1977年普通高等學(xué)校招生考試全國各省市高考數(shù)學(xué)試題及解答匯總

PAGE1977年全國各省市高考數(shù)學(xué)試題及解答北京市（理科）1．解方程解：將兩邊平方，得x2-1=9-6x+x,即x2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0,∴x=2,x=5。經(jīng)檢驗(yàn)x=5是增根，故原方程的解是x=2。2．計(jì)算3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg。解：lg=lg=0.8266。4．證明5．求過兩直線x+y-7=0和3x-y-1=0的交點(diǎn)且過（1，1）點(diǎn)的直線方程。解：由x+y-7=03x-y-1=0,解得x=2,y=5。過點(diǎn)（2，5）和（1，1）的直線方程為y=4x-3。6．某工廠今年七月份的產(chǎn)值為100萬元，以后每月產(chǎn)值比上月增加20%，問今年七月份到十月份總產(chǎn)值是多少？解：七月份到十月份總產(chǎn)值為100+（1+20%）·100+（1+20%)2·100+（1+20%)3·100=y(0,5)x=3(1,0)(5,0)Ox(3,-4)7.已知二次函數(shù)y=x2-6x+5(1)求出它的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程;(2)畫出它的圖象;(3)分別求出它的圖象和x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：如圖（列表，描點(diǎn)）略。8．一只船以20海里/小時(shí)的速度向正東航行，起初船在A處看見一燈塔B在船的北450東方向，一小時(shí)后船在C處看見這個(gè)燈塔在船的北150東方向，求這時(shí)船和燈塔的距離CB。B150450AC解：由已知條件及圖可得AC=20海里，∠BAC=450，∠ABC=300。由正弦定理可得ADBCE9．有一個(gè)圓內(nèi)接三角形ABC，∠A的平分線交BC于D，交外接圓于E，求證：AD·AE=AC·AB。證：聯(lián)接EC,在△ABD和△AEC中，∠BAD=∠EAC，∠ABD=∠AEC，∴△ABD~△AEC,∴AD·AE=AC·AB10.當(dāng)m取哪些值時(shí)，直線y=x+m與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)？有兩個(gè)交點(diǎn)？沒有交點(diǎn)？當(dāng)它們有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，畫出它的圖象。解：直線與橢圓的交點(diǎn)適合下面方程組：y=x+m……………①……………②將①代入②得直線與橢圓沒有交點(diǎn)的充要條件是：-m2+25<0,即|m|>5參考題1．（1）求函數(shù)(2)求橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。解：（1）當(dāng)x≠0時(shí)，2.(1)試用ε-δ語言敘述“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)的定義。（2）試證明：若f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，且f(x0)>0,則存在一個(gè)x0的（x0-δ，x0+δ），在這個(gè)鄰域內(nèi)，處處有f(x)>0。（1）答：略。（2）證：由已知f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，且f(x0)>0，所以，由定義，對于給定的ε=f(x0)/2>0，必存在δ>0,當(dāng)|x-x0|<δ時(shí)，有|f(x)-f(x0)|<f(x0)/2,從而f(x)>f(x0)-f(x0)/2=f(x0)/2>0即在（x0-δ，x0+δ）內(nèi)處處有f(x)>0北京市（文科）1．計(jì)算：解：原式=02．化簡：3．解方程解：略，原方程的解為x=2。4．不查表求sin1050的值。解：5．一個(gè)正三棱柱形的零件，它的高是10cm，底面邊長是2cm，求它的體積。解：體積V=sh=6.一條直線過點(diǎn)（1，-3），并且與直線2x+y-5=0平行，求這條直線的方程。解：∵直線2x+y-5=0的斜率k=-2,∴所求直線斜率k＇=-2。故過點(diǎn)（1，-3）且與已知直線平行的直線為y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.ADEBC7．證明：等腰三角形兩腰上的高相等。證：如圖，在△BDC與△CEB中，∵∠DBC=∠ECB，∠BDC=∠CEB=900,BC=BC，∴△BDC≌△CEB，CD=BE。8．為了測湖岸邊A、B兩點(diǎn)的距離，選擇一點(diǎn)C，測得CA=50米，CB=30米，∠ACB=1200，求AB。解：由余弦定理可得AB=70米。9．在2和30中間插入兩個(gè)正數(shù)，這兩個(gè)正數(shù)插入后使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求插入的兩個(gè)正數(shù)？解：設(shè)此數(shù)列為2，x,y,30。于是有解得x=6,y=18.故插入的兩個(gè)正數(shù)為6，18，因此，所成的數(shù)列為2、6、18、30。10．已知二次函數(shù)y=x2-4x+3.