運(yùn)籌學(xué)對(duì)策論

運(yùn)籌學(xué)對(duì)策論第一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三11.1引言Introduction第二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三對(duì)策論（gametheory）亦稱博弈論，是研究具有對(duì)抗或競(jìng)爭(zhēng)性質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論和方法，它既是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，也是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科。對(duì)策論中有一個(gè)重要的概念即對(duì)策行為，對(duì)策行為是指具有競(jìng)爭(zhēng)或?qū)剐再|(zhì)的行為，在這類行為中，參加斗爭(zhēng)或競(jìng)爭(zhēng)的各方各自具有不同的利益和目標(biāo)，各方需考慮對(duì)手的各種可能的行動(dòng)方案,并力圖選擇對(duì)自己最為有利或最為合理的方案

許多游戲具有特征：（1）有一定的規(guī)則（2）有一個(gè)結(jié)果（3）有可供選擇的策略（4）策略與利益相互依存12.1.1對(duì)策論概述12.1引言第三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三對(duì)策論，不同于日常游戲，它具有理論性，應(yīng)用的范圍也不局限于游戲。對(duì)策是一些個(gè)人、對(duì)組或其它組織，面對(duì)一定的環(huán)境條件，在一定的規(guī)則下，同時(shí)或先后從各自允許的行為或策略中進(jìn)行選擇并加以實(shí)施，各自取得相應(yīng)結(jié)果的過程。這些規(guī)則應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)、軍事、政治等領(lǐng)域也有類似的特征。例如，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)、經(jīng)營(yíng)決策、投資分析、價(jià)格制定、費(fèi)用分?jǐn)偂⒇?cái)政轉(zhuǎn)移支付、投標(biāo)與拍賣、對(duì)抗與追蹤、資源利用、談判、競(jìng)選、戰(zhàn)爭(zhēng)例如，戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的田忌賽馬、三國(guó)時(shí)代的曹不興濺墨畫蠅、曹操兵敗華容道、北宋時(shí)期的丁渭挖河修皇宮等都是對(duì)策論成功應(yīng)用的例子。12.1引言第四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三著名法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家泰勒爾（JeanTirole）說：“正如理性預(yù)期使宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)生革命一樣，對(duì)策論廣泛而深遠(yuǎn)地改變了經(jīng)濟(jì)學(xué)家的思維方式”。是研究決策主體的行為發(fā)生直接相互作用時(shí)的決策及這種決策的均衡問題。即它是研究聰明而又理智的決策者在沖突或合作中的策略選擇理論。它將成為當(dāng)代經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科的前沿領(lǐng)城。對(duì)策論就是研究對(duì)策行為中斗爭(zhēng)各方是否存在著最合理的行動(dòng)方案，以及如何找到這個(gè)合理方案的數(shù)學(xué)理論和方法。12.1引言第五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三一個(gè)對(duì)策需要3個(gè)基本要素：(1)局中人(players)(2)策略集(strategies)(3)得益函數(shù)（payoffs）

