中學數(shù)學課程與教學中的函數(shù)及其思想

中學數(shù)學課程與教學中的函數(shù)及其思想

摘要：代數(shù)是中學數(shù)學課程中的重要內容，而函數(shù)又是代數(shù)的核心知識，也是學生學習代數(shù)的難點。從中學數(shù)學教科書中關于函數(shù)概念的幾種定義出發(fā)，討論了函數(shù)的本質和學習函數(shù)的要點以及課程設計的原則。關鍵詞：中學數(shù)學；課程；教學；函數(shù)Abstract:Algebraiscriticalcontentinsecondaryschoolmathematicscurriculumandthefunctionisthemostimportantpartofitandisalsodifficultforstudentstostudy.Theessenceofthefunction,themainpointsoflearningandtheprincipleofthedesignforcurriculumarediscussedindetailinthisessay,whichisbasedonthedefinitionsofthefunctionconceptinthemathematicstextbooksofsecondaryschools.KeyWords:secondaryschoolmathematics;curriculum;instruction;function20世紀以來，世界各國中學數(shù)學中關于代數(shù)的內容逐漸從以解方程為中心轉到以研究函數(shù)為中心。問：函數(shù)概念比較抽象，學生不容易理解，您是否可以談一談在數(shù)學教材編寫上如何處理這個問題？▲史教授：函數(shù)概念本身就不好理解，又是學生在數(shù)學學習過程中第一次遇到的一般意義的抽象概念，學生對其理解有困難是不言而喻的。國外關于函數(shù)教學的研究也表明了這一點：函數(shù)概念有許多復雜的層次和許多相關的下層概念。這樣，函數(shù)確實變成了中學數(shù)學中最難教、最難學的概念之一。因此，針對這樣的概念，我們不要期望一堂課或者幾堂課就能讓學生很好地理解，應當通過各種具體的例子和習題的分析幫助學生理解函數(shù)概念。至于函數(shù)概念的引入，一般來說有兩種處理辦法：一種是從一般到特殊，直接給出函數(shù)的概念，然后舉例加以說明；另一種是從特殊到一般，先舉一些學生熟悉的特殊例子，通過對這些例子的分析，抽象出函數(shù)的本質屬性，然后歸納出函數(shù)的定義。我想，在初中階段用后一種方法可能比較合適，而在高中階段用前一種方法可能比較合適。有了初中的基礎，在高中階段直接給出定義，可以與初中的定義比較，在差異中加深理解。問：為了加強對函數(shù)的理解，您認為在中學數(shù)學課程設計中還要注意哪些？

▲史教授：還要幫助學生樹立建立模型的思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗。在函數(shù)的重要性那里我已經(jīng)談到，函數(shù)是對現(xiàn)實世界數(shù)量關系的抽象，是具有一般性的，是建立數(shù)學模型的基礎。因此通過建立模型、分析模型、求解模型、解釋規(guī)律等過程，引導學生理解函數(shù)是一個好的學習途徑。一定要注意到，在建立模型的過程中，除了分析的方法之外，還有嘗試的方法，就是先用具體的數(shù)值計算一些特殊的情況，然后再歸納出一般的模型。比如雞兔同籠問題，可以先用具體的數(shù)計算一下，摸索頭的數(shù)與腿的數(shù)之間的關系，然后再尋求一般的結論。在這樣的學習過程中幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是重要的。要使學生在實踐活動中感悟：數(shù)學不僅僅需要演繹，也需要歸納。所謂歸納推理是指一類事物中，部分事物具有某種屬性，推斷這一類事物都具有這種屬性，這是一個由特殊到一般的過程。而演繹推理則恰恰相反，是從已有的事實出發(fā)，按照一定的法則進行推理，是從一般到特殊的過程?？