平面向量的概念及線性運(yùn)算復(fù)習(xí)

平面向量的概念及線性運(yùn)算復(fù)習(xí)1.向量的有關(guān)概念知識(shí)梳理名稱(chēng)定義備注向量既有

，又有

的量；向量的大小叫做向量的

(或稱(chēng)

)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為

的向量；其方向是任意的記作____大小方向長(zhǎng)度模00單位向量長(zhǎng)度等于

長(zhǎng)度的向量

非零向量a的單位向量為±平行向量(共線向量)方向

或

的非零向量0與任一向量

或共線相等向量長(zhǎng)度

且方向

的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度

且方向

的向量0向量的相反向量是01個(gè)單位相同相反平行相等相同相等相反知識(shí)梳理向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(3)交換律：a＋b＝

；(4)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝_______________________________三角形2.向量的線性運(yùn)算平行四邊形b＋aa＋(b＋c)知識(shí)梳理減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(6)|λa|＝

；(7)當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向

；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向

；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝________(8)λ(μa)＝

；(9)(λ＋μ)a＝

；(10)λ(a＋b)＝______

三角形相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb|λ||a|知識(shí)梳理3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即

，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量.2.若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則3.

(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.【知識(shí)拓展】知識(shí)梳理典例下列命題中，正確的是________．(填序號(hào))①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量與向量共線，則A、B、C、D四點(diǎn)共線；④兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大?。}型一平面向量的概念④解析①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大?。幌蛄康哪＞鶠閷?shí)數(shù)，可以比較大小．典例

下列敘述錯(cuò)誤的是___________.(填序號(hào))①若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同；②|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同；③

＝0；④若λa＝λb，則a＝b.題型一平面向量的概念①②③④解析對(duì)于①，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，其方向任意，它與a，b的方向都不相同.對(duì)于②，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立.對(duì)于③，由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量，所以

＝0.對(duì)于④，當(dāng)λ＝0時(shí)，不管a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時(shí)不一定有a＝b.故①②③④均錯(cuò).跟蹤訓(xùn)練設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1C.2 D.3√解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.題型一平面向量的概念向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度.(2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制.(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等.(4)單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度.(5)零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線.思維升華題型一平面向量的概念命題點(diǎn)1向量的線性運(yùn)算典例

(1)在△ABC中，

，若點(diǎn)D滿足

等于題型二平面向量的線性運(yùn)算√注意：1.結(jié)合圖象2.注意方向(2)(2017·青海西寧一模)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，且CD＝2DB，點(diǎn)E在AD邊上，且AD＝3AE，則用向量

為√題型二平面向量的線性運(yùn)算命題點(diǎn)2根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)典例(1)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足

則x＝________，y＝______.題型二平面向量的線性運(yùn)算(2)在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且

，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若

，則x的取值范圍是√題型二平面向量的線性運(yùn)算平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則.(2)求已知向量的和.一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則.(3)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.思維升華題型二平面向量的線性運(yùn)算跟蹤訓(xùn)練如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上的一個(gè)靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，那么

等于√題型二平面向量的線性運(yùn)算典例

設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.題型三共線向量定理的應(yīng)用求證：A，B，D三點(diǎn)共線；證明三點(diǎn)共線1.向量共線2.線段共點(diǎn)(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解

假設(shè)ka＋b與a＋kb共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.典例

設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.題型三共線向量定理的應(yīng)用若將本題中“＝2a＋8b”改為“＝a＋mb”，則m為何值時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線？引申探究設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.題型三共線向量定理的應(yīng)用(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.(2)向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，則向量a，b不共線.思維升華題型三共線向量定理的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練

(1)(2017·資陽(yáng)模擬)已知向量

＝a＋3b，

＝5a＋3b，

＝－3a＋3b，則A.A，B，C三點(diǎn)共線 B.A，B，D三點(diǎn)共線C.A，C，D三點(diǎn)共線 D.B，C，D三點(diǎn)共線√題型三共線向量定理的應(yīng)用(2)已知A，B，C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則使等式

成立的實(shí)數(shù)x的取值集合為A.{0} B.?C.{－1} D.{0，－1}√題型三共線向量定理的應(yīng)用綜合應(yīng)用如圖，直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且與對(duì)角線AC交于點(diǎn)K，其中，

，則λ的值為_(kāi)_____.綜合應(yīng)用如圖，經(jīng)過(guò)△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P,Q,設(shè)

m,n∈R,則的值為_(kāi)____．3小結(jié)

概念判斷勿忘，線性運(yùn)算畫(huà)圖形，

題含參數(shù)不要慌，

仔細(xì)計(jì)算一定行。題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量.(

)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無(wú)關(guān).(

)(3)若a∥b，b∥c，則a∥c.(

)(4)若向量

與向量

是共線向量，則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.(

)(5)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立.(

)(6)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反.(

)基礎(chǔ)自測(cè)×√√×××題組二教材改編2.[P86例4]已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且

＝a，

＝b，則

＝______，

＝________.(用a，b表示)b－a－a－b基礎(chǔ)自測(cè)3.[P108B組T5]在平行四邊形ABCD中，若

，則四邊形ABCD的形狀為_(kāi)_______.矩形由對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形.基礎(chǔ)自測(cè)題組三易錯(cuò)自糾4.設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝_______.解析∵向量a