基礎(chǔ)過關(guān)篇空間與圖形四邊形

基礎(chǔ)過關(guān)篇第27課時(shí)多邊形第28課時(shí)平行四邊形第29課時(shí)矩形第30課時(shí)菱形第31課時(shí)正方形第32課時(shí)四邊形綜合第二部分空間與圖形第五單元四邊形考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦第27課時(shí)多邊形基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時(shí)鞏固即時(shí)鞏固考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1多邊形在平面內(nèi),由若干條不在同一直線上的線段

順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊;每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn);在多邊形中,連結(jié)不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線;多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.首尾考點(diǎn)2多邊形的內(nèi)角和與外角和n邊形的內(nèi)角和為

;任何多邊形的外角和為

.

【疑難典析】在四邊形的四個(gè)內(nèi)角中,最多能有3個(gè)鈍角,最多能有3個(gè)銳角.如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和增加180°.(n-2)·180°(n≥3)360°考點(diǎn)3多邊形的對(duì)角線n邊形有

條對(duì)角線.

【疑難典析】如果一個(gè)n邊形恰好有n條對(duì)角線,那么這個(gè)多邊形是五邊形.考點(diǎn)4正多邊形?各個(gè)

相等,各條

也相等的多邊形叫做正多邊形.

?正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是

.

?經(jīng)過一個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓,這個(gè)正多邊形叫做圓的內(nèi)接正多邊形.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.內(nèi)角邊基礎(chǔ)溫故1.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是(

)A.4 B.5 C.6 D.72.正十邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

(

)A.120° B.135° C.140° D.144°CD3.從九邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引出的對(duì)角線條數(shù)為(

)A.3 B.4 C.6 D.94.如圖27-1,在正五邊形ABCDE中,連結(jié)BE,則∠ABE的度數(shù)為

(

)A.30° B.36° C.54° D.72°圖27-1CB5.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之比是4∶1,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是

(

)A.7 B.8 C.9 D.10D分類精析類型之一多邊形的內(nèi)角和與外角和例1已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù)及對(duì)角線的條數(shù).解:設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n,根據(jù)題意,得(n-2)×180°=360°×2+180°,解得n=7,七邊形的對(duì)角線條數(shù)為:×7×(7-3)=14(條).答:所求的多邊形的邊數(shù)為7,這個(gè)多邊形對(duì)角線為14條.類型之二正多邊形例2邊長相等的正五邊形與正六邊形按如圖27-2所示拼接在一起,則∠ABO的度數(shù)為

(

)A.24° B.48° C.60° D.72°圖27-2A類型之三多邊形的有關(guān)計(jì)算例3一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與一個(gè)外角的和為1300°.求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和這個(gè)外角的度數(shù).類型之四綜合性問題例4如圖27-3,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠C=45°,BC=4,AD=2.求四邊形ABCD的面積.圖27-3例5如圖27-4,四邊形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,則四邊形ABCD的面積為

(

)A.15 B.12.5 C.14.5 D.17圖27-4B例6如圖27-5,在四邊形ABCD中,AB=BC=5,∠ABC=45°,連結(jié)AC,BD,若∠DAC=90°,AC=AD,則BD的長為

.

圖27-5即時(shí)鞏固一、選擇題1.一個(gè)五邊形的內(nèi)角和為

(

)A.540° B.450°C.360° D.180°A2.若正多邊形的一個(gè)外角是40°,則這個(gè)正多邊形是(

)A.正七邊形

B.正八邊形C.正九邊形

D.正十邊形3.過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線,將此多邊形分成7個(gè)三角形,則此多邊形的邊數(shù)為

(

)A.10 B.9 C.8 D.7CB二、填空題4.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為

.

5.某正n邊形的一個(gè)內(nèi)角為108°,則n=

.

656.如圖27-6是由射線AB,BC,CD,DE,EA組成的平面圖形,若∠1+∠2+∠3+∠4=225°,ED∥AB,則∠1的度數(shù)為

.