梢韵胂?，前者利于推測結論，后者利于驗證結論，在數(shù)學的學習中，這二者缺一不可?？梢韵胂?，通過類似建立數(shù)學模型這樣的學習，可以培養(yǎng)學生的歸納能力，在實踐中應用函數(shù)，從而加深對函數(shù)的理解。問：函數(shù)和中學數(shù)學的其他內容有著密切的聯(lián)系，您認為在課程設計時應當如何協(xié)調好這些關系？▲史教授：關鍵要處理好函數(shù)與圖形的關系。正如萊布尼茨提出Function這個名詞時所思考的那樣，函數(shù)與圖形有著密不可分的關聯(lián)。一方面，只有借助圖形才能使毫無生機的數(shù)學符號變得形象，使得學生可以直觀地把握函數(shù)的特性，把握函數(shù)中系數(shù)的作用，分析函數(shù)的變化規(guī)律、函數(shù)的定義域、函數(shù)取正值或者負值的區(qū)間，等等；另一方面，借助平面直角坐標系，通過函數(shù)可以把代數(shù)與幾何有機地結合起來，可以讓學生感悟：有些幾何問題可以利用代數(shù)的方法進行研究，有些代數(shù)問題則可以利用幾何的直觀進行分析。根據(jù)這個理由，我想，雖然在課程標準中，平面直角坐標系是放在幾何部分闡述的，但是進行課程設計時可以根據(jù)需要，與函數(shù)同時出現(xiàn)。因為函數(shù)的知識、方法和思想是高中階段數(shù)學學習的基礎，所以在課程設計時還應當考慮知識的銜接和前后呼應。在高中數(shù)學教學大綱中，把立體幾何安排在第一學期，把三角函數(shù)安排在第二學期，如果在解決立體幾何問題時用到三角函數(shù)就會出現(xiàn)問題。特別是，學生在初中階段已經(jīng)接觸到函數(shù)了，到了高中可以趁熱打鐵。三、函數(shù)的教學問：您談到在函數(shù)的教學過程中應當使學生加深對函數(shù)的理解，您能否談得再詳細一些？▲史教授：一個好的教學應當能夠實現(xiàn)下面兩條：一是能夠引發(fā)學生思考、激發(fā)學生學習的興趣，另一是能夠培養(yǎng)學生良好的學習習慣、掌握有效的學習方法。簡單明了、切中要害的例子是幫助學生加深理解最好的媒介，一位好的教師應當掌握一些具體的例子，這樣在教學過程中可以根據(jù)學生的反映舉出簡單一些或者復雜一些的例子，引發(fā)學生思考，幫助學生理解。良好的學習習慣和有效的學習方法是需要日積月累的，有效的學習方法包括獨立思考、善于嘗試、能夠提出有意義的問題。所以我曾經(jīng)談到，在進行函數(shù)教學的過程中應當讓學生用具體的數(shù)試一試。剛才我已經(jīng)談到，函數(shù)與圖形的聯(lián)系是非常重要的，因此在教學過程中要利用圖形，在有條件的地方可以用計算機輔助教學。幾何畫板制作的教學課件可能會有助于學生對函數(shù)概念的直觀理解。問：學生對函數(shù)概念的學習有這樣一種現(xiàn)象，如求函數(shù)的定義域、值域等技巧性很強的問題解決得很好，但對函數(shù)概念的理解卻不是很深刻，請您談談這和教學是否有關系。▲史教授：你說的這種現(xiàn)象是存在的。形成這種現(xiàn)象的原因是多方面的，有考試的，有教學的，也有歷史文化方面的。記得有一篇文章談到：西方人主張“理解、理解、理解”，而我們則多半主張“練習、練習、練習”。［7］最近，我聽說有的學校要求學生：“一看就會，一做就對?！睘榱俗龅竭@一點，在課堂教學時就必須進行大量的解題訓練，甚至是相當繁雜題目的解題訓練。他們讓學生練習的目的不是為了加深對知識的理解，而是為了加強對技巧的掌握，是為了“熟能生巧”，認識只有通過這樣的訓練才能應付考試。他們的想法是不對的，在這種想法之下是不可能派生出好的教學的。應當知道，知識的理解往往是具有一般性的，可以舉一反三，可以再創(chuàng)造，技能的掌握則往往是個案的，需要親身經(jīng)歷，需要記憶。因此，幫助學生理解才是最重要的，因為理解必須經(jīng)過學生的獨立思考，才能使學生真正地掌握知識，從而能夠真正地掌握技巧，甚至發(fā)明技巧，才能以不變應萬變。