Dy,若lim

P(xi

,hi)Dxi

存在為A1

,lfi

0

i=1nlimQ(xi

,hi

)Dyi存在為A2

,lfi

0

i=1經(jīng)分割取點、作積、求和、取極限所得n1L

L

P(x,

y)dx

=

Pdx(1)記A

=A2

=

L

Q(x,

y)dy

=

L

Qdy(2)Pdx+Qdy=

Pdx+

Qdy(*)L

L

L則：(1)(2)(*)分別稱為P(x,y)在L上對坐標(biāo)x的曲線積分；Q(x,y)在L上對坐標(biāo)y的曲線積分；P(x,y),Q(x,y)在L上對坐標(biāo)的曲線積分.1、注：(1)只有(1)(2)均存在時才有(*).L(2)P,Q在L上ct

Pdx

+Qdy存在.(條件充分不必要)(3)(*)由被積函數(shù)P,Q和積分曲線L共同確定.函數(shù)P,Q中(x,y)必滿足L：點(x,y)?

L.L

Pdx

+Qdy的物理意義：P191變力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j沿xoy

面內(nèi)有向光滑曲線L所作的功W.2、常用性質(zhì)：LAfi

BBfi

APdx

+

Qdy

=

-Pdx

+

Qdy.(1)L(2)若LAfi

B

=(L1

+L2

)Afi

B

,且L1

L2

{(x0

,

y0

)},則：

Pdx

+Qdy

=

Pdx

+Qdy+

Pdx

+QdyL

L1

L2(注意：積分曲線分段光滑時常用)且有相應(yīng)的注(1--5)及常用性質(zhì)(1,2).G類似地可定義P(x,

y,

z),

Q(x,

y,

z),

R(x,

y,

z)在空間有向光滑曲線G上對坐標(biāo)的曲線積分：

Pdx

+Qdy+RdzAfi

B

x

=j(t)

L：A

fi

BTh：若L

：,則y

=y

(t)

t：a

fi

b

三、計算法(P194)：化為定積分(變量參數(shù)化,起參作下限)L

P(x,

y)dx+Q(x,

y)dy''(t),(t),bay

(t)}dt={P[j

y

(t)]j

(t)

+Q[j

y

(t)]Afi

Bx

=

x

L：A

fi

B1、若L

：,則y

=y

(x)

x：a

fi

b

L

P(x,

y)dx

+Q(x,

y)dyba=(x)]

+

Q[x,'y

(x)}dxy

(x)]{P[x,yL

P(x,

y)dx

+Q(x,

y)dy{}'dcP[j(y),

y]j(y),

y]

dy=j

(y)

+Q[Afi

B

2、若L

：x

=j(y)

L：A

fi

B,則y

=

y

y：c

fi

d

x

=j(t)AfiB

z

=w

(t)

3、若G：y

=y

(t)

G：A

fi

B,則

t：a

fi

b

其中[ ]

=

[j

(t

),y

(t

),w

(t

)]G

P(x,

y,

z)dx

+Q(x,

y,

z)dy

+

R(x,

y,

z)dz{

}'''ba=P[

]j

(t)

+

Q[

]y

(t)

+

R[

]w

(t)

dtG：從A(2,3,4)到B(1,1,1)的線段例1、求I

=

xdx

+ydy

+zdzGAfi

B=

=tx

-1

y

-1

z

-1

2-1

3-1 4-1解：G

：

=Afi

B

即G

：

y

=

2t

+1

z

=

3t

+1

t：1fi

0

x

=t

+1

x：2

fi

1

x

=

t

+1

G：AfiB

G：AfiB

dx

=

dt,

dy

=

2dt,

dz

=3dt且P

=x

=t

+1,Q

=y

=2t

+1,R

=z

=3t

+1G\

I

=

xdx+

ydy+

zdz=-13=01(14t

+

6)dt=011)]dt[(t

+1)

+2(2t

+1)

+3(3t

+L例2(1)求y2dx

其中L：原點為心,a為半徑逆時針繞行的上半圓周上從A(a,0)到B(-a,0)的弧.y

dx

其中L：L2例2(2)求從A(a,0)沿x軸到B(-a,0)的線段L例2(1)求y2dx

其中L：原點為心,a為半徑逆時針繞行的上半圓周上從A(a,0)到B(-a,0)的弧.Afi

Bx

=acosqy

=asinq解：L

：

q：0

fi

p

L：A

fi

Bdx

=-asinqdq

且P

=y2

=a2

sin2

qp

y

dx=\L

02

22a

sin

q

(-asinq)dq34a3=-pL

y

dx=\0222-asinq)dqa

sin

q

(343=a3(cosq-1

cos3q)

