期權(quán)和公司債務(wù)的定價(jià)

課程：專業(yè)英語(yǔ)專業(yè)：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)年級(jí)：2023級(jí)姓名：董南成績(jī)：期權(quán)和公司債務(wù)的定價(jià)費(fèi)希爾·布萊克（FischerBlack）邁倫.斯科爾斯（MyronScholes）如果期權(quán)能在市場(chǎng)中正確地定價(jià)，就有可能確定由期權(quán)及其標(biāo)的股票的多頭和空頭所構(gòu)造的資產(chǎn)組合的收益。運(yùn)用這個(gè)原理，可以推導(dǎo)出一個(gè)理論上的期權(quán)定價(jià)公式。因?yàn)閹缀跛械墓矩?fù)債都可以被視為期權(quán)的組合，推導(dǎo)期權(quán)的公式和分析也可用于諸如普通股、公司債券和權(quán)證等公司負(fù)債。特別地，公式可以用于推導(dǎo)可違約公司債券的貼現(xiàn)值。介紹期權(quán)是一種受制于一定條件，在指定的期限內(nèi)，賦予買入或賣出某種資產(chǎn)權(quán)利的保證。“美式期權(quán)”是一種可以在期權(quán)到期之前的任意時(shí)間行使的期權(quán)?！皻W式期權(quán)”是一種只能在一個(gè)未來(lái)指定的日期行使的期權(quán)。行使期權(quán)時(shí)資產(chǎn)支付的價(jià)格被稱為“行使價(jià)格”或“執(zhí)行價(jià)格”。期權(quán)可被行使的最后一天被稱為“截止日”或“到期日”。最簡(jiǎn)單的期權(quán)品種是賦予購(gòu)買單一普通股的權(quán)利。本文中大部分我們都是討論這種期權(quán)，這種期權(quán)常被歸為“看漲期權(quán)”。一般來(lái)說(shuō)，股票的價(jià)格越高，期權(quán)的價(jià)值就越大。當(dāng)股票價(jià)格遠(yuǎn)大于行使價(jià)格時(shí)，期權(quán)肯定會(huì)被行使。期權(quán)的現(xiàn)值因此也會(huì)近似等于股票的價(jià)格減去與期權(quán)有相同到期日、面值等于執(zhí)行價(jià)格的純貼現(xiàn)債券的價(jià)格。另一方面，如果股票的價(jià)格遠(yuǎn)小于行使價(jià)格，期權(quán)到期時(shí)不會(huì)被行使，它的價(jià)值近似為零。如果期權(quán)的截止日在非常遙遠(yuǎn)的未來(lái)，那么在到期日支付行使價(jià)格的債券的價(jià)格會(huì)非常低，期權(quán)的價(jià)值就近似等于股票的價(jià)格。在另一方面，如果到期日非常近，期權(quán)的價(jià)值就近似等于股票的價(jià)格減去行使價(jià)格，如果股票價(jià)格低于行使價(jià)格，期權(quán)的價(jià)值為零。通常地，如果股票的價(jià)值不變，期權(quán)價(jià)值隨到期日的接近而下降。這些期權(quán)價(jià)值和股票價(jià)格關(guān)系的一般性質(zhì)常用圖1中的圖形說(shuō)明。直線A代表期權(quán)的最大值，因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)值不會(huì)超過(guò)股票的價(jià)格。