圖27-645°三、解答題7.如圖27-7,四邊形ABCD中,AB⊥BC,∠A+∠B=160°,∠D=4∠C,求四邊形ABCD各內(nèi)角的度數(shù).圖27-7解:∵AB⊥BC,∴∠B=90°.∵∠A+∠B=160°,∴∠A=70°.∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴∠C+∠D=200°.∵∠D=4∠C,∴∠C=40°,∠D=160°.考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦第28課時(shí)平行四邊形基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時(shí)鞏固即時(shí)鞏固考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1平行四邊形的定義和性質(zhì)?定義:兩組對(duì)邊分別

的四邊形是平行四邊形.

?平行四邊形的性質(zhì)(1)平行四邊形的兩組對(duì)邊分別

;

(2)平行四邊形的兩組對(duì)角分別

;

(3)平行四邊形的對(duì)角線互相

;

(4)對(duì)稱性:平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).平行平行且相等相等平分【疑難典析】(1)兩條平行線中,一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線間的距離;(2)如果一條直線過平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn),那么這條直線被一組對(duì)邊截下的線段關(guān)于對(duì)角線的交點(diǎn)成中心對(duì)稱,且這條直線等分平行四邊形的面積和周長.考點(diǎn)2平行四邊形的判定?定義法.?一組對(duì)邊平行且

的四邊形是平行四邊形.

?兩組對(duì)邊分別

的四邊形是平行四邊形.

?對(duì)角線

的四邊形是平行四邊形.

相等相等互相平分考點(diǎn)3平行四邊形的面積平行四邊形的面積:平行四邊形的面積=底×高.【疑難典析】同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.基礎(chǔ)溫故1.在?ABCD中,∠B+∠D=260°,那么∠A的度數(shù)是(

)A.130° B.100°C.50° D.80°CC3.如圖28-1,在?ABCD中,對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD,BC于點(diǎn)E,F,連結(jié)CE,若△CED的周長為6,則?ABCD的周長為

(

)A.6 B.12C.18 D.24圖28-1BB5.如圖28-2,?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E是AB中點(diǎn),且AE+EO=4,則?ABCD的周長為

(

)A.20 B.16 C.12 D.8圖28-2B分類精析類型之一平行四邊形的性質(zhì)例1如圖28-3,在?ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊CB,AD的延長線上,且BE=DF,EF分別與AB,CD交于點(diǎn)G,H.求證:AG=CH.圖28-3類型之二平行四邊形的判定例2如圖28-4,B,E,C,F在一條直線上,已知AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,連結(jié)AD.求證:四邊形ABED是平行四邊形.圖28-4例3如圖28-5,將?ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊,使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D'處,折痕l交CD邊于點(diǎn)E,連結(jié)BE.(1)求證:四邊形BCED'是平行四邊形;(2)若BE平分∠ABC,求證:AB2=AE2+BE2.圖28-5證明:(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB∥CD,∠D=∠ABC.由折疊,可知∠D=∠AD'E,∴∠AD'E=∠ABC.∴ED'∥CB.∵AB∥CD,∴四邊形BCED'是平行四邊形.例3如圖28-5,將?ABCD沿過點(diǎn)A的直線l折疊,使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D‘處,折痕l交CD邊于點(diǎn)E,連結(jié)BE.(2)若BE平分∠ABC,求證:AB2=AE2+BE2.圖28-5類型之三平行四邊形綜合性問題例4如圖28-6,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAD的平分線AE交CD于點(diǎn)F,交BC的延長線于點(diǎn)E.(1)求證:BE=CD;(2)連結(jié)BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四邊形ABCD的面積.圖28-6解:(1)證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD,AD∥BE,∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB.∴BE=AB.∵AB=CD,∴BE=CD.例4如圖28-6,四邊形ABCD為平行四邊形,∠BAD的平分線AE交CD于點(diǎn)F,交BC的延長線于點(diǎn)E.(2)連結(jié)BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四邊形ABCD的面積.圖28-6例5如圖28-7,在?ABCD中,分別以邊BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,連結(jié)AF,AE.(1)求證:△ABF≌△EDA;(2)延長AB與CF相交于點(diǎn)G.若AF⊥AE,求證:BF⊥BC.圖28-7證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AD=BC,∠ABC=∠ADC,∵BC=BF,CD=DE,∴BF=AD,AB=DE,∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°,∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°,∠EDC=∠CBF,∴∠ABF=∠ADE,∴△ABF≌△EDA.例5如圖28-7,在?ABCD中,分別以邊BC,CD作等腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,連結(jié)AF,AE.(2)延長AB與CF相交于點(diǎn)G.若AF⊥AE,求證:BF⊥BC.圖28-7(2)延長FB交AD于點(diǎn)H.∵AE⊥AF,∴∠EAF=90°,∵△ABF≌△EDA,∴∠EAD=∠AFB,∵∠EAD+∠FAH=90°,∴∠FAH+∠AFB=90°,∴∠AHF=90°,即FB⊥AD,∵AD∥BC,∴FB⊥BC.即時(shí)鞏固一、選擇題1.如圖28-8,在?ABCD中,已知AC=4cm,若△ACD的周長為13cm,則?ABCD的周長為