p3

0=-

ap023)d

cosq(1-cosq=a

x：a

fi

-a

L：Afi

B

2\

y

dx=

0dx=0-aL

a

dx

=dx且P

=y2

=0Afi

Bx

=

xy

=0解：L

：y

dx

其中L：L2例2(2)求從A(a,0)沿x軸到B(-a,0)的線段練習(xí)1：求L

x dy

+

2

xydx

,

其中L：2(1)y

=x2上從O(0,0)到B(1,1)的?。?2)x

=y

2上從O(0,0)到B(1,1)的??；(3)從O(0,0)沿x軸到A(1,0)再沿y軸正向到B(1,1)的折線段.注：結(jié)果均為1.由例2及練習(xí)1有：兩個對坐標(biāo)的曲線積分,其被積函數(shù)相同,起點和終點也相同,沿不同路徑得出的積分值可以不相等,也可以相等.L(

y2

-

2xy)dy

-(2xy

-

x2

)dx例3、求I

=L：y

=x2上從A(-1,1)到B(1,1)的弧.2

y

=

x

x

=

x

L：Afi

B解：LAfi

B：

x：-1fi

1

Q

=

y2

-2xy=

x4

-2x3P

=

x2

-2xy=

x2

-2x3

dy

=2xdx

且123-1\

I

=[(x

-2x3)

+2x(x4

-2x

)]dx1415=

-=1-132-2x

)]dx[(x

-2x3)

+2x(x4=1-12345(2x

-4x

-2x

+x

)dx15==

-141024-4x

+

x

)dx=

2

(22L\

I

=(

y

-

2xy)dy-(2xy-

x

)dx(x

+

y)dx

-(x

-

y)dy

x2

+

y

2ex2、求I

=L其中L：x2

+

y

2

=

a2沿逆時針繞一周解：L：x2

+y2

=a2

y

=

asinq即L：x

=a

cosq

(q：0

fi

2p)[a(cos2p0

1

a2-a(cosq

-sinq)

(acosq)]dq)

(-asinq)q

+sinq\

I

=2p0dq

=-2p==-dx

=

-asinqdqx

-

y

=a(cosq

-sinq)x2

+

y2

=a2

dy

=a

cosqdq

且x

+y

=a(cosq

+sinq)L

Pdx

+

Qdy

=L

(Pcosa

+Qcosb)dsAfi

B

x

=

j(t)y

=y

(t)1、若L

：t：a

fi

b

L：A

fi

B'

't

=(j

(t),y

(t)

的單位化向量,四、兩類曲線積分的聯(lián)系：t其中,e

=

(cosa,cos

b)是L的切向量<稱為有向曲線L上點(x,

y)處的有向單位切向量.,則：t：a

fi

b

L：A

fi

B

,

dx

dy

dt

dt

有：t

=Afi

B

x

=

j(t)y

=y

(t)若L

：><則令t

=-t,得

L：A

fi

B

t：-a

fi

-bAfi

B

x

=

j(-t)y

=y

(-t)L

：t

e

=

(cosa,cos

b).GG=(Pcosg)dsa

+Qcosb

+RcosAfi

B

x=

j(t)Pdx

+Qdy

+

Rdz2、若G

z

=

w

(t)

：

y

=y

(t)

G：A

fi

B

(''

'y

(t),w

(t)t

=

j

(t),的單位化向量,t其中,e

=

(cosa,cos

b,cosg)是G的切向量t：a

fi<

b稱為有向曲線G上點(x,

y,z)處的有向單位切向量.

,則：,

,dt

dt

dt

dx

dy

dz

有：t

=t：a

fi

bG：A

fi

B

>Afi

BG

：

x

=j(-t)z

=w(-t)y

=y

(-t)

L：A

fi

B

t：-a

fi<

-b

x

=j(t)Afi

B

z

=w(t)若G

：y

=y

(t)則令t

=-t,得t

e

=

(cosa,cos

b,cosg).例4(1)把曲線積分I

=L

Pdx

+Qdy化成對弧長的曲線積分,其中L：y

=x2上從O(0,0)到B(1,1)的弧.例4(2)把曲線積分I

=

G

Pdx

+

Qdy

+

Rdz化成對弧長的曲線積分,其中G：x

=x,y

=x

2

,z

=x3上x：0

fi

1的弧.例4(1)把曲線積分I

=L

Pdx

+Qdy化成對弧長的曲線積分,其中L：y

=x2上從O(0,0)到B(1,1)的弧.2Ofi

By

=

x

x

=

x

L：O

fi

B

解：

L

：

x：0

fi

1\

t

=

(1,2x)a,cosb)t

e

=

(cos1(1,