直線B代表期權(quán)的最小值，因?yàn)槠跈?quán)的價(jià)值不為負(fù)且不會(huì)小于股票的價(jià)格減去行使價(jià)格。直線依次代表到期日越來(lái)越短的期權(quán)的價(jià)值。亡一般尸地，拍代表減期權(quán)狀價(jià)值紗的曲蛛線是能向上晨凹的攔。由乎于它尖也位橡于4皂5度仗直線很A的斜下方瞧，我無(wú)們可洽以看勇到期茂權(quán)的麥變動(dòng)號(hào)比股慕票的奶更不跨穩(wěn)定桑。一跡個(gè)給灰定股趁票價(jià)尿格百艷分比及的變隆動(dòng)會(huì)捎導(dǎo)致右一個(gè)醫(yī)到期驢日恒盤定的寄期權(quán)謊的價(jià)存值更您大的兩變動(dòng)胖。然貌而，霜期權(quán)見(jiàn)的相鬼對(duì)變士動(dòng)性暖不是飾一個(gè)暴常數(shù)蘇，它煮依賴核于股京票的懂價(jià)格辱和到比期日險(xiǎn)。劉先前跌大部悔分有千關(guān)于僵期權(quán)辭定價(jià)蝶的工啟作都嶺是以洪權(quán)證脂的形返式表愚述的賺。例或如，慘Sp兇re浴nk掙le揭（1石96墓1）峽、A拖yr飾es潑（1燃96竊3）響、B至on駐es諸s（簡(jiǎn)19潛64伐）、瘡Sa測(cè)mu宿el均so槽n（鉛19框65蟻）、溪Ba筐um慢ol誦、M匠al丟ki獵el音和Q鵲ua罩nd鮮t（早19杰66攏）和農(nóng)Ch緒en問(wèn)（1滑97頑0）路都推裕導(dǎo)出駛同樣赴的定巡價(jià)公錄式的隊(duì)一般科形式嘩。然撈而，怨他們拌的公盛式都抓是不陽(yáng)完整幅的，怨因?yàn)橄人麄冾櫠紱](méi)傅有涉司及有咐一個(gè)避或多感個(gè)任討意參他數(shù)的魚情況均。選例如誤，S達(dá)pr先en造kl郵e的所期權(quán)承定價(jià)貢公式爪如下色：遲在這牌個(gè)表商達(dá)式扒中棍，史是股風(fēng)票價(jià)悠格，殘是行炒使價(jià)瓦格，廚是到煤期日滔，固是當(dāng)面前日薦期，畝是股什票回枝報(bào)的迎方差召率敵，滴是自猜然對(duì)糞數(shù)，份是累掘計(jì)正戶態(tài)密五度函孔數(shù)。恩但施和產(chǎn)是未弦知的葉參數(shù)熊。S倘pr路en局kl凈e（往19式61棚）定渠義孕為列當(dāng)權(quán)償證到章期時(shí)插股票猜價(jià)格待的期袖望值勞與股克票當(dāng)欲前價(jià)慈格的描比值接，賓是基貧于股某票風(fēng)冊(cè)險(xiǎn)的格一個(gè)興貼現(xiàn)惹因子濱。他岡嘗試倡以經(jīng)甩驗(yàn)估束計(jì)交和棋的值啦，但艷結(jié)果很發(fā)現(xiàn)愉他還脈是無(wú)倡能為宗力。聾更典嫩型地綠，S蓄am利ue浙ls盤on處（1限96刺5）莖有兩菜個(gè)未次知參波數(shù)脫和隸，其搭中悶是股春票的蛾期望諷回報(bào)征率，喚是權(quán)斜證的伶期望蝦回報(bào)泥率或依應(yīng)用當(dāng)于權(quán)確證的香貼現(xiàn)薪率。塔他假葬設(shè)當(dāng)甩權(quán)證何到期煌時(shí)股州票釋合理霞的秘價(jià)值咸分布蘆服從蒼對(duì)數(shù)券正態(tài)夏分布碼且在駁行使懼價(jià)格淡切斷渣分布籃并取頌這個(gè)卻分布筐的期最望值媽。隨賓后他從用貼歸現(xiàn)率癥將這槍個(gè)期絨望值浸貼現(xiàn)載至今庸。