(

)A.26cm B.24cm C.20cm D.18cm圖28-8D2.如圖28-9,在?ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E是邊CD的中點(diǎn),連結(jié)OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,則∠1的度數(shù)為

(

)A.50° B.40°C.30° D.20°圖28-9B3.如圖28-10,在?ABCD中,BE⊥AB交對(duì)角線AC于點(diǎn)E,若∠1=18°,則∠2= (

)A.98° B.102° C.108° D.118°圖28-10C二、填空題4.如圖28-11,在?ABCD中,∠A=70°,DC=DB,則∠CDB=

.

圖28-115.已知平行四邊形ABCD中,AB=20,AD=16,AB與CD之間的距離為8,則AD與BC之間的距離為

.

40°106.如圖28-12,?ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,若AD=6,AC+BD=16,則△BOC的周長為

.

圖28-1214三、解答題7.如圖28-13,在?ABCD中,點(diǎn)E,F在對(duì)角線BD上,且BE=DF.求證:(1)AE=CF;(2)四邊形AECF是平行四邊形.圖28-13證明:(1)在?ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF.又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.∴AE=CF.7.如圖28-13,在?ABCD中,點(diǎn)E,F在對(duì)角線BD上,且BE=DF.求證:(2)四邊形AECF是平行四邊形.圖28-13(2)由(1)知△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∠AEB=∠CFD,∴∠AEF=∠CFE,∴AE∥CF.∴四邊形AECF是平行四邊形.第29課時(shí)矩形考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時(shí)鞏固即時(shí)鞏固考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)

矩形?矩形的定義有一個(gè)角是直角的

是矩形.

【疑難典析】涉及矩形問題常需要分類討論.平行四邊形?矩形的性質(zhì)(1)矩形的對(duì)邊

;

(2)矩形的四個(gè)角都是

角(或矩形的四個(gè)角相等);

(3)矩形的對(duì)角線

且

.

平行且相等直相等互相平分【疑難典析】(1)矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)面積相等的等腰三角形;(2)矩形是軸對(duì)稱圖形,它有兩條對(duì)稱軸,矩形還是中心對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn);(3)經(jīng)過矩形對(duì)角線交點(diǎn)的任一直線把矩形分成兩個(gè)全等的圖形;(4)矩形的面積等于兩鄰邊長的乘積;(5)利用“矩形的對(duì)角線相等且互相平分”這一性質(zhì),可以得出:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.?矩形的判定(1)定義法.(2)有三個(gè)角是直角的

是矩形.

(3)對(duì)角線相等的

是矩形.

【疑難典析】要利用矩形的判定(3),必須滿足以下兩個(gè)條件:①對(duì)角線相等;②平行四邊形.四邊形平行四邊形基礎(chǔ)溫故C2.如圖29-1,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=4cm,則矩形對(duì)角線長為

(

)A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm圖29-1C圖29-2D4.如圖29-3,四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分,要使它成為矩形,那么需要添加的條件是

(

)A.AB=CD B.AD=BCC.AB=BC D.AC=BD圖29-3D5.如圖29-4,矩形ABCD中對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是AD中點(diǎn),連結(jié)OE.若OE=3,AD=8,則對(duì)角線AC的長為

