浙江省溫州市鰲江鎮(zhèn)第四中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

浙江省溫州市鰲江鎮(zhèn)第四中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.A、

B、

C、

D、參考答案：B略2.設(shè)正弦函數(shù)y=sinx在x=0和x=附近的平均變化率為k1，k2，則k1，k2的大小關(guān)系為（）A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1=k2 D．不確定參考答案：A【考點(diǎn)】62：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】根據(jù)平均變化率列出相應(yīng)的式子，在討論自變量的情況下，比較兩個(gè)數(shù)的大?。窘獯稹拷猓寒?dāng)自變量從0到0+△x時(shí)，k1==，當(dāng)自變量從到+△x時(shí)，k2==當(dāng)△x＞0時(shí)，k1＞0，k2＜0即k1＞k2；當(dāng)△x＜0時(shí)，k1﹣k2=﹣=∵△x＜0，△x﹣＜﹣，sin（△x﹣）＜﹣，sin（△x﹣）+1＜0，∴k1＞k2綜上所述，k1＞k2．故選A．3.設(shè)則二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)是（

）A.24 B.

C.48 D.參考答案：A略4.若不等式,對(duì)一切x恒成立,則a的取值范圍是A．

B．(-2,2]

C．(-2,2)

D．(參考答案：B5.古印度“漢諾塔問題”：一塊黃銅平板上裝著A，B，C三根金銅石細(xì)柱，其中細(xì)柱A上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤，大的在下、小的在上.將這些盤子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上，移動(dòng)規(guī)則如下：一次只能將一個(gè)金盤從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上，不允許將較大盤子放在較小盤子上面.若A柱上現(xiàn)有3個(gè)金盤（如圖），將A柱上的金盤全部移到B柱上，至少需要移動(dòng)次數(shù)為（

）A.5 B.7 C.9 D.11

參考答案：B【分析】設(shè)細(xì)柱上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為，則，利用該遞推關(guān)系可求至少需要移動(dòng)次數(shù).【詳解】設(shè)細(xì)柱上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤，至少需要移動(dòng)次數(shù)記為.要把最下面的第個(gè)金盤移到另一個(gè)柱子上，則必須把上面的個(gè)金盤移到余下的一個(gè)柱子上，故至少需要移動(dòng)次.把第個(gè)金盤移到另一個(gè)柱子上后，再把個(gè)金盤移到該柱子上，故又至少移動(dòng)次，所以，，故，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，要求根據(jù)問題情境構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，從而解決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.6.某班要從A，B，C，D，E五人中選出三人擔(dān)任班委中三種不同的職務(wù)，則上屆任職的A，B，C三人都不連任原職務(wù)的方法種數(shù)為（）A．30 B．32 C．36 D．48參考答案：B【考點(diǎn)】D3：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【分析】這是一道排列組合問題，可按三人中含A，B，C的人數(shù)進(jìn)行分類，分情況討論．由題意知選出的三人中A，B，C至少含有一人，因此按含1人，含2人，含3人三種情況分別求解．在求解時(shí)應(yīng)先考慮A，B，C被選中的人的安排，再考慮剩下的人的安排．【解答】解：分類：若ABC全選，則有2種；若ABC選兩個(gè)，則有=18種；若ABC選一個(gè)，則有=12種．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得共2+18+12=32種方法．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合問題，解排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時(shí)要先考慮有限制條件的元素．分類與枚舉是計(jì)數(shù)原理中重要的方法，分類要求標(biāo)準(zhǔn)清晰，不重不漏．7.在△abc中，若sina∶sinb＝2∶5，則邊b∶a等于()．a(chǎn)．2∶5或4∶25

b．5∶2

c．25∶4

d．2∶5參考答案：B8.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（

）A.2 B. C.5 D.參考答案：D【分析】由已知可得，求出，再由模長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘除法間的關(guān)系、乘法運(yùn)算以及模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題.9.橢圓與圓（為橢圓半焦距）有四個(gè)不同交點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.已知空間四邊形中，，對(duì)角線的中點(diǎn)分別為，則＝（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的恒有，已知當(dāng)時(shí)，，則其中所有正確命題的序號(hào)是_____________。