12.1.2對(duì)策三要素是一個(gè)局勢(shì)策略組全體局勢(shì)的集合S可用各局中人的策略集的迪卡爾集表示12.1引言第六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.1.3對(duì)策的結(jié)構(gòu)和分類12.1引言第七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【例12.1】1943年2月，日本統(tǒng)帥山本五十六大將計(jì)劃由南太平洋新不列顛群島的拉包爾出發(fā)，3天穿過俾斯麥海，開往新幾內(nèi)亞的萊城，支援困守的日軍。有兩條路線：北線和南線。盟軍統(tǒng)帥麥克阿瑟命令他麾下的太平洋戰(zhàn)區(qū)空軍司令肯尼將軍組織空中打擊。偵察機(jī)重點(diǎn)搜索有兩個(gè)方案：北線和南線。當(dāng)時(shí)未來3天中：北線陰雨，能見度差；南線晴天，能見度佳。日美雙方各自應(yīng)采用哪種方案12.1引言第八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三北線南線第九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三日軍盟軍北線（）南線()北線（）22南線（）13【解】局中人：盟軍、日軍；雙方策略：北線、南線，記為:盟軍的贏得矩陣如下：最優(yōu)策略是：,即都選擇北線。日軍艦隊(duì)受到重創(chuàng)，但未全殲。雙方選擇的策略是：在最不利中選擇最有利的策略。12.1引言第十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三囚徒的困境（二人非零和對(duì)策）－5，－50，－10－10，0－1，－1囚徒1囚徒2坦白不坦白坦白不坦白雙方如何采取對(duì)策使結(jié)果對(duì)自己最有利？12.1引言第十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【例12.2】雙寡頭削價(jià)競(jìng)爭(zhēng)（兩個(gè)廠商）100，10020，150150，2070，70亞貿(mào)中南高價(jià)低價(jià)高價(jià)低價(jià)類似地，廣告投資、采用新技術(shù)等方面，廠商之間常常耗資巨大，但不一定有利可圖的爭(zhēng)奪戰(zhàn)；對(duì)公共資源的掠奪式使用等問題。我們的目的是如何利用這種困境達(dá)到有利于社會(huì)，合理利用和開發(fā)公共資源，保護(hù)環(huán)境。12.1引言第十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三多寡頭削價(jià)競(jìng)爭(zhēng)（3個(gè)廠商:亞貿(mào),中南，中北)

）100，100，10020，150，20150，20，20130，130，20亞貿(mào)中南高價(jià)低價(jià)高價(jià)低價(jià)20，20，15020，130，130130，20，13070，70，70亞貿(mào)中南高價(jià)低價(jià)高價(jià)低價(jià)中北采用高價(jià)中北采用低價(jià)12.1引言第十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【例12.3】動(dòng)態(tài)對(duì)策：甲向乙借一萬元錢經(jīng)營(yíng)，甲許諾經(jīng)營(yíng)成功后分給乙總利潤(rùn)（4萬）的一半，乙是否借給甲？乙甲借不借乙分不分(2，2)(1，0)打乙不打(0，4)(1，0)(－1,0)有法律保障法律保障不足12.1引言第十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三下一節(jié)：納什均衡12.1引言第十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.2納什均衡NashEquilibrium第十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.2納什均衡Nash對(duì)對(duì)策論的貢獻(xiàn)有：（1）合作對(duì)策中的討價(jià)還價(jià)模型，稱為Nash討價(jià)還價(jià)解；（2）非合作對(duì)策的均衡分析。納什均衡（NashEquilibrium）假定有n個(gè)博弈方參加博弈，在給定其他博弈方策略的條件下，每個(gè)人選擇自己的最優(yōu)策略（個(gè)人最優(yōu)策略可能依賴也可能不依賴他人策略），一起構(gòu)成一個(gè)策略組合（StrategyProfile），而Nash均衡是這樣一種策略組合，由所有參與人的最優(yōu)策略組成，給定別人策略的條件下，沒有任何單個(gè)參與人有積極性選擇其他策略，從而沒有任何人有積極性打破這種均衡，Nash均衡是一種“僵局”：給定別人不動(dòng)的情況下，沒有人有興趣動(dòng)。約翰·納什(JohnF.Nash)

