二次函數(shù)的對稱性與增減性

二次函數(shù)的對稱性與增減性第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六基礎知識點回顧二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)且a≠0)①此函數(shù)的對稱軸為直線_________（用a、b表示）②若函數(shù)圖象與x軸相交于點A（1，0）、B(5，0)，則對稱軸可表示為直線

；x=3③若函數(shù)圖象與x軸相交于點A（x1，0），B（x2，0），則對稱軸可表示為直線

；④若點(x1,n),(x2,n)在拋物線上，則拋物線的對稱軸可表示為_______第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六溫故知新探究總結1、拋物線的頂點坐標為（0，4），與x軸的一個交點坐標為M（－2，0），請寫出拋物線與x軸的另一個交點坐標N()2,0若拋物線上有一點A的坐標為(-1，3)，在拋物線上與A關于對稱軸對稱的點B的坐標是().1,3如果有一點C的橫坐標為x，則C點坐標怎么表示？C（）.y=-x2+4x,-x2+4在拋物線上與C點關于對稱軸對稱的點D的坐標是D（）-x,-x2+x總結：在拋物線上，關于對稱軸對稱的兩個點的特征縱坐標相等第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六2.如圖，拋物線頂點坐標為（3，4），它的圖象與x軸的一個交點坐標為M（1，0），請寫出拋物線與x軸的另一個交點坐標N()5,0若拋物線上有一點A的橫坐標為2，則A點坐標為().y=-(x-3)2+42,3在拋物線上與點A關于對稱軸對稱的點B的坐標是()4,3如果有一點C在拋物線上,橫坐標為x(x>3)，則C點坐標為C（）x,-(x-3)2+4在拋物線上，點D與點C關于對稱軸對稱，點D的坐標是(）6-x,-(x-3)2+4第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六明察秋毫快速反應如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值y與自變量x的對應值.x…-5-3-20356...y…2770-8-5716…找出拋物線上關于對稱軸對稱的兩點

。

寫出拋物線的對稱軸

。

拋物線與x軸的交點坐標是

。(-3,7)、(5,7)x=1(-2,0)、(4,0)拋物線上一點(m,n)關于對稱軸對稱的點為：

。(2-m,n)第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六幾個重要結論：1、拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線：

3、拋物線上兩個不同點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，則P1，P2兩點是關于拋物線對稱軸對稱的點，且這時拋物線的對稱軸是直線：2、若拋物線與軸的兩個交點是A(x1,0)，B(x2,0)，則拋物線的對稱軸是：第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六4、若已知拋物線與軸相交的其中一個交點是A(x1,0)，且其對稱軸是x=m，則另一個交點B的坐標可以用x1、m表示出來（注：應由A、B兩點處在對稱軸的左右情況而定，在應用時要畫出圖象）x2=2m-x1x2=2m-x1第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

5、拋物線上兩個不同點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有y1=y2，則P1，P2兩點是關于拋物線對稱軸對稱的點，0與x1+x2關于

對稱對稱軸如圖：第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六巧用“對稱性”化繁為簡拋物線y=a(x+1)2+2的一部分如圖所示,該拋物線在y軸右側部分與x軸交點的坐標是______(1,0)第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六(一)求點的坐標(函數(shù)值)1、如圖,拋物線的對稱軸是x=1,與x軸交于A、B兩點，B的坐標為（，0），則點A的坐標是______第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六2、已知關于x的方程ax2+bx+c=3的一個根為x1=2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸直線是x=2，則拋物線的頂點坐標是（）A．(2，-3)B．(2，1)C．(2，3)D．(3，2)C第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六3、拋物線y=ax2+2ax+a2+2的一部分如圖所示，那么該拋物線在y軸右側與x軸交點的坐標是()A．(0.5，0)B．(1，0)C．(2，0)D．(3，0)B第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六4、已知A(x1,2013),B(x2,2013)是二次函數(shù)y=ax2+bx+5(a≠0)的圖象上兩點,則當x=x1+x2時,二次函數(shù)的值是()A.5－B、5+C.2013D.5ABB(x1+x2,0)點O與點B關于點A對稱即：0與x1+x2關于對稱。D第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六5、若二次函數(shù)y=ax2+c，當x取x1，x2

（x1≠x2）時，函數(shù)值相等，則當x取x1+x2

時，函數(shù)值為（）A、a+cB、a－cC、－cD、cD0與x1+x2關于對稱。6、拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),則該拋物線上縱坐標為-8的另一點坐標是____(1，-8)第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六

1、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為（-1，-3.2）及部分圖象如圖，由圖象可知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根分別為x1=1.3，x2=_____(二)求方程的根-3.3第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六2、已知拋物線y=a(x-1)2+h(a≠0)與x軸交于A(x1,0)、B(3,0)兩點，則線段AB的長度為（）A．1 B．2 C．3 D．4D第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六(三)求代數(shù)式的值(函數(shù)值)1、拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸是直線x=1，且經(jīng)過點P（3，0），則a－b+c