(

)A.5 B.6C.8 D.10圖29-4D分類精析類型之一矩形的性質(zhì)例1如圖29-5,在矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連結(jié)DE,CE.(1)求證:△ADE≌△BCE;(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周長.圖29-5例1如圖29-5,在矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連結(jié)DE,CE.(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周長.圖29-5例2如圖29-6,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在BD上,BE=DF.(1)求證:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面積.圖29-6例2如圖29-6,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在BD上,BE=DF.(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面積.圖29-6類型之二矩形的判定例3如圖29-7,?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F是AC上的兩點(diǎn),并且AE=CF,連結(jié)DE,BF.(1)求證:△DOE≌△BOF;(2)若BD=EF,連結(jié)EB,DF,判斷四邊形EBFD的形狀,并說明理由.圖29-7例3如圖29-7,?ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F是AC上的兩點(diǎn),并且AE=CF,連結(jié)DE,BF.(2)若BD=EF,連結(jié)EB,DF,判斷四邊形EBFD的形狀,并說明理由.圖29-7(2)結(jié)論:四邊形EBFD是矩形.理由:∵OD=OB,OE=OF,∴四邊形EBFD是平行四邊形,∵BD=EF,∴四邊形EBFD是矩形.例4如圖29-8,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F,且AF=BD,連結(jié)BF.(1)線段BD與CD有何數(shù)量關(guān)系,為什么?(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AFBD是矩形?請(qǐng)說明理由.圖29-8解:(1)BD=CD.理由如下:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.∵E是AD的中點(diǎn),∴AE=DE,∴△AFE≌△DCE,∴AF=DC.又∵AF=BD,∴BD=CD.例4如圖29-8,在△ABC中,D是BC邊上的一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的延長線于點(diǎn)F,且AF=BD,連結(jié)BF.(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AFBD是矩形?請(qǐng)說明理由.圖29-8(2)當(dāng)△ABC滿足AB=AC時(shí),四邊形AFBD是矩形.理由如下:∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.易知四邊形AFBD是平行四邊形,∴四邊形AFBD是矩形.類型之三矩形綜合性問題例5如圖29-9,已知四邊形ABCD是平行四邊形,并且∠A=∠D.(1)求證:四邊形ABCD為矩形;(2)點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn),F為AD邊上一點(diǎn),∠1=2∠2,若CE=4,CF=5,求DF的長.圖29-9解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∵∠A=∠D,∴∠A=90°,∴平行四邊形ABCD為矩形.例5如圖29-9,已知四邊形ABCD是平行四邊形,并且∠A=∠D.(2)點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn),F為AD邊上一點(diǎn),∠1=2∠2,若CE=4,CF=5,求DF的長.圖29-9即時(shí)鞏固一、選擇題1.下列命題正確的是

(

)A.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形B.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形D.對(duì)角線互相平分的四邊形是矩形B2.如圖29-10,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),若OM=4,AB=6,則BD的長為

(

)A.4 B.5 C.8 D.10圖29-10D3.如圖29-11,矩形ABCD中,E點(diǎn)在BC上,且AE平分∠BAC,若BE=5,AC=12,則△AEC的面積為

(

)A.20 B.30C.60 D.15圖29-11B二、填空題4.矩形的對(duì)角線長為20,兩鄰邊之比為3∶4,則矩形的面積為

.5.如圖29-12,在矩形ABCD中,E為BC的中點(diǎn),且∠AED=90°,AD=10,則AB的長為

.

圖29-1219256.如圖29-13,在矩形ABCD中,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,連結(jié)CE.若BC=7,AE=4,則CE=

.

圖29-135三、解答題7.如圖29-14,在?ABCD中,∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E,∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F.(1)求證:△ABE≌△CDF;(2)若AB=DB,求證:四邊形DFBE是矩形.圖29-147.如圖29-14,在?ABCD中,∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E,∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F.(2)若AB=DB,求證:四邊形DFBE是矩形.圖29-14(2)∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC,∴DE∥BF,DE=BF,∴四邊形DFBE是平行四邊形.∵AB=DB,BE平分∠ABD,∴BE⊥AD,即∠DEB=90°,∴平行四邊形DFBE是矩形.第30課時(shí)菱形考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時(shí)鞏固即時(shí)鞏固考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1菱形的定義一組鄰邊相等的

是菱形.

【疑難典析】菱形的定義是在平行四邊形的基礎(chǔ)上定義的.平行四邊形考點(diǎn)2菱形的性質(zhì)?菱形的四條邊都

.

