湖北省襄陽市襄州區(qū)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

湖北省襄陽市襄州區(qū)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，雙曲線x2﹣y2=1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8，則橢圓C的方程為（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】確定雙曲線x2﹣y2=1的漸近線方程為y=±x，根據(jù)以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8，可得（）在橢圓上，再結(jié)合橢圓的離心率，即可確定橢圓的方程．【解答】解：由題意，雙曲線x2﹣y2=1的漸近線方程為y=±x，∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8，∴邊長為，∴（，）在橢圓C：=1（a＞b＞0）上，∴，①∵橢圓的離心率為，∴，則a2=2b2，②聯(lián)立①②解得：a2=6，b2=3．∴橢圓方程為：．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓及雙曲線的性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵，是中檔題．2.若點(diǎn)(a，b)在y＝lgx圖像上，a≠1，則下列點(diǎn)也在此圖像上的是()A．(，b)

B．(10a,1－b)C．(，b＋1)

D．(a2,2b)參考答案：D3.設(shè),則(

)A.10 B.11 C.12 D.13參考答案：B【分析】根據(jù)題中給出的分段函數(shù)，只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值，代入即可求出其值．【詳解】∵f（x），∴f（5）＝f[f（11）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝11．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．4.已知向量，其中，，且，則向量和的夾角是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（）A． B． C． D．參考答案：C略6.《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第6節(jié)的容積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A分析：設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差d＞0，由題意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，聯(lián)立解出即可得出a1與d的值，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得答案．詳解：根據(jù)題意，設(shè)該竹子自上而下各節(jié)的容積為等差數(shù)列{an}，設(shè)其公差為d，且d＞0，由題意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，則4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，則第6節(jié)的容積a6=a1+5d=故答案為：A

7.已知，，，則A.

B.

C.

D.參考答案：C8.已知函數(shù)，若方程在上有3個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值和最值，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，，則不成立，即方程沒有零解.?當(dāng)時(shí)，，即，則設(shè)則由，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；由，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；?當(dāng)時(shí)，，即，則.設(shè)則由得（舍去）或，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；由得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)和的圖象，可知要使方程在上有三個(gè)實(shí)根，則.故選B.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．9.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（

）A.28+6

B.30+6

C.56+12

D.60+12

參考答案：B10.已知是兩個(gè)向量集合，則A．｛〔1，1〕｝

B.｛〔-1，1〕｝

C.｛〔1，0〕｝

D.｛〔0，1〕｝參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）處的切線的斜率分別是kM，kN，規(guī)定φ（M，N）=（|MN|為線段MN的長度）叫做曲線y=f（x）在點(diǎn)M與點(diǎn)N之間的“彎曲度”．①函數(shù)f（x）=x3+1圖象上兩點(diǎn)M與點(diǎn)N的橫坐標(biāo)分別為1和2，φ（M，N）=；②設(shè)曲線f（x）=x3+2上不同兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），且x1?x2=1，則φ（M，N）的取值范圍是．參考答案：（0，）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】對于①，由y=x3+1，得y′=3x2，則kM=3，kN=12，則|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，則|MN|==5，即可求出φ（M，N）==；對于②，利用定義，再換元，即可得出結(jié)論．【解答】解：對于①，由y=x3+1，得y′=3x2，則kM=3，kN=12，則|kM﹣kN|=9，y1=2，y2=9，則|MN|==5，φ（M，N）==；②曲線f（x）=x3+2，則f′（x）=3x2，設(shè)x1+x2=t（|t|＞2），則φ（M，N）===，∴0＜φ（M，N）＜．故答案為，（0，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．12.已知函數(shù)f（x）=，若f（a）+f（1）=0，則實(shí)數(shù)a=．參考答案：-3略13.已知三點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y具有線性關(guān)系，則其線性回歸方程是

△

．參考答案：答案：14.在數(shù)列中，若，且、、、成公比為的等比數(shù)列，、、成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．D5

解析：∵；

、、成公差為1的等差數(shù)列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值為3，∴a7的最小值也為3，此時(shí)a1=1，且、、、成公比為的等比數(shù)列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，故答案為?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將a6用a2表示，求出a6的最小值進(jìn)一步求出a7的最小值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)求出公比的范圍．15.從某地高中男生中隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的體重（單位：kg）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．由圖中數(shù)據(jù)可知體重的平均值為kg；若要從身高在[60,70），[70，80),[80,90]三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項(xiàng)活動(dòng)，再從這12人選兩人當(dāng)正負(fù)隊(duì)長，則這兩人身高不在同一組內(nèi)的概率為

．（2個(gè)數(shù)據(jù)錯(cuò)一個(gè)不得分）參考答案：16.等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和Sn、Tn滿足，則=

.參考答案：答案：=====.17.