1928年生于美國(guó),1994年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)在非合作博弈的均衡分析理論方面做出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，對(duì)博弈論和經(jīng)濟(jì)學(xué)產(chǎn)生了重大影響12.2.1納什均衡定義第十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三另一種解釋：假定所有博弈方事先達(dá)成一項(xiàng)協(xié)議，規(guī)定每個(gè)人的行為規(guī)則，在沒有外在的強(qiáng)制力約束時(shí)，當(dāng)事人會(huì)自覺遵守這個(gè)協(xié)議，等于說這個(gè)協(xié)議構(gòu)成一個(gè)納什均衡：假定別人遵守協(xié)議的情況下，沒有人有積極性偏離協(xié)議規(guī)定的自己的行為規(guī)則。換句話說，如果一個(gè)協(xié)議不構(gòu)成納什均衡，它就不可能自動(dòng)實(shí)施，因?yàn)橹辽儆幸粋€(gè)參與人會(huì)違背此協(xié)議，不滿足Nash均衡要求的協(xié)議是沒有意義的。12.2納什均衡第十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三用G表示一個(gè)對(duì)策，若一個(gè)對(duì)策中有n個(gè)局中人，則每個(gè)局中人可選策略的集合稱為策略集，分別用S1，S2，…，Sn表示；Sij表示局中人i的第j個(gè)策略，其中j可取有限個(gè)值（有限策略對(duì)策），也可取無限個(gè)值（無限策略對(duì)策）；對(duì)策方i的得益則用hi表示；hi是各對(duì)策方策略的多元函數(shù)，n個(gè)局中人的對(duì)策G常寫成：【定義12.1】

在對(duì)策G={S1，S2…，Sn；h1，h2…h(huán)n}中，如果由各個(gè)對(duì)策方的各選取一個(gè)策略組成的某個(gè)策略組合（S1*，S2*…，Sn*）中，任一對(duì)策方i的策略Si*，都是對(duì)其余策略方策略的組合（S1*，…，S*i-1，S*i+1…，Sn*）的最佳策略，即hi（S1*，…，S*i-1，Si*，S*i+1…Sn*）≥hi（S1*，…，S*i-1，Sij，S*i+1…，Sn*）對(duì)任意Sij∈Si都成立，則稱（S1*，…，Sn*）為G的一個(gè)純策略“納什均衡”（NashEquilibrium）．G={S1，…，Sn；h1，…h(huán)n}12.2納什均衡第十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三各選取一個(gè)策略組成的某個(gè)策略組合構(gòu)成一個(gè)局勢(shì)，其最優(yōu)局勢(shì)稱為純策略意義下的最優(yōu)局勢(shì)．【例12.4】假設(shè)有三個(gè)廠商在同一市場(chǎng)上生產(chǎn)銷售完全相同的產(chǎn)品，它們各自的產(chǎn)量分別用m1、m2和m3表示，再假設(shè)m1、m2和m3只能取1、2、3……等正整數(shù)值．市場(chǎng)出清價(jià)格一定是市場(chǎng)總產(chǎn)量Q=m1+m2+m3的函數(shù)，假設(shè)該函數(shù)為：

不妨先假設(shè)三個(gè)廠商開始時(shí)分別生產(chǎn)3單位，9單位和6單位產(chǎn)量，這時(shí)三廠商是否滿意各自的產(chǎn)量，要從利潤(rùn)進(jìn)行分析．由于產(chǎn)量不能超過20，則第i個(gè)廠商的利潤(rùn)函數(shù)為12.2納什均衡第二十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三可算出在產(chǎn)量組合為（3，9，6）時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格為2，三廠商的利潤(rùn)分8，16和12，再作其它產(chǎn)量組合時(shí)亦會(huì)有不同的結(jié)果，如表12.2．

表12.2三廠商離散產(chǎn)量結(jié)合對(duì)應(yīng)價(jià)格和利潤(rùn)

m1m2m3pπ1π2π33962618123863924185564202024555525252533311333333633848242412.2納什均衡第二十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【定義12.2】在對(duì)策G={S1，…，Sn；h1，…，hn}中，局中人i的策略集為Si={Si1，…，Sik}，則他以概率分布pi=（pi1，…，pik）隨機(jī)在其k個(gè)可選策略中選擇的“策略”稱為一個(gè)混合策略，其中0≤pij≤1對(duì)j＝1，…，k都成立，且pi1+…+pik=1．

