一副三角板擺放旋轉(zhuǎn)等問題

一副三角板擺放、旋轉(zhuǎn)等問題例1.（2004年福建南平）如圖1,將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合后重疊在一起，如果Z1=40。，那么Z2=―。同樣問題改變?cè)O(shè)問就是（山西臨汾）中考題：若ZAOD=145°，則ZBOC=。例2.（廣東梅州）如圖2,將一副三角板重疊在一起，使直角頂點(diǎn)重合于D點(diǎn)，則ZAOB+ZDOC=例3.（山東威海）如圖3,將一副三角尺如圖放置，已知AE〃BC,則匕AFD的度數(shù)是.例4.（2008揚(yáng)州）一副三角板如圖4所示疊放在一起，則圖中Na的度數(shù)是.觀察N觀察Na與Z1易得所求問題相同。圖4’是2010河南中考題例5.（2007浙江衢州）一副三角板按圖5所示疊放在一起，若固定^AOB，將△ACD繞著公共頂點(diǎn)A，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度（0°<a<180°），當(dāng)^ACD的一邊與^AOB的某一邊平行時(shí)，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角a的值是 。例6.（2006安徽）取一副三角板圖6（1）拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點(diǎn)A依順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)大小為a的角（0°<a<45°）等到左ABC’，如圖6（2）所示。試問（1）當(dāng)a為多少度時(shí)，能使得圖6（2）中的AB〃DC?（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖6（3）位置時(shí)，此時(shí)a又為多少度？圖中你能找出哪幾對(duì)相似三角形，并求出其中一對(duì)的相似比；（3）連接BD，當(dāng)0°<a<45。時(shí)，探尋NDBC’+NCAC’+NBDC值的大小變化情況，并給出你的證明。例7（上海）將兩塊三角板如圖7放置，其中NC=NEDB=90°,NA=45°,NE=30°,AB=DE=6,求重疊部分四邊形DBCF的面積。如圖7',已知AB=14cm，求陰影部分面積（2010吉林）例8.（湖北荊門）將一副三角尺如圖8擺放在一起，連接AD,試求ZADB的正切值。再將三角板DEF繞，CE（1再將三角板DEF繞，CE（1） 如圖9（2），當(dāng)一；■EACE（2） 如圖9（3），當(dāng)；y=2時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，EA=1時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系并給出證明。并說明理由。例9.（2008徐州）如圖9（1），一副三角板滿足AB=BC,AC=DE，操作：將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上CE⑶根據(jù)你對(duì)⑴⑵的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)瓦5時(shí)，Ep與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式其中m的取值范圍是 .（直接寫出結(jié)論，不必證明）探究2：如圖9（3），若AC=30cm，連接？。，設(shè)左EPQ的面積為S（cm2），在旋轉(zhuǎn)過程中：（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說明理由。（2） 隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng)AEPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化？求出相應(yīng)S值的取值范圍。

例10.(2007遼寧十二市)如圖10,小穎利用一個(gè)銳角是30°的三角形測(cè)量一棵樹的高度，已知她與樹之間的水平距離BE為5m,AB為1.5m(即小穎的眼睛距地面的距離)，那么這課樹的高是 。例11.(2008甘肅蘭州)如圖11,已知EF是。O的直徑，把ZA為60°的直角三角板ABC的一條直角邊放在直線EF上，斜邊AB與。O交于點(diǎn)P,點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，將三角板ABC沿OE方向平移，使得點(diǎn)B與點(diǎn)E重合為止，設(shè)ZPOF=x°，則x的取值范圍是 。例12.(2008遵義)如圖12，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中點(diǎn)，一塊三角板的直角頂點(diǎn)與E點(diǎn)重合，將三角板繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角形的兩直角邊與AB、BC分別相交于點(diǎn)M、N時(shí)，觀察或測(cè)量BM與CN的長度，你能得到什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論。圖13(3)結(jié)論。圖13(3)例13.(2007河北)在^ABC中，AB=AC，CG±BA交BA的延長線于點(diǎn)G，一等腰直角三角尺按如圖13(1)所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊也恰好經(jīng)過點(diǎn)B。在圖13(1)中請(qǐng)你通過觀察，測(cè)量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖13(2)所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DEXBA于點(diǎn)E。此時(shí)請(qǐng)你再通過觀察測(cè)量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；當(dāng)三角尺在圖13(2)的基礎(chǔ)上沿AC方向平移到圖13(3)所示位置(點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合)時(shí)，圖13(2)中的猜想是否仍然成立？(不用說明理由)例14.(吉林長春)用兩塊相同的含30°角的三角尺如圖14放置，若AD=^.6，求三角尺各邊的長。

例15.(山東棗莊)如圖15,兩個(gè)全等的含30°、60°的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME,MC。試判斷AEMC的形狀，并說明理由。例16.(2008湖北荊門)將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖16(1)擺放在一起，它們的較短直角邊為3。將AECD沿直線l向左平移到圖16(2)的位置，使E點(diǎn)落在AB上，則CC=;將AECD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖16(3)的位置，使點(diǎn)E落在AB上，則△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為—;將左ECD沿直線AC翻折到圖16(4)的位置，ED'與AB相交于點(diǎn)F，求證：AF=FD‘例17.(2006湖南常德)把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中ZABC=ZDEF=90°，ZC=ZF=45°，AB=DE=4。把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交與點(diǎn)Q。如圖17(1)，當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APDs^CDQ。此時(shí)，AP?CQ=。將三角板DEF由圖17(1)所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a，其中0°<a<90°，問AP-CQ的值是否改變？說明你的理由。在(2)的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

圖17(2)圖17(2)例18.(2008山東威海)(1)把兩個(gè)含有45°角的直角三角板如圖18(1)放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE，AD，AD的延長線交BE于點(diǎn)F。求證:AFXBEo(2)把兩個(gè)含有30°角的直角三角板如圖18(2)放置，點(diǎn)D在BC上，連結(jié)BE,AD,AD的延長線交BE于點(diǎn)F。問AF與BE是否