我想，要求學生能夠熟練地回答問題是不必要的，時間長一點只要把問題做出來就可以了。不經(jīng)過思考的解題不是數(shù)學教學。另一方面，在教學活動中的大量重復訓練必然要破壞數(shù)學的趣味性，引起學生的反感，抑制學生的學習積極性，更談不到創(chuàng)新人才的培養(yǎng)了。你問到函數(shù)的定義域和值域。事實上，要理解函數(shù)就必須理解定義域和值域，因為這些是函數(shù)的基本概念。在一般情況下，根據(jù)問題的背景可以先得到定義域，然后通過函數(shù)的變化規(guī)律得到值域；在有些情況下，希望控制函數(shù)在某一個區(qū)間取值，于是就先得到了值域，然后反推定義域。通過練習，很好地理解定義域和值域，對于深入理解函數(shù)性質是很重要的。但是，那些在求定義域和值域中加了許多花樣的題目，不是在求定義域和值域，而是在進行代數(shù)方程的運算。這樣的技巧訓練，往往會破壞學生對函數(shù)的定義域和值域本身的理解，是不可取的。四、函數(shù)的學習問：函數(shù)通常有三種表示形式，這是不是造成學生學習函數(shù)困難的原因呢？應當如何理解函數(shù)的表示形式？▲史教授：我想，表示方法本身不應當是學生理解函數(shù)概念困難的主要原因。正如我剛才談到的，函數(shù)是學生在數(shù)學學習過程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念，在這個定義下可以派生出許許多多具體的函數(shù)。對于初中學生來說，對于這種多層次概念的理解是需要時間和經(jīng)驗積累的，如果在這個時候不能很好地處理函數(shù)的表達形式，必將引起學生的困惑。因此，在教學過程中，先不要忙于教三種表達形式，而要讓學生通過各種實例，逐漸熟悉了函數(shù)的對應關系之后，再適時地歸納出函數(shù)通常的三種表達形式。事實上，表達形式不是函數(shù)的本質，對應關系才是重要的。雖然函數(shù)通常有三種表達形式，但功能是有所區(qū)別的。解析式是最常用的方法，適用于表述連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù)，解析式有利于研究函數(shù)的性質、構建教學模型，但對初學者來說也是最抽象的；列表法適用于表述變量取值是離散的情況；利用圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài)，有利于分析函數(shù)的性質，但作圖是比較困難的。世間沒有十全十美的方法，可以根據(jù)討論問題的不同選擇恰當?shù)谋硎拘问健枺耗芊襻槍瘮?shù)概念的形式化，再談談學生學習函數(shù)時遇到的困難？▲史教授：這是一個非常普遍的問題。正如我剛才談到的，學生第一次接觸如此形式化的概念，感到困惑是自然的。應當注意到，初中階段是人的身心發(fā)育最為顯著的階段，也是形成人的基本觀念的重要階段，這個階段的學生開始希望自己獨立思考，并且有能力進行獨立思考了。正如皮亞杰說的那樣，十一二歲的兒童已經(jīng)到了形式操作階段，可以區(qū)分思維形式與思維內容，能夠運用假設進行各種邏輯推理）。我們的教學必須充分考慮到這一點，只要教學得當，學生是可以理解形式化的概念的。但這種形式化要建立在物理的背景之下，讓學生逐漸熟悉形式化的概念。對于學生來說，最難于理解的大概是形式化的反函數(shù)。這不僅僅是抽象的問題，還涉及辯證的思維。再有一個是變量的概念。研究表明，初中階段還有很大一部分學生不能用運動、變化的觀點來看待問題。但是變量是從算術提升到代數(shù)的關鍵，必須通過一些實例讓學生逐漸感悟：變量的研究具有一般性，這是建立數(shù)學模型的根本，也是數(shù)學的根本。不過，這些概念的形成必須引導學生自己逐漸感悟。只有到高中階段，學生才能對其所理解的概念，作出較全面的反應本質特征和屬性的合乎邏輯的定義。［8］參考文獻：［1］張奠宙，張廣祥.中學代數(shù)研究［M］.北京：高等教育出版社，［2］M·克萊因.古今數(shù)學思想［M］.上海：上?？萍汲霭嫔纾?］