湖北省荊州市馬東中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

湖北省荊州市馬東中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知,則（

）A.

B.

C.

D.以上都有可能參考答案：B略2.定義域?yàn)閇a,b]的函數(shù)的圖像上兩點(diǎn)，是圖像上任意一點(diǎn)，其中，已知向量，若不等式對(duì)任意的恒成立，則稱函數(shù)在上的“階線性近式”，若函數(shù)在上“階線性近似”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：C3.已知，，且，則的最大值是A.

B.

C.

D.參考答案：B因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，所以選B.4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是等邊三角形，且該幾何體的四個(gè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，則第五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能為

A．（1，1，1）

B．

C．

D．參考答案：C略5.一橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在x軸上，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，線段PF1與y軸的交點(diǎn)M是該線段的中點(diǎn)，若|PF2|=|MF2|，則橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】確定PF2⊥F1F2，∠P=60°，可得|PF1|=，|PF2|=，利用橢圓的定義，可得2a=2c，即可求出橢圓的離心率．【解答】解：由題意，PF2⊥F1F2，∵線段PF1與y軸的交點(diǎn)M是該線段的中點(diǎn)，|PF2|=|MF2|，∴∠P=60°，∴|PF1|=，|PF2|=，∴2a=2c，∴e==．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的離心率，考查橢圓定義的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．6.從5男4女中選4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分別到四個(gè)不同的工廠調(diào)查，不同的分派方法有

（A）100種

（B）400種

（C）480種

（D）2400種

參考答案：D略7.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．(－8，2)

B．(－∞,8)∪(2，+∞)

C.(－2，8)

D．(－∞,－2)∪(8，+∞)參考答案：C8.設(shè)復(fù)數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則＋z2＝()A．－1－i

B．－1＋i

C．1－i

D．1＋i參考答案：D略9.下表是某學(xué)校學(xué)生公寓樓～月份用水量（單位：噸）的一組數(shù)據(jù)：月份用水量由散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，則的值為 A．

B.

C．

D．參考答案：D10.為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像

（

）A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位

D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，且，若，，則的取值范圍為

.參考答案：12.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為

．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)等差中項(xiàng)可知4S2=S1+3S3，利用等比數(shù)列的求和公式用a1和q分別表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案為13.已知的展開式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a的值為．參考答案：【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理．【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3求出展開式中x3的系數(shù)，列出方程解得a．【解答】解：的展開式的通項(xiàng)為=令解得r=8，∴展開式中x3的系數(shù)為9a，∵展開式中x3的系數(shù)為，∴9a=解得a=，故答案為：．14.古代數(shù)學(xué)家楊輝在沈括的隙積術(shù)的基礎(chǔ)上想到：若由大小相等的圓球垛成類似于正四棱臺(tái)的方垛，上底由a×a個(gè)球組成，以下各層的長(zhǎng)、寬依次各增加過一個(gè)球，共有n層，最下層（即下底）由b×b個(gè)球組成，楊輝給出求方垛中圓球總數(shù)的公式如下：S=（a2+b2+ab+），根據(jù)以上材料，我們可得12+22+…+n2=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】取a=1，b=n，代入公式S=（a2+b2+ab+），即可得出．【解答】解：取a=1，b=n，則可得12+22+…+n2=×=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了楊輝求方垛中圓球總數(shù)的公式、數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15.已知圓C1：x2+y2=4和圓C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，若點(diǎn)P（a，b）（a＞0，b＞0）在兩圓的公共弦上，則的最小值為

．參考答案：8【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】求出兩圓的公共弦，再利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，兩圓的方程相減，可得x+y=2，∵點(diǎn)P（a，b）（a＞0，b＞0）在兩圓的公共弦上，∴a+b=2，∴=（）（a+b）=（10++）=8，當(dāng)且僅當(dāng)=，即b=3a時(shí)，取等號(hào)，的最小值為8，故答案為8．16.若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。參考答案：17.已知向，∥，則x=

。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】平行向量與共線向量因?yàn)?，∥，所以，解得，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】用兩向量共線坐標(biāo)形式的充要條件公式即可．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．參考答案：(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)見解析.【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個(gè)半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向?yàn)閥軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知：，由可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，由可得，設(shè)平面AEF的法向量為：，則，據(jù)此可得平面AEF的一個(gè)法向量為：，很明顯平面AEP的一個(gè)法向量為，，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個(gè)法向量為：，其且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).

19.（10分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=1，直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）．（1）求直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C'，設(shè)曲線C'上任一點(diǎn)為M（x，y），求x+y的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；平面直角坐標(biāo)軸中的伸縮變換．【分析】（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求直線l與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求出橢圓的參數(shù)方程為，即可求的最大值．【解答】解：（1）直線l的方程為：曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2=1（2）∵，∴，代入C得C'：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)，θ∈R）∴=，∴的最大值為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．20.選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）若對(duì)任意，都存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，由得，，解得；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，由得，，解得．所以的解集為．（2）因?yàn)閷?duì)任意，都存在，使得不等式成立，所以．因?yàn)椋?，且?/p>

①當(dāng)時(shí)，①式等號(hào)成立，即．又因?yàn)椋?/p>

②當(dāng)時(shí)，②式等號(hào)成立，即．所以，整理得，，解得或，即的取值范圍為．

21.如圖，橢圓的離心率為，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為k的直線l過點(diǎn)，且與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，B為橢圓E的下頂點(diǎn)，求證：對(duì)于任意的k，直線BC，BD的斜率之積為定值．參考答案：（1）