第一章解直角三角形11銳角三角函數(shù)

九年級下冊第一章《解直角三角形》α=30O40米1.7米ECDAB情景引入為了測量一座古塔的高，在塔前方40m處，用測角器測得塔的仰角為300，測角器高1.7m，求此塔的高；α=50O

19米1.7米ECDAB情景引入為了測量一座古塔的高，在塔前方19m處，用測角器測得塔的仰角為500，測角器高1.7m，求此塔的高；小紅出發(fā)地小強出發(fā)地情景引入30°BD西坡東坡小紅A小強自主探索C小紅在上山過程中，下列那些量是變量和常量(坡角，上升高度，所走路程)？她在斜坡上任意位置時，上升的高度和所走路程的比值變化嗎？小強呢?當銳角為50°時，這個比值還是一個確定的值嗎？西坡A30°BCHDBCD東坡EF東坡BCDHG當銳角為30°時，上升高度與所走路程的比值是

．21當銳角為45°時，上升高度與所走路程的比值是22

．動手實驗已知一個50o的∠MAN,在邊AM上任意取一點B，作BC⊥AN于點C.用刻度尺先量出BC,AB的長度(精確到１毫米),再計算BC

的值(結果保留2個有效數(shù)字),并將所得AB的結果與你同伴所得的結果作比較.你發(fā)現(xiàn)了什么？ANＢ3ＢM2Ｂ150OC1

C2

C3發(fā)現(xiàn)規(guī)律對于每一個確定的銳角α，在角的邊上任意取一點B作BC⊥AC于點C，比值

B是C一個確定的值．ABAaBC比值只隨著銳角的變化而變化．與點B在角的邊上的位置無關.AB

ACAC

,

BC那么，比值 呢？一般地，對于每一個確定的銳角α，在角的一邊上任取一點Ｂ，作ＢＣ⊥ＡＣ于點Ｃ，則比值BC

,AC

,BC都是一個確定的值，與點B在角的邊AB

AB

ACBC

AC

BC,

,都是銳角αBaA

CAB

AB

AC上的位置無關，因此，比值的三角函數(shù)。三角函數(shù)的由來“三角學”一詞，是由希臘文三角形與測量二字構成的，原意是三角形的測量，也就是解三角形．后來范圍逐漸擴大，成為研究三角函數(shù)及其應用的一個數(shù)學分支．三角測量在我國出現(xiàn)的很早．據(jù)記載，早在公元前兩千年，大禹就利用三角形的邊角關系，來進行對山川地勢的測量．比值

叫做∠α的正弦(sine)，記做sinα.BCABBCAC即tanα=比值AC叫做∠α的余弦(cosine)，記做cosα.AB

即cosα=

ACBC

AB比值AC叫做∠α的正切(tangent)

，記做tanα.感悟定義BCAB即sinα=注意：1、在三角函數(shù)的表示中，用希臘字母或單獨一個大寫英文字母表示的角前面的“∠”一般省略不寫．

2、sinα、cosα、tanα是一個完整的符號，單獨的“sin”沒有意義.銳角α的正弦，余弦和正切統(tǒng)稱∠α的三角函數(shù)（trigonmetric

function）如果∠A是Rt△ABC的一個銳角（如圖），則有sinA=—A的對邊tanA=斜邊cosA=—A的鄰邊斜邊—A的鄰邊—A的對邊你能求出sinA與cosA的0<sinA<1，0<cosA<1.取值范圍嗎？那么∠B呢？解后語：已知直角三角形中的兩邊或兩邊之比，就能求出銳角三角函數(shù)值．1.如圖△ABC中，∠C=90°,BC=5,AC=12.（2）tanB=ABC512（52.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°.⑴

若BC=8,AB=17,求sinA,cosA,tanA的值;⑵

若BC︰AB=5︰17,求sinA,cosA,tanA的值;ABC17⑶

若sinA=

5

,

求sinB的值.判斷：（1）sinA=13（

√））×用一用3、如圖，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠,若AB=5，BC=3.(1)求∠A的正弦、余弦和正切的值；

(2)請求出∠B的正弦、余弦和正切的值.AB５3C(3)觀察(1)(2)中的計算結果,你發(fā)現(xiàn)了什么?sinA

=

BC

=,cosA

=

=,3AB

5AC

4AB

5tanA

=

BC

=

3

.AC

4sinB

==

,cosB

==

,AC

4AB

5BC

3AB

54tanB

=

AC

=

.BC

3當∠A+∠B=90°時,sinA=cosB,cosA=sinB,tanA·tanB=1用一用⑶以射線AB為始邊任意作銳角∠DAB，并求出它的正切值；請組內(nèi)比較，誰畫出的銳角的正切值最大？BCAaα4、⑴在如圖所示的格點圖中，請求出銳角α的三角函數(shù)值;⑵如圖，請你以射線AB為始邊作銳角∠CAB，使它4的正切值為3

;用一用C35、如圖，在△ABC中，若AB=5，BC=3，則下列結論正4A．sinA=5B．sinA=3C．sinA=5D.以上結論都不正確CAB3５確的是（

D

）46、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于D，若BD=2，BC=3．則sinA=

.3BCAD

2237.如圖,在Rt△ABC中,銳角A的對邊和鄰邊同時擴A.擴大100倍

B.縮小100倍C.不變 D.不能確定AB┌C大100倍,sinA的值（

C

）8.已知∠A,∠B為銳角(1)若∠A=∠B,則sinA

=

sinB;(2)若sinA=sinB,則∠A

=

∠B.A┌B例1、如圖:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6.求BC的長.C解：∵∠B=900200∴

sinA==0.6ACBC∴BC=0.6AC=120例2、在Rt△ABC中，∠C為Rt∠，求證：sin２A+cos2A=1AB┌C證明：∵∠C=Rt∠∴sinA=

BCABAC2+BC2=AB2AB，cosA=

AC\

sin

2

A

+cos2

A

=

(

BC

)2

+(

AC

)2AB

AB=1=AB2BC

2

+

AC

255BC┌6

D練一練如圖:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求:sinB,cosB,tanB.提示:過點A作AD垂直于BC于D.A談談今天的收獲ABC∠A的對邊∠A的鄰邊∠A的對邊∠A的鄰邊tanAcosA∠A的對邊

∠A的鄰邊

斜邊sinA斜邊斜邊回味無窮定義中應該注意的幾個問題:sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定義的,∠A是銳角(注意數(shù)形結合,構造直角三角形).sinA,cosA,tanA,是一個完整的符號,表示∠A的三角函數(shù),習慣省去“∠”號；

3.sinA,cosA,tanA,是一個比值.注意比的順序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,無單位.4.sinA,cosA,tanA,的大小只與∠A的大小有關,而與直角三角形的邊長無關.5.角相等,則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等,則這兩個銳角相等.y1

2

3

4B5

x65432101、在平面坐標系第一象限內(nèi)是否存在點P，使得OP=4,sin∠POB＝0.5．求點P的坐標,并求出OP所在直線的解析式.思考：OP所在直線的解析式的比例系數(shù)K與∠POB