?菱形的對(duì)角線互相

,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

?菱形是中心對(duì)稱圖形,它的對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn);菱形也是軸對(duì)稱圖形,兩條對(duì)角線所在的直線是它的對(duì)稱軸.相等垂直平分考點(diǎn)3菱形的判定?定義法.?對(duì)角線互相垂直的

是菱形.

?四條邊都相等的

是菱形.

【疑難典析】在進(jìn)行菱形判定時(shí),必須轉(zhuǎn)化出滿足菱形的定義或判定定理所需的條件.平行四邊形四邊形考點(diǎn)4菱形的面積?由于菱形是平行四邊形,所以菱形的面積=底×高.?因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分,所以其對(duì)角線將菱形分成4個(gè)全等的三角形,故菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半.【疑難典析】在計(jì)算菱形面積時(shí),必須搞清所運(yùn)用的是哪一個(gè)面積公式.基礎(chǔ)溫故B2.一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線的長分別為5和8,那么這個(gè)菱形的面積是

(

)A.40 B.20C.10 D.253.菱形的兩條對(duì)角線長分別是6和8,則此菱形的邊長是(

)A.10 B.8 C.6 D.5BD4.如圖30-1,菱形ABCD的周長為48cm,對(duì)角線AC,BD相交于O點(diǎn),E是AD的中點(diǎn),連結(jié)OE,則線段OE的長等于

cm.

圖30-165.如圖30-2,菱形的周長是20cm,∠DAB=60°,則BD=

cm.

圖30-25分類精析類型之一菱形的性質(zhì)例1如圖30-3,在菱形ABCD中,分別延長AB,AD到E,F,使得BE=DF,連結(jié)EC,FC.求證:EC=FC.圖30-3證明:∵四邊形ABCD是菱形,∴CB=CD,∠ABC=∠ADC,∴∠EBC=∠FDC,∵BE=DF,∴△EBC≌△FDC,∴EC=FC.類型之二菱形的判定例2如圖30-4,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E,F分別是AB,BC上的點(diǎn),AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求證:(1)△AED≌△CFD;(2)四邊形ABCD是菱形.圖30-4例2如圖30-4,已知四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)E,F分別是AB,BC上的點(diǎn),AE=CF,并且∠AED=∠CFD.求證:(2)四邊形ABCD是菱形.圖30-4(2)∵△AED≌△CFD,∴AD=CD,又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴四邊形ABCD是菱形.類型之三菱形的有關(guān)計(jì)算圖30-5圖30-6解:(1)證明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA,∵AC為∠DAB的平分線,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB,∵AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∵AD=AB,∴四邊形ABCD是菱形.圖30-6類型之四菱形綜合性問題圖30-7圖30-7即時(shí)鞏固一、選擇題1.若菱形周長為20,它的一條對(duì)角線長為6,則它的另一條對(duì)角線長為

(

)A.2 B.4 C.6 D.8D2.如圖30-8,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD的長分別為6cm,8cm,則這個(gè)菱形的周長為

(

)A.5cm B.10cmC.14cm D.20cm圖30-8D3.如圖30-9,在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,添加下列一個(gè)條件,能使平行四邊形ABCD成為菱形的是(

)A.AO=BO B.AC=ADC.AB=BC D.OD=AC圖30-9C二、填空題4.已知一個(gè)菱形的周長為24cm,有一個(gè)內(nèi)角為60°,則這個(gè)菱形較短的一條對(duì)角線長為

cm.

5.如圖30-10,在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,則菱形的面積是

.

圖30-106246.如圖30-11,已知菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD的長分別為6cm、8cm,AE⊥BC于點(diǎn)E,則AE的長是

cm.

圖30-11三、解答題7.如圖30-12,在?ABCD中,作對(duì)角線BD的垂直平分線EF,垂足為O,分別交AD,BC于E,F,連結(jié)BE,DF.求證:四邊形BFDE是菱形.圖30-12第31課時(shí)正方形考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時(shí)鞏固即時(shí)鞏固考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1正方形的定義有一組鄰邊相等,并且

的平行四邊形是正方形.