的值為()A.0B.－1C.1D.2A若將對稱軸改為直線x=2，其余條件不變，則a+b+c=

.02、若y=ax2+5與x軸兩交點分別為（x1,0),(x2,0)，則當x=x1+x2時，y值為____5第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六(四)求函數(shù)解析式1、已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=2，且經(jīng)過點（1，4）和點（5，0），則該拋物線與x軸相交的另一個交點坐標為_____;函數(shù)解析式為

。(-1,0)2、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A（-1,0）、B（3,0），且函數(shù)有最小值-8，試求二次函數(shù)解析式.對稱軸x=1設解析式為y=a(x+1)(x-3)或y=a(x-1)2-8y=2x2-4x-6第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六(五)比較函數(shù)值的大小

1、小穎在二次函數(shù)y=2x2+4x+5的圖象上，依橫坐標找到三點(-1，y1),(0.5，y2),(-3.5，y3)則你認為y1，y2，y3的大小關系應為（）

A、y1>y2>y3B、y2>y3>y1

C、y3>y1>y2D、y3>y2>y1離對稱軸越近函數(shù)值越小D第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六2、設A(－2,y1)、B(1,y2)、C(2,y3)是拋物線y=－(x+1)2+m上的三點，則y1、y2、y3的大小關系為()A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2

C.y3>y2>y1D.y3>y1>y2離對稱軸越近函數(shù)值越大A離對稱軸越近函數(shù)值越小第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六1、如圖函數(shù)y=x2－x+m(m為常數(shù))的圖象如圖，如果x=a時，y＜0；那么x=a－1時，函數(shù)值（）A．y＜0 B．0＜y＜m

C．y＞mD．y=m1∴a-1<0m∴y>mCa(六)判斷命題的真?zhèn)蔚诙豁?，共三十七頁，編輯?023年，星期六2、老師出示了小黑板上的題后(如圖)，小華說：過點(3，0)；小彬說：過點(4，3)；小明說：a=1；小穎說：拋物線被x軸截得的線段長為2．你認為四人的說法中，正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于(1,0).試添加一個條件，使它的對稱軸為直線x=2.C拋物線過(1,0),(3,0)∴(1+3)÷2=2.小華正確拋物線過(0,3),(4,3)∴(0+4)÷2=2.小彬正確a=1時，0=1+b+3,b=-4小明正確被x軸截得的線段長為2∴拋物線過(1,0)、(-1,0)或過(1,0)、(3,0)小穎錯誤第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六巧用“對稱性”化線為點1、

求拋物線y=2x2-4x-5關于x軸對稱的拋物線。方法一：將一般形式化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+ky=2(x-1)2-7∴拋物線y=2x2-4x-5關于x軸對稱的拋物線的解析式為：y=-2(x-1)2+7開口向上變?yōu)殚_口向下頂點（1，-7）變?yōu)椋?,7）第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六點（x,y)關于x軸的對稱點為(x,-y)∴拋物線y=2x2-4x-5關于x軸對稱的拋物線解析式為：y=-2x2+4x+5∴y=-ax2-bx-c1、

求拋物線y=2x2-4x-5關于x軸對稱的拋物線。方法二：在拋物線y=ax2+bx+c上任取一點(x,y)∴拋物線y=ax2+bx+c關于x軸對稱的拋物線的解析式為：-y=ax2+bx+c若原拋物線是頂點形式：選用方法一簡便若原拋物線是一般形式：選用方法二簡便第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六2、求拋物線y=2x2-4x-5關于y軸對稱的拋物線。在拋物線上任取一點(x,y)，(x,y)關于y軸對稱的點為(-x,y)y=2x2-4x-5關于y軸對稱的拋物線位y=2×(-x)2-4×(-x)-5即：y=2x2+4x-5第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六在拋物線上任取一點(x,y)，(x,y)關于原點對稱的點為(-x,-y)3、求拋物線y=2x2-4x-5關于原點成中心對稱的拋物線。y=2x2-4x-5關于原點對稱的拋物線為-y=2×(-x)2-4×(-x)-5即：y=-2x2-4x+5第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六4、求拋物線y=2x2-4x-5繞著頂點旋轉180°得到的拋物線y=2(x-1)2-7化為頂點式：頂點坐標（1，-7）開口相反，頂點不變y=2x2-4x-5繞著頂點旋轉180°得到的拋物線為y=-2(x-1)2-7第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六“將軍飲馬”問題唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：

“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”作點A關于河流的對稱點A′A′B交河流于點P則AP+BP=A′B最短第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六巧用“對稱性”求距離和差最值如圖,拋物線y＝0.5x2＋bx－2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，頂點為D,且A(－1，0).若點M（m,0)是x軸上的一個動點，當MC＋MD的值最小時，求m的值．第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六若點N(n,0)是對稱軸上的一個動點，當NA＋NC的值最小時，求n的值.第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△ACQ周長最小？第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六二次函數(shù)專題訓練之增減性第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六yOx-1-212-33-112-21、若二次函數(shù)y=ax2+c，當x取x1,x2（x1≠x2）時，函數(shù)值相等，則當x取x1+x