高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9篇2節(jié)用樣本估計總體課件理

第2節(jié) 用樣本估計總體最新考綱了解分布的意義和作用,會列頻率分布表,會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖,理解它們各自的特點.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用,會計算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差),并給出合理的解釋.會用樣本的頻率分布估計總體分布,會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征,理解用樣本估計總體的思想.會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.編寫意圖

用樣本估計總體是歷年高考命題的重點,試題多以頻率分布直方圖中相關(guān)量的求解,莖葉圖中數(shù)據(jù)的數(shù)字特征為主,以選擇題與填空題為主,在解答題中作為概率題的背景,屬中低檔題目.本節(jié)圍繞高考命題的重點設(shè)計了三個考點:頻率分布直方圖、莖葉圖以及數(shù)字特征的求解與應(yīng)用,精心選編例題和相應(yīng)的練習(xí),并在該節(jié)中設(shè)置了對應(yīng)的規(guī)范答題欄目,進一步規(guī)范解題步驟,起到示范作用.考點突破規(guī)范答題夯基固本夯基固本抓主干

固雙基知識梳理1.作頻率分布直方圖的步驟質(zhì)疑探究1:頻率分布直方圖中縱軸表示什么含義?小長方形的面積表示什么?各小長方形面積之和等于多少?組距(提示:

頻率

,頻率,1)2.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)頻率分布折線圖連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點

,就得頻率分布折線圖.(2)總體密度曲線隨著樣本容量的增加,作圖時所分的組數(shù)增加,

組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,即總體密度曲線.3.莖葉圖定義是統(tǒng)計中用來表示數(shù)據(jù)的一種圖,莖是指中間的一列數(shù),葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)畫法對于樣本數(shù)據(jù)較少,且分布較為集中的一組數(shù)據(jù):若數(shù)據(jù)是兩位整數(shù),則將十位數(shù)字作莖,個位數(shù)字作葉;若數(shù)據(jù)是三位整數(shù),則將百位、十位數(shù)字作莖,個位數(shù)字作葉.樣本數(shù)據(jù)為小數(shù)時做類似處理.對于樣本數(shù)據(jù)較少,且分布較為集中的兩組數(shù)據(jù),關(guān)鍵是找到兩組數(shù)據(jù)共有的莖優(yōu)缺點用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的優(yōu)點是:(1)所有的信息都可以從莖葉圖中得到;(2)便于記錄和讀取,能夠展示數(shù)據(jù)的

分布情況.缺點是:當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時,莖葉圖就顯得不太方便4.樣本的數(shù)字特征見附表質(zhì)疑探究2:怎樣利用頻率分布直方圖求中位數(shù)與平均數(shù)?

(提示:在頻率分布直方圖中:

(1)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的;(2)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和)基礎(chǔ)自測1.(2014黑龍江部分重點中學(xué)聯(lián)考)某地一種植物一年生長的高度如下表:高度(cm)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)棵數(shù)2030804030則該植物一年生長在[30,40)內(nèi)的頻率是()(A)0.80

(B)0.65

(C)0.40

(D)0.25200解析:由題表知[30,40)內(nèi)的頻數(shù)是80,而總的頻數(shù)為

20+30+80+40+30=200,所求頻率為

80

=0.40.C2.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3

的平均數(shù)為a,x4,x5,x6,…,x10

的平均數(shù)為

b,則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(

)(A)

a

+

b

(B)

3a

+

7b2

10(C)

7a

+

3b

(D)

a

+

b10

10解析:由平均數(shù)的定義知,x1+x2+x3=3a,x4+x5+x6+…+x10=7b;10所以樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3a

+7b

.B3.(2014長葛三模)某班的全體學(xué)生參加消防安全知識競賽,成績的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為:

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是

.0.3解析:成績不低于60的頻率為(0.020+0.015)×20=0.7,所以成績低于60分的頻率為1-0.7=0.3,故該班的學(xué)生人數(shù)為

