平面與平面垂直

8.6.3

平面與平面垂直課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.了解二面角及其平面角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握兩個(gè)平面互相垂直的定義和畫法.(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)3.理解并掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,并能解決有關(guān)面面垂直的問題.(邏輯推理、直觀想象)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥1970年4月24日,我國用自制“長征一號(hào)”運(yùn)載火箭,在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功地發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星——“東方紅一號(hào)”,這標(biāo)志著我國在征服太空的道路上邁出了巨大的一步,躋身于世界航天先進(jìn)國家之列.同學(xué)們,你知道嗎?“東方紅一號(hào)”軌道的傾斜角是68.5°,也就是衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面所成的二面角是68.5°.那么二面角是如何刻畫的呢?研究二面角又有何重要作用呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)一、二面角1.二面角概念平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分,這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面圖示記法棱為AB,面分別為α,β的二面角記作二面角α-AB-β.有時(shí)為了方便,也可在α,β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P,Q,將這個(gè)二面角記作二面角P-AB-Q.如果棱記作l,那么這個(gè)二面角記作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.二面角的平面角

概念在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.圖示符號(hào)OA?α,OB?β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角范圍0°≤∠AOB≤180°激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥規(guī)定二面角的大小可以用它的平面角來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考

(1)平面幾何中,“角”是如何定義的?提示:從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角.(2)如圖,觀察教室內(nèi)門與墻面,當(dāng)門繞著門軸旋轉(zhuǎn)時(shí),門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀.①數(shù)學(xué)上,用哪個(gè)概念來描述門所在的平面與墻面所形成的角?提示:二面角.②平時(shí),我們常說“把門開大一點(diǎn)”,在這里指的是哪個(gè)角大一點(diǎn)?提示:二面角的平面角.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是

.

解析:∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥AD,AB⊥AD1,∴∠D1AD為二面角D1-AB-D的平面角.易知∠D1AD=45°.答案:45°激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.①異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直,則a,b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ).(

)②二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系.(

)答案:①√

②√激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)二、平面與平面垂直的定義一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.平面α與β垂直,記作α⊥β.微思考

如何畫兩個(gè)相互垂直的平面?提示:兩個(gè)互相垂直的平面通常畫成如圖中的兩種樣子,此時(shí),把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)三、平面與平面垂直的判定定理

文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直圖形語言符號(hào)語言l⊥α,l?β?α⊥β作用判斷兩個(gè)平面垂直激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

(1)判定定理可簡述為“線面垂直,則面面垂直”.因此要證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為尋找平面的垂線,即證線面垂直.(2)兩個(gè)平面互相垂直的判定定理不僅是判定兩個(gè)平面互相垂直的依據(jù),而且是找出與一個(gè)平面垂直的另一個(gè)平面的依據(jù).(3)此定理有一個(gè)推論:a∥α,a⊥β?α⊥β.在做選擇、填空題時(shí)可直接應(yīng)用.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考

在如圖所示的長方體中,AA'與平面ABCD有什么位置關(guān)系?AA'在長方體的哪幾個(gè)面內(nèi)?這幾個(gè)面與底面ABCD有什么位置關(guān)系?提示:AA'與平面ABCD垂直;AA'在平面AA'B'B內(nèi),也在平面AA'D'D內(nèi),這兩個(gè)平面都與底面垂直.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如圖,則在三棱錐P-ABC的四個(gè)面中,互相垂直的面有

對.

解析:平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.答案:3激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)四、平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言?a⊥β圖形語言作用證明直線與平面垂直激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)已知長方體ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一點(diǎn)M,作ME⊥AB于E,則(

)A.ME⊥平面AC

B.ME?平面ACC.ME∥平面AC D.以上都有可能解析:由于ME?平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,則ME⊥平面AC.答案:A激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.①已知兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.(

)②已知兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線.(

)③已知兩個(gè)平面垂直,則過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.(

)答案:①×

②√

③×探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明兩個(gè)平面垂直例1如圖,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求證:平面ABC⊥平面SBC.分析(方法一)取BC的中點(diǎn)D,證出∠ADS為二面角A-BC-S的平面角,通過計(jì)算得到∠ADS=90°.(方法二)先證出從點(diǎn)A向平面SBC引垂線所得垂足D為△SBC的外心,即為斜邊BC的中點(diǎn),再證AD⊥平面SBC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:(方法一)∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,∴△ASB和△ASC是等邊三角形,則有SA=SB=SC=AB=AC,令其值為a,則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形.取BC的中點(diǎn)D,如圖,連接AD,SD,則AD⊥BC,SD⊥BC,∴∠ADS為二面角A-BC-S的平面角.在△ADS中,∵SD2+AD2=SA2,∴∠ADS=90°,即二面角A-BC-S為直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法二)∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,∴SA=AB=AC,∴過點(diǎn)A向平面SBC引垂線,設(shè)垂足為D,則垂足D為△SBC的外心.∵△SBC為直角三角形,∴垂足D為斜邊BC的中點(diǎn),∴AD⊥平面SBC.又AD?平面ABC,∴平面ABC⊥平面SBC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角,其判定的方法是:①找出兩相交平面的平面角;②證明這個(gè)平面角是直角;③根據(jù)定義,這兩個(gè)相交平面互相垂直.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)利用面面垂直的判定定理:要證面面垂直,只需證線面垂直.即在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直.這是證明面面垂直的常用方法,其基本步驟是:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