不忘幸地閣是，偏在資蝦本市兆場(chǎng)均曬衡的伶條件刊下似匯乎沒(méi)萬(wàn)有證旨券的鋪定價(jià)肺模型忍能用盈這個(gè)月合適梨的程常序確挑定權(quán)玉證的啄價(jià)值勿。淋在隨膨后的取論文冤中，偶Sa炎mu宿el滴so終n和屑Me侍rt槳on低（1升96鴉9）繩認(rèn)識(shí)貝到當(dāng)偶權(quán)證案行使員時(shí)貼陵現(xiàn)其靠可能敘價(jià)值悔分布祥的期抄望值惠不是經(jīng)合適澡的程銀序。忘他們雜進(jìn)一沖步發(fā)漲展了救將期率權(quán)價(jià)揪格看抹做股尼票價(jià)朵格函躺數(shù)的敏理論貌。他剖們還邁認(rèn)識(shí)偷到怠貼現(xiàn)排率在范某種女程度乳上是型由投己資者潑愿意泛持有撓的全第部股饑票與霞期權(quán)糞的應(yīng)換收賬第款這浪個(gè)必岸要條武件確獄定的具。但奧他們偏沒(méi)有蛙利用落投資話者也乓必須球持有宵其它稻資產(chǎn)鬧的事殼實(shí)，婚因此海影響父其貼岸現(xiàn)率則的期病權(quán)和滅股票慮的風(fēng)掀險(xiǎn)僅潔僅是畏無(wú)法話回避恢風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)的一章部分妥。他瑞們最艦終的絹公式取依賴酬于他源們所侄假設(shè)哭的典反型投哪資者浪的效柱用函岡數(shù)。箏Th平or璃p和鎮(zhèn)Ka畏ss獎(jiǎng)ou虛f（閑19榜67蠻）表掘述了盛我們士開(kāi)發(fā)寇模型缺的觀則念之為一。疏他們餃用實(shí)貢際權(quán)翻證價(jià)兔格的扁曲線幣模擬菠得到更了一兄個(gè)權(quán)啦證的拖經(jīng)驗(yàn)朋定價(jià)披公式糧。之氣后他新們利砍用這濟(jì)個(gè)公腰式計(jì)真算了酸用作塵對(duì)沖振的一彩個(gè)敗多頭耗和另懲一個(gè)義空頭幣的股攻票與首權(quán)證其的比籍例。段他們命沒(méi)有掩從事仍均衡冷的研特究，蜓即宮對(duì)沖店的回悄報(bào)應(yīng)免該等川于一棄項(xiàng)無(wú)忽風(fēng)險(xiǎn)勝資產(chǎn)犁的回爪報(bào)。潮我們達(dá)下面罵所展文示的雨是用煎均衡煤條件內(nèi)來(lái)推剝導(dǎo)理遷論上裙的定更價(jià)公臟式。部定價(jià)因公式豎為了俘能形根據(jù)杰股票解價(jià)格圈推導(dǎo)籮出期望權(quán)價(jià)逆值的右公式愛(ài)，我尚們假毫設(shè)一嘴些市叉場(chǎng)對(duì)葛于股拖票和鍋期權(quán)壓的循“川理想造條件殺”貼。歷短期捉利率屬是已哲知的豎且厭在整癢個(gè)時(shí)婚間段栽內(nèi)是大常數(shù)牛。白股票軌價(jià)格頓在連兄續(xù)的京時(shí)間曬內(nèi)隨辜機(jī)游催動(dòng)且放其方墾差瓶率根與股倉(cāng)票價(jià)統(tǒng)格的牌平方燕成比畢例。祥因此床在任阻意有我限匯時(shí)間因間距朵的細(xì)末端炒合理躲的斬股票屋價(jià)格翠分布鋒是對(duì)墻數(shù)正爬態(tài)的那。股候票回硬報(bào)的尖方差挺是常驗(yàn)數(shù)。理股票浪不支鐘付紅首利和菊其它詞的股墨利派戚發(fā)。曲期權(quán)心是燕“雜歐式際的及”懼，也妥就是翅說(shuō)它削只能拆在到黎期日改行使國(guó)。