15

=50.答案:504.如圖是某學(xué)校一名籃球運動員在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖,則該運動員在這五場比賽中得分的方差為

.1解析:

x

=

(8+9+10+13+15)=11,521s

=

×(9+4+1+4+16)=6.8.5答案:6.8考點突破剖典例

找規(guī)律考點一頻率分布直方圖的畫法及應(yīng)用【例1】某市某年4月1日～4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下

(主要污染物為可吸入顆粒):

61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.(1)作出頻率分布表;(2)作出頻率分布直方圖;(3)根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn),污染指數(shù)在0～50之間時,空氣質(zhì)量為優(yōu);在51～100之間時,為良;在101～150之間時,為輕微污染;在151～200之間時,為輕度污染.請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn),對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價.解:(1)頻率分布表.分組頻數(shù)頻率[41,51)2115[51,61)1130[61,71)4215[71,81)615[81,91)1013[91,101)516[101,111)2115(2)頻率分布直方圖.(3)答對下述兩條中的一條即可:①該市一個月中空氣污染指數(shù)有

2

天處于優(yōu)的水平,占當(dāng)月天數(shù)的

1

.有

2615天處于良的水平,占當(dāng)月天數(shù)的13

.處于優(yōu)或良的天數(shù)共有28天,占當(dāng)月天1515數(shù)的14

.說明該市空氣質(zhì)量基本良好.15②輕微污染有

2

天,占當(dāng)月天數(shù)的

1

.污染指數(shù)在

80

以上的接近輕微污染的30天數(shù)有15天,加上處于輕微污染的天數(shù),共有17天,占當(dāng)月天數(shù)的17

,超過50%.說明該市空氣質(zhì)量有待進一步改善.反思歸納

頻率分布直方圖直觀形象地表示了樣本的頻率分布,利用頻率分布直方圖可以求出樣本數(shù)據(jù)在各個組的頻率分布.根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本(或者總體)的平均值時,一般是采取組中值乘以各組的頻率的方法.【即時訓(xùn)練】(2014太原五中模擬)某學(xué)生社團在對本校學(xué)生學(xué)習(xí)方法開展問卷調(diào)查的過程中發(fā)現(xiàn),在回收上來的1000份有效問卷中,同學(xué)們背英語單詞的時間安排共有兩種:白天背和晚上臨睡前背.為研究背單詞時間安排對記憶效果的影響,該社團以5%的比例對這1000名學(xué)生按時間安排類型進行分層抽樣,并完成一項試驗,試驗方法是,使兩組學(xué)生記憶40個無意義音節(jié)(如XIQ、GEH),均要求在剛能全部

記清時就停止識記,并在8小時后進行記憶測驗.不同的是,甲組同學(xué)識記結(jié)束后一直不睡覺,8小時后測驗;乙組同學(xué)識記停止后立刻睡

覺,8小時后叫醒測驗.兩組同學(xué)識記停止8小時后的準(zhǔn)確回憶(保持)情況如圖(區(qū)間含左端點而不含右端點)(1)估計1000名被調(diào)查的學(xué)生中識記停止后8小時40個音節(jié)的保持率大于等于60%的人數(shù);

(2)從本次實驗的結(jié)果來看,上述兩種時間安排方法中哪種方法背英語單詞記憶效果更好?計算并說明理由.解:(1)∵1000×5%=50,由題圖甲知,甲組有4+10+8+4+2+1+1=30(人),∴乙組有20人.又∵40×60%=24,∴識記停止8小時后40個音節(jié)的保持率大于等于60%的在甲組中有1人,乙組有(0.0625+0.0375)×4×20=8(人)∴(1+8)÷5%=180,即估計1000名被調(diào)查的學(xué)生中識記停止8小時后40個音節(jié)的保持率大于等于60%的人數(shù)為180人.(2)甲組學(xué)生準(zhǔn)確回憶音節(jié)數(shù)共有:

2×4+6×10+10×8+14×4+18×2+22×1+26×1=288(個)故甲組學(xué)生的平均保持率為1

×

288

=

140

30

40×9.6=0.24.乙組學(xué)生準(zhǔn)確回憶音節(jié)數(shù)共有:

(6×0.0125+10×0.0125+14×0.025+18×0.025+22×0.075+26×0.0625+30×0.0375)×4×20=432(個),故乙組學(xué)生平均保持率為1

×

432

=

140

20

40×21.6=0.54>0.24,所以臨睡前背單詞記憶效果更好.【例2】(2014高考廣東卷)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:考點二莖葉圖的畫法及應(yīng)用(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差;

(2)以十位數(shù)為莖,個位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;

(3)求這20名工人年齡的方差.解:(1)由題可知,這20名工人年齡的眾數(shù)是30,極差是40-19=21.(2)這20名工人年齡的莖葉圖如圖所示.(3)這20名工人年齡的平均數(shù)為x

=

1

(19+3×28+3×29+5×30+4×31+3×32+40)=30,20這20名工人年齡的方差為202120ii

=1s2=

(x

-

x)

=20=112

+

6

·

22

+

7

·12

+

5

·

02

+102

25220=12.6.反思歸(納1)由于莖葉圖完全反映了所有的原始數(shù)據(jù),解決由莖葉圖給出的統(tǒng)計圖表問題時,要充分使用這個圖表提供的數(shù)據(jù)進行相關(guān)的計算或者是對某些問題作出判斷.

(2)莖葉圖不能直接反映總體的分布情況,這就需要通過莖葉圖數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,進一步估計總體情況.解析:由莖葉圖知x甲=72

+78

+79

+85

+

86

+92

=82.6x乙=78

+86

+88

+88

+91

+93

≈87.33.6所以x甲<x乙,又由乙的莖集中在8,而甲較分散,即乙比甲成績穩(wěn)定.故選D.【例3】對劃艇運動員甲、乙二人在相同的條件下進行了6次測試,測得他們最大速度的數(shù)據(jù)如下:甲:27,38,30,37,35,31;乙:33,29,38,34,28,36.根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.考點三用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征解:x甲=16(27+38+30+37+35+31)=33,x乙=1

(33+29+38+34+28+36)=33,6s2甲=

1

[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]=

1

×94=15

2

,6

6

3s2乙=

1

[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]=

1

×76=12

2

.6

6

32甲

乙∴

x甲

=

x乙

,

s

>

s2

.由此可以說明,甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲更穩(wěn)定,故乙比甲更優(yōu)秀.反思歸(1納)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平;標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定.

(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.【即時訓(xùn)練】(1)甲、乙兩名同學(xué)在

5

次體育測試中的成績統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示,

x甲

,

x乙

分別表示甲、乙兩人的平均成績,則下列結(jié)論正確的是(

)成績甲7877728692乙7882889195x甲<x乙,乙比甲成績穩(wěn)定x甲>x乙,甲比乙成績穩(wěn)定x甲>x乙,乙比甲成績穩(wěn)定x甲<x乙,甲比乙成績穩(wěn)定(2)一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都乘以

2,加上

5

以后,得一組新數(shù)據(jù),若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

10,方差為

4,則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為(

)(A)5,4(B)

5

,4

(C)5,1

(D)

5

,12

2解析:(1)x甲=78

+77

+72

+86

+92

=81,5x乙=78

+82

+88

+91

+95

=86.8,5∴x甲<x乙.從數(shù)據(jù)中可以看出,乙同學(xué)的成績更集中于平均值附近,這說明乙比甲更穩(wěn)定.故選A.(2)設(shè)原數(shù)據(jù)平均數(shù)為x

,方差為s2,則2

x

+5=10,4s2=4,所以x

=5

,s2=1.故選D.2規(guī)范答題得高分

有依據(jù)統(tǒng)計圖表的綜合問題【典例】(12分)(2014高考新課標(biāo)全國卷Ⅰ)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合

“質(zhì)量指標(biāo)值不低于