對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)換底公式高一數(shù)學(xué)上學(xué)期同步檢測(cè)卷人教A必修

4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算及對(duì)數(shù)換底公式復(fù)習(xí)引入對(duì)數(shù)的概念對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)復(fù)習(xí)引入·對(duì)數(shù)的概念·對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系復(fù)習(xí)引入·指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)探究新知（1）另證：探究新知（1）探究新知（2）探究新知（3）總結(jié)歸納解:例1.

用logax,logay,logaz

表示下列各式:

(1)(2)(1)=logax+logay-logaz.(2)log2(4725)=log247+log225例2.

求下列各式的值:(1)log2(47×25);(2)解:(1)=log2214+log225=14+5=14log22+5log22

=19.(2)

問(wèn)題1.我們知道指數(shù)運(yùn)算axay=ax+y,ax÷ay=ax-y,由于對(duì)數(shù)運(yùn)算是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算,你能進(jìn)行下面的對(duì)數(shù)運(yùn)算嗎?

㏒aM+㏒aN=?㏒aM

-

㏒aN=?㏒aMn=?令㏒aM=x,㏒aN=y,化為指數(shù)式得ax=M①,ay=N②,①②兩式相乘得M·N=axay=ax+y,化為對(duì)數(shù)式得

x+y

=㏒a(M·N),∵x+y=㏒aM+㏒aN,∴㏒aM+㏒aN=㏒a(M·N).同理,①②可變化得將①式兩邊n次方后可變化得logaMn=nlogaM.(請(qǐng)同學(xué)們?cè)嚽蠛竺鎯墒?1.

用lgx,lgy,lgz

表示下列各式:

(1)lg(xyz);(2)(3)(4)解:(1)lg(xyz)=lgx+lgy+lgz.(2)練習(xí):1.

用lgx,lgy,lgz

表示下列各式:

(1)lg(xyz);(2)(3)(4)解:(4)(3)練習(xí):2.

求下列各式的值:(1)log3(2792);(2)lg1002;(3)lg0.00001;(4)ln解:(1)log3(2792)=log327+log392=log333+log334=3log33+4log33=3+4=7.(2)lg1002=lg104=4lg10=4.解:(3)lg0.00001

=lg10-5=

-5lg10=

-5.(4)2.

求下列各式的值:(1)log3(2792);(2)lg1002;(3)lg0.00001;(4)ln3.

求下列各式的值:(1)log26-log23;(2)lg5+lg2;

(3)log53+log5(4)log35-log315.解:(1)log26-log23=log2(6÷3)=log22=1.(2)lg5+lg2=lg(52)=lg10(3)=log51=0.(4)log35-log315==-1.=1.

探究.

我們可以用計(jì)算器或常用對(duì)數(shù)表查得ln2,ln3的值,你能用這兩個(gè)對(duì)數(shù)求log23嗎?令log23=x,2x=3即(將log23換成了e為底的對(duì)數(shù))(如此,請(qǐng)同學(xué)們證明探究新知（4）ln2x=ln3xln2=ln3令logab=N,則a=cx,b=cy③.又令logca=x,logcb=y,②aN=b①,(cx)N=cy,得xN=

y,將③代入①得(如此,請(qǐng)同學(xué)們證明證明:即cxN=cy,將①②所設(shè)代入上式即得換底公式:如:=…

例3:

我國(guó)人口從1999年底起經(jīng)過(guò)x

年后的人口總數(shù)y

與x

的函數(shù)關(guān)系式為y=131.01x.如果要求哪一年的人口數(shù)可達(dá)到18億,則131.01x=18,≈33(年).即到2032年我國(guó)人口將達(dá)到18億.(即可用計(jì)算器)

例4:

盡管目前人類(lèi)還無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過(guò)研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放出的能量E(單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為：lgE=4.8+1.5M.

2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，它所釋放出來(lái)的能量是2008年5月12日我國(guó)汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震的多少倍（精確到1）？

解：設(shè)里氏9.0級(jí)和8.0級(jí)地震的能量分別為E1和E2.lgE1=4.8+1.5×9.0lgE2=4.8+1.5×8.0=(4.8+1.5×9.0)-(4.8+1.5×8.0)=1.5由lgE=4.8+1.5M，可得1.

利用對(duì)數(shù)的換底公式化簡(jiǎn)下列各式:

(1)logac·logca;

(2)log23·log34·log45·log52;

(3)(log43+log83)(log32+log92)解:(1)logac·logca==1.(還可換成以a

為底、c

為底,或其他字母為底)(2)原式==1.(3)原式=練習(xí):【課時(shí)小結(jié)】1.

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么(1)loga(M·N)=logaM+logaN.(3)logaMn=n·logaM(n∈R).(2)loga

=logaM-logaN.【課時(shí)小結(jié)】2.

換底公式如:=…通常換成常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)為底.1.

計(jì)算:(1)(2)log318-log32;(3)(4)2log510+log50.25;(5)2log525-3log264;(6)log2(log216).解:(1)=loga1=0.(2)log318-log32=log39=log332=2.(3)=lg10-2=

-2.課后練習(xí)1.