12.2.2混合策略納什均衡12.2納什均衡第二十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【定義12.3】如果一個(gè)策略G={S1，…，Sn，h1，…，hn}中，參予者i的策略集為Si={Si1，…，Sik}，如果由各個(gè)對(duì)策方的策略組成策略集合G*={S1*，S2*，…，Sn*}，其中都是對(duì)其余對(duì)策方策略組合的最佳策略，即∏i（S1*,S2*,…，Si-1*，Si*，…Sn*）≥∏i（S1*,S2*,…，Si-1*，Si*，…Sn*）對(duì)任意Sij∈Si都成立，則稱（S1*,…，Sn*）為G的一個(gè)混合策略納什均衡．12.2納什均衡第二十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三下一節(jié)：反應(yīng)函數(shù)法作業(yè)：教材P293T1012.2納什均衡第二十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.3反應(yīng)函數(shù)法第二十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.3反應(yīng)函數(shù)法當(dāng)?shù)靡媸菍?duì)策的多元連續(xù)函數(shù)時(shí)，求出每個(gè)對(duì)策方的反應(yīng)函數(shù)，而各個(gè)反應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)就是納什均衡【例12.5】設(shè)A，B兩廠家生產(chǎn)同樣產(chǎn)品，廠商A產(chǎn)量為q1，B產(chǎn)量為q2，市場(chǎng)總產(chǎn)量為Q=q1+q2，市場(chǎng)出清價(jià)格是市場(chǎng)總產(chǎn)量的函數(shù)P＝6－Q。設(shè)產(chǎn)品產(chǎn)量的邊際成本相等，C1=C2=2。求解兩廠商的納什均（假設(shè)產(chǎn)量連續(xù)可分）。分析：這是一個(gè)連續(xù)產(chǎn)量的古諾模型，不難看出，該對(duì)策中兩廠商各自的利潤(rùn)分別為各自的銷售收益減去各自成本，即：第二十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.3反應(yīng)函數(shù)法作反應(yīng)函數(shù)：(0,4)（0,2)(2,0)(4,0)(4/3,4/3)納什均衡：(4/3,4/3)第二十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.3反應(yīng)函數(shù)法【例12.6】考慮上述模型的另一種情況即各廠商所選擇的是價(jià)格而不是產(chǎn)量，假設(shè)產(chǎn)量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系為：其它條件不變，邊際成本為C1、C2，試求解其納什均衡。各自的策略空間為兩方的得益就是各自的利潤(rùn)第二十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.3反應(yīng)函數(shù)法利用得益函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)為0時(shí)有最大值，各自的反應(yīng)函數(shù)分別為：為該對(duì)策唯一的納什均衡第二十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.3反應(yīng)函數(shù)法【例12.7】設(shè)有3個(gè)農(nóng)戶一起放牧羊群，現(xiàn)有一可供大家自由放牧的草地，由于草地面積有限，只能供有限只羊群吃飽，否則就會(huì)影響到羊群的產(chǎn)出，假設(shè)每只羊的產(chǎn)出函數(shù)為成本C=8，且每個(gè)農(nóng)戶在決定自己放牧羊群數(shù)的時(shí)候并不知道其它農(nóng)戶的決策，試求出該決策問題的納什均衡?！窘狻扛鬓r(nóng)戶的得益函數(shù)分別為第三十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.3反應(yīng)函數(shù)法反應(yīng)函數(shù)因此該對(duì)策的納什均衡為（18，18，18）下一節(jié)：有限二人零和對(duì)策

作業(yè)：教材P293T9第三十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.4有限二人零和對(duì)策第三十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三矩陣對(duì)策就是二人有限零和對(duì)策。通常矩陣用來表示局中人1的贏得，局中人2的支付。12.4有限二人零和對(duì)策

用Ⅰ、Ⅱ表示兩個(gè)局中人，并設(shè)局中人Ⅰ有m個(gè)純策略，α1，α2，…，αm，局中人Ⅱ有n個(gè)純策略β1，β2，…，βn，則按對(duì)策論的相關(guān)要素定義，局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分別為：第三十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三可以算出，局中人Ⅰ、Ⅱ所構(gòu)成的策略組合共有m×n個(gè)，記局中人Ⅰ在策略（αi,βj）下的贏得aij，則Ⅰ在每個(gè)策略的贏得構(gòu)成一個(gè)矩陣當(dāng)局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集S1,S2及I的贏得矩陣確定后，一個(gè)矩陣對(duì)策就給定了．通常將矩陣對(duì)策記為：

