吉林大學(xué)研究生 數(shù)值計算考試題型答案

1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329,試用線性插值和拋物插值計算.ln2.1的值并估計誤差解：線形插值：取=0.7410拋物線插值：=0.7422.已知x=0,2,3,5對應(yīng)的函數(shù)值分別為y=1,3,2,5.試求三次多項式的插值解：解：取=3.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上具有直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),且f(a)=f(b)=0,求證:解：取，4.證明n次Lagrange插值多項式基函數(shù)滿足解：取則=0所以即證5.分別求滿足習(xí)題1和習(xí)題2中插值條件的Newton插值(1)2.00.69312.20.78850.4772.30.83290.444-0.11=0.693+0.477(x-2)-0.11(x-2)(x-2.2)0.693+0.0477-0.0011=0.7419(2)0123132-1-2/3553/25/63/106.給出函數(shù)f(x)的數(shù)表如下,求四次Newton插值多項式,并由此計算f(0.596)的值0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.25382解：F2F3F4F5F60.40.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.80.888111.275730.358930.197330.91.026521.384100.433470.18634-0.022001.051.253821.515330.524920.228630.088460.16394f(x)=0.41075+1.11600(x-0.4)+0.28(x-0.4)(x-0.55)+0.19733(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)-0.022(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)+0.16394(x-0.4)(x-0.55)(x-0.65)(x-0.8)(x-0.9)所以f(0.596)=0.631957.已知函數(shù)y=sinx的數(shù)表如下,分別用前插和后插公式計算sin0.57891的值0.40.50.60.70.389420.479430.564640.64422解：前插：取節(jié)點(diǎn)：0.50.60.70.50.479430.60.564640.085210.70.644220.07958-0.00563(0.5+th)=0.47943+0.08521*t-0.002815*t*(t-1)，

h=0.1取t=0.7891(0.57891)=0.47943+0.06723921+0.00046848=0.547137690.54714即sin(0.57891)=0.54714后插：取節(jié)點(diǎn)0.40.50.60.40.389420.50.479430.090010.60.564640.08521-0.0048(0.6+th)=0.56464+0.08521*t-*t(t+1)，h=0.1取t=-0.2109(0.57891)=0.56464+0.08521(-0.2109)-0.0024(-0.2109)(0.7891)=0.54068628.求最小二乘擬合一次、二次和三次多項式，擬合如下數(shù)據(jù)并畫出數(shù)據(jù)點(diǎn)以及擬合函數(shù)的圖形。(a)1.01.11.31.51.92.11.841.962.212.452.943.18解：（1）一次最小二乘擬合多項式，做法如題一，，，，=1.2196，該一次最小二乘擬合多項式為：（2）二次最小二乘擬合多項式，設(shè)二次最小二乘擬合多項式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得該二次最小二乘擬合多項式為：（3）三次最小二乘擬合多項式，設(shè)三次最小二乘擬合多項式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得：該三次最小二乘擬合多項式為：(b)4.04.24.54.75.15.55.96.36.87.1102.56113.18130.11142.05167.53195.14224.87256.73299.50326.72解：（1）一次最小二乘擬合，做法如題一，，，，，該一次最小二乘擬合多項式為：（2）二次最小二乘擬合多項式，設(shè)二次最小二乘擬合多項式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得該二次最小二乘擬合多項式為：（3）三次最小二乘擬合多項式，設(shè)三次最小二乘擬合多項式為：，由教材分析知，系數(shù)滿足如下正規(guī)方程組：，把表中的數(shù)值代入得：，解得：該三次最小二乘擬合多項式為：9.試分別確定用復(fù)化梯形、辛浦生和中矩形求積公式計算積分所需的步長h，使得精度達(dá)到。解：（1）復(fù)化梯形公式故（2）復(fù)化辛浦生公式故（3）復(fù)化中矩形求積公式故求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即得求積公式為當(dāng)時，公式顯然精確成立；當(dāng)時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案：差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-103.已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為4、已知區(qū)間[0.4，0.8]的函數(shù)表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小？并求該近似值。答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點(diǎn)，使誤差盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)最好，實際計算結(jié)果，且5.利用矩陣的LU分解法解方程組。答案：解：令得，得.6.已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。7.ex，用復(fù)化梯形公式，求近似值有5位有效數(shù)字解：當(dāng)0<x<1時，ex，則，且有一位整數(shù).要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差.由，只要即可，解得所以，因此至少需將[0,1]68等份。7.取節(jié)點(diǎn),求函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的二次插值多項式,并估計誤差。解：又故截斷誤差。8.數(shù)值積分公式形如試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設(shè)，推導(dǎo)余項公式，并估計誤差。解：將分布代入公式得：構(gòu)造Hermite插值多項式滿足其中則有：，9.已知數(shù)值積分公式為：，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立；時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。10.以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)

=10.722755511.(10分)用復(fù)化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為?；蚶糜囗棧海?，12.取5個等距節(jié)點(diǎn)，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生公式計算積分的近似值（保留4位小數(shù)）。解：5個點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111----------------------------------------------------------（2分）(1)復(fù)化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）：復(fù)化梯形公式（n=2,h=2/2=1）：13.已知，給出以這3個點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)在上的插值型求積公式解：過這3個點(diǎn)的插值多項式基函數(shù)為故所求的插值型求積公式為14.確定求積公式的代數(shù)精度，它是Gauss公式嗎？證明：求積公式中系數(shù)與節(jié)點(diǎn)全部給定，直接檢驗依次取，有本題已經(jīng)達(dá)到2n-1=5。故它是Gauss公式。15.給出的數(shù)值表用線性插值及二次插值計算的近似值。X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144[解]若取，，則，，則，從而。若取，，，則，，，則，從而。16.給出的函數(shù)表，步長，若函數(shù)具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求近似值時的總誤差界。[解]設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為，對應(yīng)的值為，函數(shù)表值為，則由題意可知，，，近似線性插值多項式為，所以總誤差為，從而17.求一個次數(shù)不高于4次的多項式，使它滿足，，。[解]設(shè)，則，再由，，可得：解得。從而。18.給定數(shù)據(jù)表：，1246741011求4次牛頓插值多項式，并寫出插值余項。[解]一階差商二階差商三階差商四階差商1421-34061710由差商表可得4次牛頓插值多項式為：，插值余項為。19.如下表給定函數(shù)：，0123436111827試計算出此列表函數(shù)的差分表，并利用牛頓向前插值公式給出它的插值多項式。[解]構(gòu)造差分表：03320016520211723189427由差分表可得插值多項式為：。20.用最小二乘法求一個形如的經(jīng)驗公式，使它與下列數(shù)據(jù)相擬合，并求均方誤差。192531384419.032.349.073.397.8[解]由。。又，，，故法方程為，解得。均方誤差為。21、觀測物體的直線運(yùn)動，得出以下數(shù)據(jù)：時間t（秒）00.91.93.03.95.0距離s（米）010305080110[解]設(shè)直線運(yùn)動為二次多項式，則由。，。又，，，故法方程為，解得。故直線運(yùn)動為。28.單原子波函數(shù)的形式為，試按照最小二乘法決定參數(shù)a和b，已知數(shù)據(jù)如下：X0124y2.0101.2100.7400.450[解]對兩邊取對數(shù)得，令