【疑難典析】本定義從邊和角兩個(gè)角度在平行四邊形的基礎(chǔ)上進(jìn)行定義.有一個(gè)角是直角考點(diǎn)2正方形的性質(zhì)?正方形的對(duì)邊平行,四邊相等.?正方形的四個(gè)角都是直角.?正方形的對(duì)角線相等,互相

,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

?正方形的對(duì)稱性:正方形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸有四條,對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn).垂直平分【疑難典析】正方形既是平行四邊形又是矩形還是菱形,因此,它擁有這三類圖形所擁有的一切性質(zhì),它特有的性質(zhì)之一是正方形的對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.考點(diǎn)3正方形的判定可根據(jù)以下兩條來判定:(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形;(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.考點(diǎn)4中點(diǎn)四邊形定義:順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形,我們稱之為中點(diǎn)四邊形.【疑難典析】1.任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.2.對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形.3.對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形.4.對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形.基礎(chǔ)溫故B2.如圖31-1,在正方形ABCD中,E是AC上的一點(diǎn),且AB=AE,則∠EBC的度數(shù)是

(

)A.45° B.30° C.22.5° D.20°圖31-1C3.根據(jù)下列條件,能判定一個(gè)四邊形是正方形的是(

)A.對(duì)角線互相垂直且平分B.對(duì)角相等C.對(duì)角線互相垂直、平分且相等D.對(duì)角線相等C4.如圖31-2,正方形ABCD的周長為28cm,則矩形MNGC的周長是

(

)A.24cm B.14cmC.18cm D.7cm圖31-2B5.如圖31-3,直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A,分別過頂點(diǎn)B,D作DE⊥a于點(diǎn)E,BF⊥a于點(diǎn)F,若DE=4,BF=3,則EF的長為

(

)A.1 B.5 C.7 D.12圖31-3C分類精析類型之一正方形的性質(zhì)例1如圖31-4,在正方形ABCD中,E,F分別為CD,DA延長線上的點(diǎn),CE=AF.(1)求證:△BEC≌△BFA;(2)求∠BEF的度數(shù).圖31-4例1如圖31-4,在正方形ABCD中,E,F分別為CD,DA延長線上的點(diǎn),CE=AF.(2)求∠BEF的度數(shù).圖31-4(2)∵△BEC≌△BFA,∴BE=BF,∠CBE=∠ABF,∴∠CBE+∠EBA=∠ABF+∠ABE,即∠CBA=∠EBF.∴∠EBF=90°,∴∠BEF=∠BFE=45°.類型之二正方形的判定例2如圖31-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于F,連結(jié)CF.(1)求證:AD=AF;(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.圖31-5例2如圖31-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC邊上的中線,E是AD的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長線于F,連結(jié)CF.(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結(jié)論.圖31-5(2)四邊形ADCF是正方形.∵AF=BD=DC,AF∥BC,∴四邊形ADCF是平行四邊形,∵AB=AC,AD是BC邊上的中線,∴AD⊥BC,即∠ADC=90°,∴四邊形ADCF是矩形,∵AD=AF,∴四邊形ADCF是正方形.類型之三正方形綜合性問題例3如圖31-6,已知正方形ABCD的邊長為2,E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),BF⊥AE交CD于點(diǎn)F,垂足為G,連結(jié)CG.則CG的最小值為

.

圖31-6例4如圖31-7,正方形ABCD的邊長是2,點(diǎn)E,F分別是AB,BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B,C重合),且BE=BF,EG⊥AB,FG⊥BC,EG與FG相交于點(diǎn)G,當(dāng)△ADG為等腰三角形時(shí),BE的長為

.

圖31-7例5某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中,研究三角形和正方形的性質(zhì)時(shí),做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連結(jié)CF.(1)觀察猜想如圖31-8①,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),①BC與CF的位置關(guān)系為:

;

圖31-8垂直②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為:

;(將結(jié)論直接寫在橫線上)

