遼寧省大連市第五高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

遼寧省大連市第五高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集，集合，，則為A.{1,2,4}

B.{2,3,4}

C.{0,2,4}

D.{0,2,3,4}參考答案：C2.（5分）已知，則下列說法不正確的是（）A．若，則sin（α﹣θ）=0B．若，則cos（α﹣θ）=0C．D．與的夾角為|α﹣θ|參考答案：D∵，∴若，則cosθsinα﹣sinθcosα=0，∴sin（α﹣θ）=0，故A正確；∵，∴若，則cosθcosα+sinθsinα=0∴cos（α﹣θ）=0，故B正確；∵，∴=1，=1，∴﹣=（）（）=0，∴（）⊥（），故C正確；∵，∴cos＜＞==cos＜θ﹣α＞，∴與的夾角為|θ﹣α|，或π﹣|θ﹣α|．故D不成立．故選D．3.已知邊長為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點(diǎn)，以AD為折痕進(jìn)行翻折，使∠BDC為直角，則過A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為（

）A．3π

B．4π

C.5π

D．6π參考答案：C4.已知函數(shù)，若a、b、c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，則的取值范圍是（

）

A．(1，2017) B．(1，2018)

C．[2，2018] D．(2，2018)參考答案：D設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故．又，，，也就是．如圖，因有3個(gè)不同的解，所以，故，故，選D．

5.有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：

p1：sinx=siny=>x+y=或x=y，

其中真命題是

A.p1，p3B.p2，p3C.p1，p4D.p2，p4參考答案：D

【知識點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．A2解析：p1：若sinx=siny?x+y=π+2kπ或x=y+2kπ，k∈Z，故錯(cuò)誤；p2：根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系，可得：?x∈R，sin2+cos2=1，故正確；p3：x，y∈R，cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny，與cosx﹣cosy不一定相等，故錯(cuò)誤；p4：?x∈[0，]，==|cosx|=cosx，故正確．故選：D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角函數(shù)的定義及周期性，可判斷p1；根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系，可判斷p2；根據(jù)兩角差的余弦公式，可判斷p3；根據(jù)二倍解的余弦公式，及根式的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷p4．6.己知△ABC的外心、重心、垂心分別為O，G，H，若，則=

（A）3（B）2（C）（D）參考答案：A7.設(shè)是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，且，則（

）A．3

B．5

C．

D．參考答案：D8.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=57，則判斷框內(nèi)為（

）

A.k＞4?

B.k＞5?

C.

k＞6?

D.k＞7?

參考答案：A略9.拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A是C上一點(diǎn)，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則p的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)A是C上一點(diǎn)，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且三角形OAF的面積為1，建立方程，即可求出p的值．【解答】解：設(shè)A（a，b），則b2=2pa，=1，a+=2a，解得p=2，故選B．10.已知若a=f（lg5），則A.a+b=0

B.a-b=0

C.a+b=1

D.a-b=1

參考答案：C先化簡函數(shù)，所以，，所以，選C。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，，則=

，=

.參考答案：

12.已知三棱柱ABC-A1B1C1底面是邊長為的正三角形,側(cè)棱垂直于底面,且該三棱柱的外接球表面積為12,則該三棱柱的體積為

.參考答案：設(shè)球半徑，上下底面中心設(shè)為，，由題意，外接球心為的中點(diǎn)，設(shè)為，則，由，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，即棱柱的高，所以該三棱柱的體積為.13.已知是內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)，，并延長交對邊于，，，則，這是平面幾何中的一個(gè)命題，運(yùn)用類比猜想，對于空間四面體中,若四面體內(nèi)任意點(diǎn)存在什么類似的命題

參考答案：14.兩所學(xué)校分別有2名，3名學(xué)生獲獎(jiǎng)，這5名學(xué)生要排成一排合影，則存在同校學(xué)生排在一起的概率為

． 參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】利用對立事件概率計(jì)算公式能求出結(jié)果．【解答】解：由已知得存在同校學(xué)生排在一起的概率為：P=1﹣=．故答案為：15.在極坐標(biāo)系中，若直線的方程是，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離

．參考答案：216.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足且為奇函數(shù)．給出下列命題：（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為；（2）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；（3）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．其中真命題有．（填序號）