12.4有限二人零和對(duì)策

第三十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.4.1數(shù)學(xué)定義12.4有限二人零和對(duì)策

稱A為局中人Ⅰ的贏得矩陣（或?yàn)棰虻闹Ц毒仃嚕?，由于?duì)策為零和的，故局中人Ⅱ的贏得矩陣為－A。矩陣對(duì)策記為第三十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三成立，，則稱VG為對(duì)策G的值，對(duì)應(yīng)的策略組合

12.4.2純策略矩陣對(duì)策【定義12.4】設(shè)G={S1，S2；A}為矩陣對(duì)策，其中S1={α1，α2，…，αn}，S2={β1，β2，…，βn}，若等式稱為該對(duì)策的納什均衡．12.4有限二人零和對(duì)策

第三十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【例12.8】求解矩陣對(duì)策，其中則有對(duì)策G的解為：【解】12.4有限二人零和對(duì)策

第三十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【定理12.1】矩陣對(duì)策G={S1，S2；A}在純策略定義下有納什均衡的充要條件是：存在策略組合使得對(duì)一切i=1，…，m,j=1，…，n,均有：

矩陣對(duì)策在純策略意義下有解且VG=ai*j*的充要條件是：ai*j*是A的鞍點(diǎn)，在對(duì)策論中，矩陣A的鞍點(diǎn)也稱為對(duì)策的鞍點(diǎn)．

12.4有限二人零和對(duì)策

第三十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【定義5】設(shè)f(x，y)為一個(gè)定義在x∈A及y∈B上的實(shí)函數(shù)，如果存在x*∈A及y*∈B,使得對(duì)一切x∈A及y∈B有則稱為函數(shù)f的有關(guān)鞍點(diǎn)。矩陣對(duì)策在純策略意義下的解且的充要條件是是A的鞍點(diǎn)。12.4有限二人零和對(duì)策

第三十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【解】直接在贏得表上計(jì)算，有

可知=5，i*=1,3，j*=2,4．故（α1，β2）（α1，β4）（α2，β2）（α2，β4）為對(duì)策的納什均衡，VG=5．12.4有限二人零和對(duì)策

【例12.9】設(shè)有矩陣對(duì)策G={S1，S2；A}，贏得矩陣為求納什均衡第四十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【性質(zhì)12.1】無差別性．若和為G的兩個(gè)解，則：【性質(zhì)12.2】可交換性．若和為G的兩個(gè)解，則以上方法也稱“上策均衡法”(Dominant-strategeEqyilibrium)12.4有限二人零和對(duì)策

也是對(duì)策的解．及第四十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【例12.10】

甲、乙兩個(gè)企業(yè)同時(shí)生產(chǎn)一種電子產(chǎn)品（假設(shè)市場(chǎng)上只有這兩家，為一雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)局面），兩個(gè)企業(yè)都想通過改革管理獲取更多的銷售份額，甲企業(yè)的策略措施有：（1）降低產(chǎn)品價(jià)格；（2）提高產(chǎn)品質(zhì)量；（3）推出新產(chǎn)品．乙企業(yè)措施為：（1）增加廣告費(fèi)用；（2）增設(shè)網(wǎng)點(diǎn)；（3）改進(jìn)產(chǎn)品性能，通過預(yù)測(cè)，兩個(gè)企業(yè)市場(chǎng)份額變動(dòng)情況如表12－4所示，試確定最優(yōu)策略．

乙企業(yè)123min甲企業(yè)112－13－1213103335855*max13105*

【解】則對(duì)策最優(yōu)解為VG=5，納什均衡為（α3，β3）．甲企業(yè)采用推出新產(chǎn)品策略，乙企業(yè)采用改進(jìn)產(chǎn)品性能策略，結(jié)果甲企業(yè)贏得5％的市場(chǎng)份額．12.4有限二人零和對(duì)策