在本例中,若SA=SB=SC=2,其他條件不變,如何求三棱錐S-ABC的體積呢?解:由例1中方法一(或方法二)可得SD⊥AD.∵SD⊥BC,AD∩BC=D,∴SD⊥平面ABC,即SD的長就是頂點(diǎn)S到底面ABC的距離.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測求二面角的平面角的大小例2如圖,已知四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.(1)二面角B-PA-D平面角的大小為

;

(2)二面角B-PA-C平面角的大小為

.

分析先依據(jù)二面角的定義找相應(yīng)二面角的平面角,然后借助三角形的邊角關(guān)系求二面角的平面角的某一三角函數(shù)值,最后指出二面角的平面角的大小.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角.又由題意∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D平面角的大小為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.又四邊形ABCD為正方形,∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C平面角的大小為45°.答案:(1)90°

(2)45°探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.求二面角的平面角的大小的步驟如下:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.作二面角的平面角的常用方法:(1)定義法.在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①,則∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(3)垂線法.過二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的A點(diǎn)向另一個(gè)平面作垂線,垂足為B,由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

在題設(shè)條件不變的情況下,若PA=AD,求平面PAB與平面PCD所成的二面角的大小.解:∵CD∥平面PAB,過P作CD的平行線l,如圖,由PA⊥CD,CD⊥AD,PA∩AD=A,知CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.又CD∥l,∴l(xiāng)⊥PD.∴∠DPA為平面PAB和平面PCD所成二面角的平面角,為45°.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用例3如圖,已知V是△ABC外一點(diǎn),VA⊥平面ABC,平面VAB⊥平面VBC.求證:AB⊥BC.分析要證AB⊥BC,可證BC⊥平面VAB,易得VA⊥BC.又平面VAB⊥平面VBC,所以可在平面VAB內(nèi)過點(diǎn)A作VB的垂線,即與BC垂直,可得證.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測證明:在平面VAB內(nèi),過點(diǎn)A作AD⊥VB于點(diǎn)D.∵平面VAB⊥平面VBC,且交線為VB,∴AD⊥平面VBC.∴AD⊥BC.∵VA⊥平面ABC,∴VA⊥BC.∵AD∩VA=A,且VA?平面VAB,AD?平面VAB,∴BC⊥平面VAB.∵AB?平面VAB,∴AB⊥BC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí),若沒有與交線垂直的直線,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線,這樣便把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.2.平面與平面垂直的其他性質(zhì):(1)如果兩個(gè)平面垂直,那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).(2)如果兩個(gè)平面垂直,那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面.(3)如果兩個(gè)平面垂直,那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

本例中的已知換為:平面VAB⊥平面ABC,平面VAC⊥平面ABC,CA⊥AB.試證:VA⊥BC.證明:∵平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,AC?平面ABC,CA⊥AB,∴CA⊥平面VAB,∴CA⊥VA.同理,BA⊥VA.又AB∩AC=A,∴VA⊥平面ABC,∵BC?平面ABC,∴VA⊥BC.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測轉(zhuǎn)化思想在線線、線面、面面垂直中的應(yīng)用典例已知α,β,γ是三個(gè)不同的平面,l為直線,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求證:l⊥γ.分析根據(jù)直線和平面垂直的判定定理,可在γ內(nèi)構(gòu)造兩相交直線分別與平面α,β垂直;或者由面面垂直的性質(zhì)易在α,β內(nèi)作出平面γ的垂線,再設(shè)法證明l與其平行即可.證明:(方法一)在γ內(nèi)取一點(diǎn)P,作PA垂直α與γ的交線于點(diǎn)A,PB垂直β與γ的交線于點(diǎn)B,則PA⊥α,PB⊥β.∵l=α∩β,∴l(xiāng)⊥PA,l⊥PB.又PA∩PB=P,且PA?γ,PB?γ,∴l(xiāng)⊥γ.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(方法二)在α內(nèi)作直線m垂直于α與γ的交線,在β內(nèi)作直線n垂直于β與γ的交線,∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ.∴m∥n.又n?β,m?β,∴m∥β.又m?α,α∩β=l,∴m∥l.∴l(xiāng)⊥γ.方法點(diǎn)睛線線、線面、面面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,則(

)A.PD?平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD與平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC解析:∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD?平面PAB,∴PD⊥平面ABC.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.(多選題)對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個(gè)條件是(

)A.m⊥n,m⊥α,n⊥β B.m⊥n,α∩β=m,n?αC.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β解析:A中,α⊥β;B中,α與β相交但不一定垂直;C中,∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m?α,∴α⊥β;D中,α∥β.答案:AC探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.(2020四川高三二模)已知α,β是空間中兩個(gè)不同的平面,m,n是空間中兩條不同的直線,則下列說法