①2是函數(shù)的周期；②函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

③函數(shù)的最大值是1，最小值是0；④當(dāng)時(shí)，。參考答案：①②④略12.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，則b=．參考答案：5【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知利用三角形面積公式可求c的值，根據(jù)余弦定理即可求b的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2=acsinB=，可得：ac=4，∴c=4，∴b===5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．13.過點(diǎn)（1，0）作傾斜角為的直線與y2=4x交于A、B，則AB的弦長(zhǎng)為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出過點(diǎn)（1，0）作傾斜角為的直線方程，與y2=4x聯(lián)立方程組，求出A點(diǎn)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，由此能求出AB的弦長(zhǎng)．【解答】解：過點(diǎn)（1，0）作傾斜角為的直線方程為：y=tan（x﹣1）=﹣，聯(lián)立方程組，得3x2﹣10x+3=0，解得，或，∴|AB|==．故答案為：．14.若命題“，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：或15.若函數(shù)是上的減函數(shù),則的取值范圍為

.參考答案：16.已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則在點(diǎn)處的切線方程為＿.參考答案：

17.已知冪函數(shù)的圖象過（4，2）點(diǎn)，則__________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，且.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)M且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，試問x軸上是否存在異于M的定點(diǎn)P，使PM平分？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案：（1）由，得又，知是等腰直角三角形，從而，所以橢圓的方程是.（2）設(shè)，，直線的方程為由得,所以

①，②若平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)，所以,設(shè)，則有，將，代入上式，整理得，將①②代入得，由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以.綜上，存在定點(diǎn)，使平分平分.19.已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點(diǎn)，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．（1）當(dāng)x=2時(shí)，①求證：BD⊥EG；②求二面角D﹣BF﹣C的余弦值；（2）三棱錐D﹣FBC的體積是否可能等于幾何體ABE﹣FDC體積的一半？并說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（1）①：過D點(diǎn)作EF的垂線交EF于H，連接BH，由已知得四邊形ADHE是正方形，四邊形EHGB是正方形，由此能證明BD⊥EG．②以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EF為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D﹣BF﹣C的余弦值．（2）由已知得三棱錐D﹣BCF的體積為V===，VABE﹣FDC=VABE﹣DGH+VD﹣HGCF=＞2V，從而棱錐D﹣FBC的體積不可能等于幾何體ABE﹣FDC體積的一半．【解答】（1）①證明：過D點(diǎn)作EF的垂線交EF于H，連接BH．如圖．∵AE=AD=2且AE∥DH，AD∥EF，∠A=．∴四邊形ADHE是正方形∵EH=2∴四邊形EHGB是正方形即：BH⊥EG（正方形對(duì)角線互為垂直）∵△BDH所在平面⊥平面EHGB，∴EG⊥△BDH所在平面即：BD⊥EG．②解：以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EF為y軸，EA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，B（2，0，0），F(xiàn)（0，3，0），D（0，2，2），C（2，4，0），=（﹣2，3，0），=（﹣2，2，2），設(shè)平面BDF的法向量=（x，y，z），則，取x=3，得=（3，2，1），又平面BCF的法向量=（0，0，1），cos＜＞===．∴二面角D﹣BF﹣C的余弦值為．（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE?平面AEFD．∴AE⊥面EBCF．結(jié)合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，∴四邊形AEHD是矩形，得DH=AE，故以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐D﹣BCF的高DH=AE=x，又∵S△BCF=BC?BE==8﹣2x．∴三棱錐D﹣BCF的體積為V===，VABE﹣FDC=VABE﹣DGH+VD﹣HGCF===＞2V，∴棱錐D﹣FBC的體積不可能等于幾何體ABE﹣FDC體積的一半．【點(diǎn)評(píng)】本題給出平面折疊問題，求證直線與直線垂直，求體積的最大值并求此時(shí)異面直線所成角大?。乜疾榱嗣婷娲怪钡男再|(zhì)定理、線面垂直的判定與性質(zhì)和異面直線所成角大小的求法等知識(shí)，屬于中檔題．20.（本小題滿分14分）設(shè).