第四十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.4.3混合策略矩陣對(duì)策純策略矩陣對(duì)策的滿足納什均衡是滿足局中人Ⅰ有把握的至少贏得是局中人Ⅱ有把握的至多損失即：

當(dāng)V1≠V2時(shí)，這時(shí)不存在純策略意義下的納什均衡。

田忌齊王上中下上下中中上下中下上下上中下中上上中下3，－31，－11，－11，－1－1，11，－1上下中1，－13，－31，－11，－11，－1－1，1中上下1，－1－1，13，－31，－11，－11，－1中下上－1，11，－11，－13，－31，－11，－1下上中1，－11，－11，－1－1，13，－31，－1下中上1，－11，－1－1，11，－11，－13，－312.4有限二人零和對(duì)策

第四十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三利用最大最小和最小最大原則，發(fā)現(xiàn)不存在使得成立的點(diǎn)．12.4有限二人零和對(duì)策

第四十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三例：對(duì)局中人1來說，v1=－2，i*=2，對(duì)局中人2來說，v2=3，j*=1，v1≠v2。沒有鞍點(diǎn)?！径x12.6】設(shè)矩陣對(duì)策，其中記12.4有限二人零和對(duì)策

第四十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三則分別稱為局中人Ⅰ、Ⅱ的混合策略集；、分別稱為局中人1、2的混合策略，為一個(gè)混合局勢(shì)。稱為G的混合擴(kuò)充。E是贏得期望值?！径x】當(dāng)時(shí)，稱為局中人Ⅰ、Ⅱ在混合策略中的納什均衡。稱為局中人Ⅰ在選取混合策略S*1時(shí)的贏得函數(shù)

【定理12.2】矩陣對(duì)象G={S1，S2；A}在混合策略意義下有解的充要條件是：存在x*∈S1*，y*∈S2*，使（x*，y*）為函數(shù)E（x，y）的一個(gè)鞍點(diǎn)，即對(duì)一切x∈S1*，y∈S2*有E（x，y*）≤E（x*，y*）≤E（x*，y）12.4有限二人零和對(duì)策

第四十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【例12.11】考慮矩陣對(duì)策G={S1，S2；A}，其中局中人1的贏得期望值：取，滿足試求納什均衡．

【解】純策略納什均衡不存在．設(shè)x=（x1，x2）為局中人Ⅰ的混合策略，y=(y1，y2)為局中人Ⅱ的混合策略，則：12.4有限二人零和對(duì)策

第四十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三分別為局中人Ⅰ和Ⅱ的最優(yōu)策略．即該對(duì)策的納什均衡。

12.4.4納什均衡存在定理【定理12.3】設(shè)x*∈S1*，y*∈S2*,則（x*，y*）為對(duì)策G的納什均衡的條件是：對(duì)任意i=1,…，m，j=1,…，n，有E(i,y*)≤E(x*,y*)≤E(x*,j)其中：12.4有限二人零和對(duì)策

第四十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【定理12.4】設(shè)x*∈S1*，y*∈S2*，則（x*，y*）是對(duì)策G的納什均衡的充要條件是：存在數(shù)V，使得x*，y*分別滿足：且V=VG.【定理12.5】對(duì)任一矩陣對(duì)策G={S1，S2；A}，一定存在混合策略意義下的納什均衡．12.4有限二人零和對(duì)策

第四十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【定理12.6】設(shè)（x*，y*）為矩陣對(duì)策G的一個(gè)納什均衡，V=VG，則(1)若xi*＞0，則

(2)若yi*＞0，則

(3)若，則

(4)若,則12.4有限二人零和對(duì)策

例第五十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.4有限二人零和對(duì)策

【定理12.7】設(shè)有兩個(gè)矩陣對(duì)策G1={S1，S2；A},G2={S1，S2；αA}則(1)VG2=αVG1(2)T(G1)=T(G2)其中α＞0為一常數(shù)，T(G1)、T(G2)為兩個(gè)對(duì)策的解集合第五十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三1.優(yōu)超原則法【例12.12】設(shè)贏得矩陣A為:求納什均衡．