川買賣懷股票匪和期窄權(quán)是竊沒(méi)有但交易佛費(fèi)用紫。矮可用傷短期咳利率積借到器任意糕價(jià)格態(tài)單位賀的證么券買億進(jìn)或換持有轟。負(fù)短期鵝賣出職沒(méi)有黃處罰水金。博沒(méi)有蜻證券止的賣柳家直奉接接貧受買瞞家提頃供的魚證券失價(jià)格猴，且戴同意終將來(lái)切與買舟家進(jìn)除行清日算并會(huì)支付刷他與棒那天采證券緞價(jià)格貿(mào)相當(dāng)譯的魄一定劫數(shù)量授的弟證券菜。宜在這啞些假庫(kù)設(shè)下詠，期耍權(quán)的包價(jià)值嚇只依寺賴于辛股票色的價(jià)司格、捧時(shí)間商和已車知為勸常數(shù)科的變循量。淹因此匹，可咽以設(shè)嘗計(jì)一杏個(gè)由服股票假多頭鞋和期切權(quán)咸空頭稈組成刻的對(duì)茶沖策害略，外它的蒙價(jià)值明不依庸賴于白股票妻價(jià)格目，但翅依賴皂于時(shí)覽間和境一直即常數(shù)茂的值奔。記種為期右權(quán)的悟價(jià)值翁，它宮是股撤票價(jià)齊格下和時(shí)衡間窗的函肉數(shù)，珠相對(duì)般于一城股股訂票的凱多頭透期權(quán)止被賣荷空的食數(shù)量胡為：糾（1哪）粥在表求達(dá)式贏（1撓）中正，下譜標(biāo)表射示客的仁對(duì)第陽(yáng)一個(gè)何自變塵量的便偏導(dǎo)瘡數(shù)殿。竿為了去理解眠這個(gè)影不依吩賴于俗股票反價(jià)格蠅的對(duì)睬沖策芹略，俘注意瘦到當(dāng)倦股票司價(jià)格般變化榮很小吩時(shí)期太權(quán)價(jià)次值的影變化眨與股滋票價(jià)中格的槐變化拉的比岡例為遭。對(duì)歉于第樓一種嶄近似拴法，降如果閃股票俱價(jià)格感的變喬化量理為走，期李權(quán)價(jià)鋼格的奪變化桶量為湖，幅由表虎達(dá)式垃（1聲）給擴(kuò)出的幟期權(quán)蹈數(shù)量傅的變慕動(dòng)為擋。因速此，盞股票詠多頭塊的變庫(kù)動(dòng)值創(chuàng)將會(huì)咳近似螺地抵產(chǎn)消候期權(quán)眼空頭匹的變摸動(dòng)值體。爽當(dāng)跨變量欄和夕的竭變動(dòng)駛時(shí)塞，期階權(quán)被若賣空吐的數(shù)賀量仿隨股覽票對(duì)美沖策事略改摩變。身如果刮對(duì)沖棉是持襯續(xù)持騰有的賽，那愉么上攻文中穩(wěn)提到合的近嚷似法禍?zhǔn)菧?zhǔn)剃確的卻，且艘對(duì)沖巡策略雞的回衣報(bào)與塊股票耀的變趨動(dòng)值卸是完霸全獨(dú)宅立的巡。事妹實(shí)上鞏，做寧對(duì)沖省的回子報(bào)是賤確定撤的。怠為了地說(shuō)明憶對(duì)沖例策略杯的構(gòu)吼造，請(qǐng)我們絞考慮胞圖1寨中的際實(shí)心順線（壯）并只且假念設(shè)股微票價(jià)紀(jì)格以蟻$1創(chuàng)5.京00乏為起丟點(diǎn)，霸因此墳期權(quán)悟的價(jià)惑值就阻以$犬5.對(duì)00容為起因點(diǎn)。嗓同時(shí)張假設(shè)右直線網(wǎng)在那都點(diǎn)的晃斜率始為遙。這征意味粒著對(duì)卻沖策不略是呈買入篇一股屠股票蔽同時(shí)極賣出珠兩單瑞位期范權(quán)。韻一股懲股票燭花費(fèi)吐$1患5.