（1）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，且，若在上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（1）由已知得：，

…1分

要使在其定義域?yàn)閱握{(diào)遞增函數(shù)，只需，即在上恒成立，

顯然，且的對(duì)稱軸為，…2分故，解得.

…4分（2）原命題等價(jià)于在上有解，

…6分設(shè)

…8分在上是增函數(shù)，

，

…10分解得，的取值范圍是.

…12分

21.新高考，取消文理科，實(shí)行“3+3”，成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)統(tǒng)一高考成績(jī)和自主選考的3門普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成.為了解各年齡層對(duì)新高考的了解情況，隨機(jī)調(diào)查50人（把年齡在[15,45)稱為中青年，年齡在[45,75)稱為中老年），并把調(diào)查結(jié)果制成下表：年齡（歲）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)頻數(shù)515101055了解4126521

（1）分別估計(jì)中青年和中老年對(duì)新高考了解的概率；（2）請(qǐng)根據(jù)上表完成下面2×2列聯(lián)表，是否有95%的把握判斷對(duì)新高考的了解與年齡（中青年、中老年）有關(guān)？

了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年

中老年

總計(jì)

附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828

（3）若從年齡在[55,65)的被調(diào)查者中隨機(jī)選取3人進(jìn)行調(diào)查，記選中的3人中了解新高考的人數(shù)為X，求X的分布列以及.參考答案：（1）；（2）見解析，有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián)；（3）分布列見解析，.【分析】（1）分別求出中青年、中老年對(duì)高考了解的頻數(shù)，即可求出概率；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，求出的觀測(cè)值，對(duì)照表格，即可得出結(jié)論；（3）年齡在的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值為0，1，2，分別求出概率，列出隨機(jī)變量分布列，根據(jù)期望公式即可求解.【詳解】（1）由題中數(shù)據(jù)可知，中青年對(duì)新高考了解的概率，中老年對(duì)新高考了解的概率.（2）列聯(lián)表如圖所示

了解新高考不了解新高考總計(jì)中青年22830老年81220總計(jì)302050

，所以有95%的把握判斷了解新高考與年齡（中青年、中老年）有關(guān)聯(lián).（3）年齡在的被調(diào)查者共5人，其中了解新高考的有2人，則抽取的3人中了解新高考的人數(shù)可能取值為0，1，2，則；；.所以的分布列為012

.【點(diǎn)睛】本題考查概率、獨(dú)立性檢驗(yàn)及隨機(jī)變量分布列和期望，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.22.（本小題14分）過曲線上一點(diǎn)作曲線的切線交軸于點(diǎn)，又過作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，然后再過作曲線的切線交軸于點(diǎn)，又過作軸的垂線交曲線于點(diǎn)，，以此類推，過點(diǎn)的切線與軸相交于點(diǎn)，再過點(diǎn)作軸的垂線交曲線于點(diǎn)（N）．(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)曲線與切線及直線所圍成的圖形面積為，求的表達(dá)式；(3)在滿足(2)的條件下,若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：。參考答案：(1)解:由，設(shè)直線的斜率為，則.∴直線的方程為.令，得，

……2分∴，∴.∴.∴直線的方程為.令，得.

……4分一般地，直線的方程為，由于點(diǎn)在直線上，∴.∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.∴.

……6分（2）解：

.

……8分.

……10分

（3）證明：

，.

要證明，只要證明，即只要證明.