(2)數(shù)學(xué)思考如圖31-8②,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí),①,②結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明.圖31-8BC=DC+CF圖31-8例5某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中,研究三角形和正方形的性質(zhì)時(shí),做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連結(jié)CF.圖31-8(2)數(shù)學(xué)思考如圖31-8②,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí),①,②結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明.圖31-8(2)①成立,②BC=DC-CF.證明:∵正方形ADEF,∴AD=AF,∠DAF=90°.∵∠BAC=90°,∴∠DAB=∠FAC.∵AB=AC,∴△DAB≌△FAC.∴DB=CF,∠DBA=∠FCA.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∴∠DBA=∠FCA=135°,∴∠BCF=90°,∴CF⊥BC.∵BC=DC-DB,DB=CF,∴BC=DC-CF.例5某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中,研究三角形和正方形的性質(zhì)時(shí),做了如下探究:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C重合),以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連結(jié)CF.圖31-8圖31-8即時(shí)鞏固一、選擇題D2.如圖31-9,以正方形ABCD的邊AB為一邊向內(nèi)作等邊△ABE,連結(jié)DE,則∠BED的度數(shù)為

(

)A.120° B.125° C.135° D.150°圖31-9C圖31-10C二、填空題圖31-1125.如圖31-12,在正方形ABCD中,E是CD上的點(diǎn),若BE=3,CE=1,則正方形ABCD的對(duì)角線的長為

.

圖31-124圖31-131三、解答題7.如圖31-14,在正方形ABCD中,E,F分別在邊BC,AB上,AF=BE,AE與DF相交于點(diǎn)O.(1)求證:△DAF≌△ABE;(2)求∠AOD的度數(shù).圖31-147.如圖31-14,在正方形ABCD中,E,F分別在邊BC,AB上,AF=BE,AE與DF相交于點(diǎn)O.(2)求∠AOD的度數(shù).圖31-14(2)∵△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE,∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=90°,∴∠AOD=180°-(∠ADF+∠DAO)=90°.第32課時(shí)四邊形綜合考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)聚焦基礎(chǔ)溫故基礎(chǔ)溫故分類精析分類精析即時(shí)鞏固即時(shí)鞏固考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)1四邊形中的計(jì)算【疑難典析】四邊形中的計(jì)算通常涉及勾股定理、相似三角形、銳角三角函數(shù)、圖形的變換(平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))等知識(shí).解題時(shí)注意分類討論思想、方程思想的運(yùn)用.考點(diǎn)2特殊四邊形中性質(zhì)判定的應(yīng)用【疑難典析】特殊四邊形中的計(jì)算和證明是常見的題型,熟練掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.基礎(chǔ)溫故1.下列說法正確的是

(

)A.鄰邊相等的平行四邊形是矩形B.一組鄰邊相等的矩形是正方形C.一組鄰邊互相垂直的四邊形是菱形D.一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B2.如圖32-1,以正方形ABCD的邊CD為邊向正方形ABCD外作等邊△CDE,AC與BE交于點(diǎn)F,則∠AFE的度數(shù)是(

)A.135° B.120° C.60° D.45°圖32-1B3.如果點(diǎn)E,F,G,H分別是菱形ABCD四邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),那么四邊形EFGH是

(

)A.菱形

B.矩形C.正方形

D.以上都不是B圖32-2A圖32-3C分類精析類型之一四邊形綜合應(yīng)用例1如圖32-4,四邊形ABCD中,AB=5,BC=2,AC⊥AD,∠ACD=∠ADC=∠ABC=45°,求對(duì)角線BD的長.圖32-4類型之二平行四邊形綜合應(yīng)用例2如圖32-5,四邊形ABCD為平行四邊形,E為AD上的一點(diǎn),連結(jié)EB并延長,使BF=BE,連結(jié)EC并延長,使CG=CE,連結(jié)FG.H為FG的中點(diǎn),連結(jié)DH.(1)求證:四邊形AFHD為平行四邊形;(2)若CB=CE,∠EBC=75°,∠DCE=10°,求∠DAB的度數(shù).圖32-5例2如圖32-5,四邊形ABCD為平行四邊形,E為AD上的一點(diǎn),連結(jié)EB并延長,使BF=BE,連結(jié)EC并延長,使CG=CE,連結(jié)FG.H為FG的中點(diǎn),連結(jié)DH.(2)若CB=CE,∠EBC=75°,∠DCE=10°,求∠DAB的度數(shù).圖32-5(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠DAB=∠DCB,∵CE=CB,∴∠BEC=∠EBC=75°,∴∠BCE=180°-75°-75°=30°,∴∠DCB=∠DCE+∠BCE=10°+30°=40°,∴∠DAB=40°.類型之三矩