聾00潤(rùn)，銷喂售兩報(bào)單位胳期權(quán)爐的收確入為濟(jì)$1閉0.役00釘，因仙此攏這個(gè)蔬策略粘的津收偵益臂為$爪5.農(nóng)00概。忠如果苦對(duì)沖壁策略格不隨佳股票療價(jià)格弱的改薄變而習(xí)改變農(nóng)，那概么在很有限蛛時(shí)間讓間距滴的末舒端灰的權(quán)迷益值億包含分了一合定的度不確脈定性己。假泄設(shè)兩登單位摘期權(quán)賣從$勇10掘.0球0漲衡到$即15觀.7言5同物時(shí)股恐票從筑$1預(yù)5.跨00負(fù)漲到妄$2獎(jiǎng)0.惱00販，或憲它們爭(zhēng)從$缸10旗.0碼0跌嶼到$賺5.爪75抹同時(shí)念股票高從$票15驕.0盲0跌倉(cāng)到$竹10疏.0丟0。染因此湊，當(dāng)勞股票乏價(jià)格贈(zèng)在正致負(fù)兩盟個(gè)方似向變弟動(dòng)$草5.六00嶺時(shí)院收先益麥從$換5.鑄00煎變?yōu)槿?4宅.2嶄5志。即沸當(dāng)股麥票價(jià)壟格在亦正負(fù)鄙兩個(gè)時(shí)方向清變動(dòng)處$5朽.0貌0時(shí)津收康益誼下降深了$察0.轟75左。霜另外伏，曲交線隨互期權(quán)循到期界日的餓改變談而轉(zhuǎn)桃換（冤如圖骨1中加由暑到卷）。眾結(jié)果駕期權(quán)禍價(jià)值桑的下歲降意碑味著芒股票門價(jià)格籍的大匹變動(dòng)到導(dǎo)致奪對(duì)沖幸的挽收套益惑增加威和可園能損巧失的飛抵消閉。蜘注意外到隨太著股割票價(jià)騙格的抹大變青動(dòng)緞收嫩益蜻的下戲降的紫幅度蛋很小醋。股扭票價(jià)落格變字動(dòng)值滔越小蒼，縫收坑益治的下祖降值囑與股豐票價(jià)仰格的餅變動(dòng)乖值之顯間的剃比例壟股票貝價(jià)格娘變動(dòng)冶值翠就越尤小。襯同時(shí)威也注初意到小收慎益減變動(dòng)難的方梢向與皆股票丸價(jià)格鬧變使動(dòng)的阿方向勻獨(dú)立悅的，簽這意刑味著碼在股腐票價(jià)窮格遵艇循連督續(xù)一捎個(gè)隨怨機(jī)游炒動(dòng)且原方差偏率踐為常撿數(shù)的劣假設(shè)駝下，旺收景益回肆報(bào)和費(fèi)股票集回報(bào)胞之間辟的協(xié)賢方差卸為零按。如饅果股決票價(jià)紡格和收“方市場(chǎng)艦投資速組合屈”溫的價(jià)鋸值遵差循一糠個(gè)協(xié)鋪方差馳為常潮數(shù)的庫(kù)聯(lián)合黑的連誓續(xù)隨秀機(jī)游坑動(dòng)，擴(kuò)它意航味著煩收勢(shì)益回緊報(bào)與孤市場(chǎng)魄回報(bào)疼之間由的協(xié)偷方差工為零碗。弟因此輕，如茫果能司不斷折調(diào)整底期權(quán)基的贏空頭考策略錯(cuò)可以通使對(duì)錄沖的震風(fēng)險(xiǎn)孤為零說(shuō)。如俗果這伏個(gè)策射略不廚能不個(gè)斷地嬌調(diào)整竹，風(fēng)記險(xiǎn)也駁較小粗，且授利用濤對(duì)沖切策略碑的投般資組估合也蓋能分仙散全高部的山風(fēng)險(xiǎn)旺。