參考答案：（2）（3）略17.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，那么z=y﹣x的最大值是．參考答案：3【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形畫出相應(yīng)的直線，將直線平移至A（﹣3，0）時(shí)縱截距最大，z最大．【解答】解：畫出的可行域如圖：將z=y﹣x變形為y=x+z作直線y=x將其平移至A（﹣3，0）時(shí)，直線的縱截距最大，最大為：3．故答案為：3．【點(diǎn)評】利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值時(shí)，關(guān)鍵是將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）設(shè)函數(shù)f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它們在x=0處有相同的切線．（Ⅰ）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）判斷函數(shù)F（x）=2f（x）﹣g（x）+2零點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用兩函數(shù)在x=0處有相同的切線，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再分類討論，即可求出函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞﹣3）上的最小值；（Ⅲ）F（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x，求導(dǎo)，確定F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，﹣ln2）上單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex（x+2），g'（x）=2x+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由題意，兩函數(shù)在x=0處有相同的切線．∴f'（0）=2a，g'（0）=b，∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）f'（x）=2ex（x+2），由f'（x）＞0得x＞﹣2，由f'（x）＜0得x＜﹣2，∴f（x）在（﹣2，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，﹣2）單調(diào)遞減．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵t＞﹣3，∴t+1＞﹣2①當(dāng)﹣3＜t＜﹣2時(shí)，f（x）在[t，﹣2]單調(diào)遞減，[﹣2，t+1]單調(diào)遞增，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②當(dāng)t≥﹣2時(shí)，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，∴；∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由題意F（x）=4ex（x+1）﹣x2﹣4x求導(dǎo)得F'（x）=4ex（x+1）+4ex﹣2x﹣4=2（x+2）（2ex﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由F'（x）＞0得x＞﹣ln2或x＜﹣2，由F'（x）＜0得﹣2＜x＜﹣ln2∴F（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣2，﹣ln2）上單調(diào)遞減﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵F（﹣4）=4e﹣4×（﹣4+1）﹣16+16=﹣12e﹣4＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故函數(shù)F（x）=2f（x）﹣g（x）+2只有一個(gè)零點(diǎn)．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．19.如圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD上一點(diǎn)，且|PD|＝|MD|,當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（I）求證：曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，并求其方程;（II）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F2，直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，直線F2A與F2B的傾斜角互補(bǔ)，求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

參考答案：解析：(1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，P的坐標(biāo)為(xP，yP)，由已知得，∵P在圓上，∴x2＋＝2，即，∴曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其方程為.（2）由題意，知直線AB斜率存在，其方程為由，消去△=（4km）2—4(2k2+1)(2m2—2)>0.設(shè)則

且，由已知直線F2A與F2B的傾斜角互補(bǔ)得，

化簡得，，，整理得，

所以直線MN的方程為，故直線MN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）

略20.已知點(diǎn)（0，-2），橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.參考答案：(Ⅰ)設(shè)??，由條件知，得?又，所以a=2?，,故的方程.

……….6分（Ⅱ）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線l：，設(shè)將代入，得，當(dāng)，即時(shí)，從而??又點(diǎn)O到直線PQ的距離，所以O(shè)PQ的面積，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，且滿足，所以當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，的方程為：或.

…………12分21.隨著社會(huì)的發(fā)展，閱讀紙質(zhì)書本的人數(shù)逐漸減少，為了了解某大學(xué)男女生閱讀紙質(zhì)書本的情況，調(diào)查人員隨機(jī)抽取了100名在校大學(xué)生了解其閱讀情況，得到如下數(shù)據(jù)：每月讀書本數(shù)1本2本3本4本5本6本及以上男4337830女6543720合計(jì)1087101550（Ⅰ）在每月讀書超過5本的樣本中，按性別用分層抽樣隨機(jī)抽取5名學(xué)生.①求抽取的5名學(xué)生中男、女生各多少人；②從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求抽取的2名學(xué)生恰為一男生一女生的概率.（Ⅱ）如果認(rèn)為每月紙質(zhì)讀書的本數(shù)超過3本的學(xué)生為“閱讀達(dá)人”，能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“閱讀達(dá)人”與性別有關(guān)？參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

，其中.參考答案：（Ⅰ）①男生有3人，女生2人;②（Ⅱ）不能【分析】（Ⅰ）①根據(jù)讀書6本及以上男生和女生的比例，求得抽取的男生和女生的人數(shù).②利用列舉法，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.（Ⅱ）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷出在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下，不能認(rèn)為閱讀達(dá)人與性別有關(guān).【詳解】（Ⅰ）①由表格可知，樣本中每月閱讀本數(shù)超過5本的男生有30人，女生20人，在這50人中，按性別分層抽樣抽取5名學(xué)生，其中男生有3人，女生有2人.②記抽取的3名男生分別，，；女生分別記為，.再從這5名用戶隨機(jī)抽取2名學(xué)生，共包含，，，，，，，，，，10種等可能的結(jié)果.抽取的2名學(xué)生恰為一男生一女生這一事件包含，，，，，共計(jì)6種等可能的結(jié)果，由古典概型的計(jì)算公式可得：.（Ⅱ）由圖中表格可得列聯(lián)表：

非閱讀達(dá)人閱讀達(dá)人合計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得，所以，在犯錯(cuò)誤概率不超過0.05的前提下，不能認(rèn)為閱讀達(dá)人與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本小題主要考查分層抽樣，考查古典概型概率計(jì)算，考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識，屬于基礎(chǔ)題.22.正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，點(diǎn)M在線段EC上且不與E，C重合．（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M是EC中點(diǎn)時(shí)，求證：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M﹣BDE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定．【分析】（I）三角形的中位線定理可得MN∥DC，MN=．再利用已知可得，即可證明四邊形ABMN是平行四邊形．再利用線面平行的判定定理即可證明．（II）取CD的中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OP⊥DM，連接BP．可得四邊形ABOD是平行四邊形，由于AD⊥DC，可得四邊形ABOD是矩形．由于BO⊥CD，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，ED⊥AD，可得ED⊥平面ADCB，平面CDE⊥平面ADCB．BO⊥平面CDE．于是BP⊥DM．即可得出∠OPB是平面BDM與平面ABF（即平面ABF）所成銳二面角．由于cos∠OPB=，可得BP=．可得sin∠MDC==．而sin∠ECD==．而DM=MC，同理DM=