【解】第4行優(yōu)于第1行，第3行優(yōu)于第2行，故可劃去第1行和第2行，得到新的贏得矩陣，x1=x2=012.4有限二人零和對(duì)策

12.4.5矩陣對(duì)策求解方法“嚴(yán)格下策反復(fù)消去法”(IteratedEliminationofStrictly

DominatedStrategies)第五十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三對(duì)于A1第1列優(yōu)于第3列，第2列優(yōu)于第4列，(1/2)×（第1列）+(1/2)×（第2列）優(yōu)超于第5列，因此去掉第3列，第4列和第5列，y3=y4=y5=0，得到A2：

又由于第1行優(yōu)超于第3行，所以從A2中劃去第3行，x5=0，得到A3，解方程組：該矩陣對(duì)策的納什均衡為：

VG=4.8

12.4有限二人零和對(duì)策

第五十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三2.線性方程組法若最優(yōu)策略中和均不為零時(shí)，有

12.4有限二人零和對(duì)策

【例12.14】求解矩陣對(duì)策【解】建立方程組求解得：x=(0.525，0.275，0.2),y=(0.2，0.05，0.75);VG=－0.45第五十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三3.線性規(guī)劃方法任意矩陣對(duì)策的求解均等價(jià)于一對(duì)互為對(duì)偶的線性規(guī)劃問題，而定理12.4表明，對(duì)策G的解等價(jià)于下面兩個(gè)不等式的解．【定理12.9】設(shè)矩陣對(duì)策的值為v，則：

12.4有限二人零和對(duì)策

第五十五頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三則局中人Ⅰ、Ⅱ的最優(yōu)策略等價(jià)于線性規(guī)劃問題：

12.4有限二人零和對(duì)策

第五十六頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三令有局中人Ⅰ：12.4有限二人零和對(duì)策

第五十七頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三同理,令有局中人Ⅱ：12.4有限二人零和對(duì)策

第五十八頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三【例12.12】利用線性規(guī)劃方法求解贏得矩陣為

的矩陣對(duì)策的納什均衡．【解】此問題可化為兩個(gè)互為對(duì)偶的線性規(guī)劃問題：12.4有限二人零和對(duì)策

第五十九頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三最優(yōu)解：X＝(0.1065，0.1448，0.0437),Y＝(0.1093，0.1038，0.0819)；w＝0.29508．利用變換

得到x*=(0.36，0.49，0.15)，y*=(0.37，0.35，0.28)；v=3.3912.4有限二人零和對(duì)策

第六十頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三下一節(jié)：有限二人非零和對(duì)策

12.4有限二人零和對(duì)策

作業(yè)：教材P292T3、4、5、6、8第六十一頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.5有限二人非零和對(duì)策第六十二頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.5有限二人非零和對(duì)策12.5.1數(shù)學(xué)定義【例11.16】市場(chǎng)上有兩企業(yè)生產(chǎn)同樣商品，甲企業(yè)與乙企業(yè)的贏得矩陣分別為矩陣A1和A2合并為雙矩陣依然在混合擴(kuò)充意義下考慮有限二人非零和對(duì)策，記局中人1的混合策略為x，局中人2的混合策略為y，相應(yīng)的策略集記為第六十三頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.5有限二人非零和對(duì)策【定義12.8】對(duì)于某個(gè)有限二人非零和對(duì)策，其局中人1的贏得（混合策略下）為局中人2的贏得為第六十四頁，共七十四頁，編輯于2023年，星期三12.5有限二人非零和對(duì)策12.5.2有限二人非零和對(duì)策納什均衡分別是局中人1和2的贏得，，和如果有一對(duì)策略為任意策略，滿足則稱為該對(duì)策的納什均衡，稱為對(duì)策的納什均衡解（或贏得）【定理12.10】（納什定理）任何矩陣對(duì)策及有限二人非零和對(duì)策至少有一個(gè)納什均衡【定義12.9】在有限二人非零和