計(jì)算:(1)(2)log318-log32;(3)(4)2log510+log50.25;(5)2log525-3log264;(6)log2(log216).解:(5)(6)2log525-3log264=2log552-3log226=4-18=

-14.log2(log216)=log2(log224)=log2(4)=log222=2.(4)2log510+log50.25=log5102+log50.25=log5(1020.25)=log525=log552=2.2.

已知lg2=a,lg3=b,求下列各對(duì)數(shù)的值:

(1)lg6;(2)log34;

(3)log212;(4)解:(1)lg6=lg(23)=lg2+lg3=a+b.(2)log34=log322=2log32(3)log212=log2(223)=2log22+log23(4)=b-a.3.

已知x

的對(duì)數(shù),求x:(1)lgx=lga+lgb;(2)logax=logam+logan;(3)lgx=3lgn-lgm;(4)logax=logab-logac.解:(1)lgx=lga+lgb=lg(ab),∴x=ab.(2)logax=logam+logan=loga(mn),∴x=mn.(3)lgx=3lgn-lgm=lgn3-lgm(4)4.(1)

利用換底公式求下式的值:log225·log34·log59;(2)

利用換底公式證明

logab·logbc·logca=1.解:(1)原式==8.4.(1)

利用換底公式求下式的值:log225·log34·log59;(2)

利用換底公式證明

logab·logbc·logca=1.(2)證明:左邊==1=

右邊,∴原等式成立.5.

若xlog34=1,求4x+4-x

的值.解:xlog34=1,4x=3,∴4x+4-x

=5.已知一個(gè)存款本利和的指數(shù)模型y=10001.025x.如果存5年,可算出y=10001.0255.如果要想本利和達(dá)到1300元,問(wèn)至少有存多少年?這怎么計(jì)算?在y=10001.025x

中,已知y=1300,求x,已知指數(shù)冪的值,求指數(shù),需進(jìn)行逆運(yùn)算,其逆運(yùn)算就是對(duì)數(shù)運(yùn)算.1300=10001.025x,1.025x=1.3,x=log1.0251.3=≈10.6.至少要存11年.對(duì)數(shù)是指數(shù)冪的逆運(yùn)算.

已知指數(shù)冪,要求指數(shù)時(shí),將指數(shù)式寫(xiě)成對(duì)數(shù)式,用對(duì)數(shù)求指數(shù)的值.

用對(duì)數(shù)求指數(shù)的值時(shí),通常要換成常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù),以便于使用數(shù)表或計(jì)算器.

遇到指數(shù)增長(zhǎng)模型的問(wèn)題時(shí),我們將建立指數(shù)函數(shù)型的關(guān)系式,在關(guān)系式中求函數(shù)值或自變量的值.6.20世紀(jì)30年代,里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線(xiàn)的振幅就越大.這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M,其計(jì)算公式為

M=lgA-lgA0,其中,A

是被測(cè)地震的最大振幅,A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).(1)

假設(shè)在一次地震中,一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001,計(jì)算這次地震的震級(jí)(精確到0.1);(2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯,計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍(精確到1).6.20世紀(jì)30年代,里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線(xiàn)的振幅就越大.這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M,其計(jì)算公式為

M=lgA-lgA0,其中,A

是被測(cè)地震的最大振幅,A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).(1)

假設(shè)在一次地震中,一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001,計(jì)算這次地震的震級(jí)(精確到0.1);解:M=lgA-lgA0=lg20-lg0.001≈4+0.3010≈4.3.=lg10+lg2-lg10-3=lg10+lg2+3lg10=4+lg2答:這次地震約為里氏4.3級(jí).6.20世紀(jì)30年代,里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線(xiàn)的振幅就越大.這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)M,其計(jì)算公式為

M=lgA-lgA0,其中,A

是被測(cè)地震的最大振幅,A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).(2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯,計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍(精確到1).解:由M=lgA-lgA0得A=A010M.=102.6≈398.答:7.6級(jí)地震的最大振幅約是5級(jí)地震的最大振幅的398倍.設(shè)衰減率為r,碳14的原始含量為1,殘留量y

與年數(shù)t

的函數(shù)關(guān)系為y=(1-r)t,∵“半衰期”是5730年,則于是得函數(shù)為7.

生物機(jī)體內(nèi)碳14“半衰期”為5730年.湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘留量約占原始含量的76.7%,試推算馬王堆古墓的年代.解:當(dāng)y=76.7%時(shí),得寫(xiě)成對(duì)數(shù)式為≈0.3827,則t=57300.3827≈2193(年).答:馬王堆古墓大約已有2193年.此題是一個(gè)指數(shù)遞減型問(wèn)題.(1)建立指數(shù)遞減關(guān)系式:y=(1-r)t,(2)已知一組變量值x,y(半衰期),可求未知常數(shù)r.(3)返回r

于函數(shù)得已知函數(shù):7.

生物機(jī)體內(nèi)碳14“半衰期”為5730年.湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r碳14的殘留量約占原始含量的76.7%,試推算馬王堆古墓的年代.(4)