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)某中學(xué)籃球隊(duì)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人在一輪練習(xí)中最多可投籃4次，現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí)，否則一直投到4次為止.已知運(yùn)動(dòng)員甲的投籃命中率為0.7.

（I）求一輪練習(xí)中運(yùn)動(dòng)員甲的投籃次數(shù)ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ（結(jié)果保留兩

位有效數(shù)字）；

（II）求一輪練習(xí)中運(yùn)動(dòng)員甲至少投籃3次的概率.參考答案：（I）ξ的可能取值為1，2，3，4，ξ=1時(shí)，P（ξ=1）=0.7ξ=2時(shí)，P（ξ=2）=0.7（1－0.7）=0.21;ξ=3時(shí)，P（ξ=3）=0.7（1－0.7）2=0.063ξ=4時(shí)，P（ξ=4）=0.7（1－0.7）3+（1－0.7）4=0.027.∴ξ的分布為ξ1234P0.70.210.0630.027∴Eξ=1×0.7+2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4．（II）P（ξ≥3）=P（ξ=3）+P（ξ=4）=0.063+0027=0.09．19.(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=，n∈N﹡，數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.（1）求an，bn；（2）求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.參考答案：解：由Sn=，得當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，，n∈N﹡.由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.（2）由（1）知，n∈N﹡所以，，，n∈N﹡.20.設(shè)，a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函數(shù)．（Ⅰ）設(shè)關(guān)于x的方程求在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍；（Ⅱ）當(dāng)a=e，e為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，證明：；（Ⅲ）當(dāng)0＜a≤時(shí)，試比較||與4的大小，并說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；反函數(shù)；函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；不等式．【專題】計(jì)算題；綜合題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】（Ⅰ）求出g（x），在上有實(shí)數(shù)解，求出t的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)確定t的范圍；（Ⅱ）a=e求出，利用導(dǎo)數(shù)推出是增函數(shù)，求出最小值，即可證明；（Ⅲ）利用放縮法，求出||的取值范圍，最后推出小于4即可．【解答】解：（1）由題意，得ax=＞0故g（x）=，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）由得t=（x﹣1）2（7﹣x），x∈則t′=﹣3x2+18x﹣15=﹣3（x﹣1）（x﹣5）列表如下：x2（2，5）5（5，6）6t'

+

﹣

t5遞增極大值32遞減25所以t最小值=5，t最大值=32所以t的取值范圍為（5分）（Ⅱ）=ln（）=﹣ln令u（z）=﹣lnz2﹣=﹣2lnz+z﹣，z＞0則u′（z）=﹣=（1﹣）2≥0所以u(píng)（z）在（0，+∞）上是增函數(shù)又因?yàn)椋?＞0，所以u(píng)（）＞u（1）=0即ln＞0即（9分）

（3）設(shè)a=，則p≥1，1＜f（1）=≤3，當(dāng)n=1時(shí)，|f（1）﹣1|=≤2＜4，當(dāng)n≥2時(shí)，設(shè)k≥2，k∈N*時(shí)，則f（k）=，=1+所以1＜f（k）≤1+，從而n﹣1＜≤n﹣1+=n+1﹣＜n+1，所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，綜上所述，總有|﹣n|＜4．【點(diǎn)評(píng)】本小題考查函數(shù)、反函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證、分析與解決問題的能力．21.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、（）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上、A2兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線。（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個(gè)焦點(diǎn)。試問：在上，是否存在點(diǎn)，使得△的面積。若存在，求的值；若不存在，請說明理由。參考答案：

解：（I）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，由條件可得即，又的坐標(biāo)滿足故依題意，曲線C的方程為當(dāng)曲線C的方程為是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是圓心在原點(diǎn)的圓；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線。（II）由（I）知，當(dāng)m=-1時(shí)，C1的方程為當(dāng)時(shí)，C2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為對于給定的，C1上存在點(diǎn)使得的充要條件是②

①

由①得由②得當(dāng)或時(shí)，存在點(diǎn)N，使S=|m|a2；當(dāng)或時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)N，當(dāng)時(shí)，由，可得令，則由，從而，于是由，可得綜上可得：當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得當(dāng)時(shí)，在C1上，存在點(diǎn)N，使得當(dāng)時(shí)，在C1上，不存在