遭一般忌而言陵，由孝于對(duì)痰沖策冰略包音含一格股股乓票多龜頭和符單位偏期權(quán)腸的空關(guān)頭，止此策愛(ài)略的爬收財(cái)益值譯為：真（2銷）碼在短跟間隔盾上收質(zhì)益的示變動(dòng)誰(shuí)值為排：輕（3針）稅假設(shè)鴨空頭補(bǔ)策略跡不斷回地變麗動(dòng)，晨我們狀可以現(xiàn)利用地隨機(jī)瓣微積油分逮的知每識(shí)去霧展開(kāi)剖，即蒜如下臟：責(zé)桃筆匙宵派銹冠慶（最4）糕在（擁4）釋式中蠟，卡的下墾標(biāo)指打的是慎偏導(dǎo)田數(shù)，祖是股度票回墊報(bào)的遣方差煉率哨。將慶表達(dá)繡式（稍3）死代入磁（4酒）式翠，我尿們得資到對(duì)員沖策皆略的管收努益變炮動(dòng)值聽(tīng)為：創(chuàng)站（5后）羊由于醉對(duì)沖枕策略乏的辣收益烤回報(bào)蘿是確秘定的磚，回兔報(bào)必堅(jiān)須等蘿于宵。即謙使對(duì)薯沖策趨略不潮是不耽斷變拆動(dòng)的匯，風(fēng)盼險(xiǎn)也臥很小緞且全魚部都農(nóng)可以戶分散累，因腹此對(duì)旬沖策暴略的貓期望披回報(bào)乞就是柏短期站利率齊。逐否則框，套敲利者悠就會(huì)摩通過(guò)畝借入賤大量稼資金邀實(shí)施傍對(duì)沖幸策略忽并從征中獲旱利，途這個(gè)舟過(guò)程揭就會(huì)扒迫使眾回報(bào)猴下降厭至短豪期利胳率。碑因此制（5燙）式觸中收撤益的虎變動(dòng)扮必須脈等于螺（2兩）式非中的億收益較值乘淘上他。肝排鐘扔展珍赴孔（6嶄）抹消去喊兩邊喊的麥，重猾新整秩理，賢我們廟得到想一個(gè)鏈期權(quán)吐價(jià)值奶的微根分方航程。乓糧勻嚇托予好壘秒或（四7）海記擊為期兔權(quán)的華到期哪日，襲c為詞行使師價(jià)格錯(cuò)，我介們知緒道；肢淘蝕駝獲吼痛智攏（況8）船這是揚(yáng)受制表于邊技界條彎件（焦8）反滿足螺微分攻方程濟(jì)（7咽）的吃唯一倍公式沃。這勉個(gè)公劉式就匆是期具權(quán)定剪價(jià)公聚式。室為了智解出使這個(gè)惜微分多方程勸，我駝們作吼以下河的置漿換：介類際疏揪歲渾（嶄9）勸有了母這個(gè)橋置換吳，微室分方陣程字變?yōu)槭?；寸岡需拜膽驚夫服母稈章勺（斑10取）博并且賄邊界稀條件慕變?yōu)榭?jī)：端陽(yáng)行辮餅階攻（正11魔）梁微分復(fù)方程蠶（1加0）瓣是物刑理學(xué)答中的準(zhǔn)熱傳豬導(dǎo)方冶程，參它的孕解由個(gè)Ch圓ur等ch枕il馬l(朽19吸63烈,p雜15厲5)巖給出擦。換屢成我三們的現(xiàn)記號(hào)祥，方伙程的乎解為類;廁涌竿蕩愿(1歡2)漂將（騙12壯）式經(jīng)代入率（9除）式期，簡(jiǎn)伍化后岡，我罷們得釋到：虛藍(lán)（1孫3）陣在（攝13前）式嶺中，呆是累敘計(jì)正電態(tài)密傳度函采數(shù)。餃注意肆到股地票的閉期望斧回報(bào)崇沒(méi)有榆在（渴13妖）式竹中出追現(xiàn)。耍期權(quán)怕價(jià)值掏作為明股票降價(jià)格車的函泊數(shù)與劈股票牌回報(bào)良是獨(dú)吧立的播。然愧而，兇期權(quán)敗的期敞望回躍報(bào)榜將依心賴于含股票疼的期羽望回臂報(bào)。豬股票涂?jī)r(jià)格踩上漲蹄地越干快，燥期權(quán)瓣價(jià)格巖基于逢函數(shù)梢關(guān)系陵式（潮13垃）也碰就上衫漲地湊越快丈。激注意申到出謠現(xiàn)在號(hào)公式慘中的皮到期灰期章限熱只與反利率識(shí)或方剃差騾率套相乘馬。因亦此，去到期金期限梁的增滑加作蜻用于稻期權(quán)龍價(jià)值唯相當(dāng)筋于撞和鼻個(gè)百找分比拉的增版加。鐮Me