（1）求出它的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程;（2）畫出它的圖象;（3）求出它的圖象與直線y=x-3的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：（1）y=(x-2)2-1頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），對稱軸方程為x=2.(2)圖略。（3）解方程得交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）和（3，0）。上海市（理科）1．（1）化簡解：原式=（2）計(jì)算解：原式=（3），驗(yàn)算i是否方程2x4+3x3-3x2+3x-5=0的解。解：令x=i,左邊=2-3i+3+3i-5=0所以i是所給方程的一個(gè)解。（4）求證：BD312AEC2．在△ABC中，∠C的平分線交AB于D，過D作BC的平分線交AC于E，已知BC=,AC=b,求DE的長。解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3。又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC，b·DE=ab-a·DE，3．已知圓A的直徑為，圓B的直徑為，圓C的直徑為2，圓A與圓B外切，圓A又與圓C外切，∠A=600，求BC及∠C。解：由已知條件可知，AC=，AB=2，∠CAB=600。根據(jù)余弦定理，可得BC=。由正弦定理，則4．正六棱錐V-ABCDEF的高為2cm，底面邊長為2cm。（1）按1:1畫出它的二視圖;（2）求其側(cè)面積;（3）求它的側(cè)棱和底面的夾角。解：（1）見六五年試題1。（2）斜高為（3）側(cè)棱與底面的夾角為450。5．解不等式并在數(shù)軸上把它的解表示出來。解：略。-4≤x＜-2，3＜x≤4.6．已知兩定點(diǎn)A（-4，0）、B（4，0），一動點(diǎn)P（x,y）與兩定點(diǎn)A、B的連線PA、PB的斜率的乘積為。求點(diǎn)P的軌跡方程，并把它化為標(biāo)準(zhǔn)方程，指出是什么曲線。解：直線PA、PB的斜率分別是7．等腰梯形的周長為60，底角為600，問這梯形各邊長為多少時(shí)，面積最大？解：設(shè)等腰梯形的腰長為x，則有BCx600AEDAE=，BE=，等腰梯形ABCD的面積=由此可知，當(dāng)且僅當(dāng)x=15時(shí)等腰梯形的面積最大。此時(shí)，腰AB=CD=x=15,上底BC=7.5，下底AD=BC+2AE=22.5。8．當(dāng)k為何值時(shí)，方程組有兩組相同的解？并求出它的解。解：由（1），x≥0，y≥2。由（2），y=kx-2k-10.代入（1），得此方程有二等根的條件是判別式為零，即k2-4(2k+12)=0,k2-8k-48=0,(k-12)(k+4)=0,k1=12,k2=-4(增根）∴當(dāng)k=12時(shí)，x=6,y=38.附加題CBθAO9．如圖所示，半圓O的直徑為2，A為半圓直徑的延長線上的一點(diǎn)，且OA=2，B為半圓上任一點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC，問B在什么地方時(shí)，四邊形OACB的面積最大？并求出這個(gè)面積的最大值。解：四邊形OACB的面積=△OAB的面積+△ABC的面積設(shè)∠AOB=θ，則△OAB的面積△ABC的面積∴四邊形OACB的面積∴當(dāng)θ-600=900，即θ=1500時(shí)，四邊形OACB的面積最大，其最大面積為10．已知曲線y=x2-2x+3與直線y=x+3相交于點(diǎn)P（0，3）、Q（3，6）兩點(diǎn)，（1）分別求出曲線在交點(diǎn)的切線的斜率;（2）求出曲線與直線所圍成的圖形的面積。Y6QPO3AX解：（1）∵y=x2-2x+3，∴y＇=2x-2,∴過點(diǎn)（0，3）的切線斜率k1=y＇|x=0=-2。過點(diǎn)（3，6）的切線斜率k1=y＇|x=3=4。（2）設(shè)所求的帶陰影的圖形的面積為S。則S為梯形OAQP的面積與曲邊梯形OAQP的面積的差。而梯形OAQP的面積曲邊梯形OAQP的面積上海市（文科）1．（1）計(jì)算解略：原式=（2）某生產(chǎn)隊(duì)去年養(yǎng)豬96頭，今年養(yǎng)豬120頭，問今年比去年增加百分之幾？計(jì)劃明年比今年多養(yǎng)40%，明年養(yǎng)豬幾頭？解：根據(jù)已知條件，今年比去年增長.明年養(yǎng)豬頭數(shù)為120（1+40%）=168（頭）。（3）計(jì)算解：原式=4。2．在△ABC中，∠C的平分線與AB相交于D，過D作BC的平分線與AC相交于E，已知BC=，AC=b，求DE的長。BD321AEC解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3。又∠1=∠2，∴∠2=∠3DE=EC由△ADE∽△ABC，b·DE=b-·DE，3．（1）化簡解：原式=（2）解不等式解：不等式解為x＜5（3）解方程解：可得x2-5x+6=0,x=2,x=3（增根）故原方程的解為x=2.4（1）計(jì)算解：原式=（2）求證：證：（3）△ABC中，∠A=450，∠B=750，AB=12，求BC的長。解：由正弦定理可知：5．六角螺帽尺寸如圖，求它的體積（精確的1mm3）。Φ201020解：由圖可知此六角螺帽的體積為6.求直線的斜率和傾角，并畫出它的圖形。解：由可得圖略。7．當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)y=x2-8x+5的值最小，并求出這個(gè)最小值。解：y=x2-8x+5=2（x-2)2-3，所以，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)最小值為-3。8．將濃度為96%和36%的甲、乙兩種流酸配制成濃度為70%的流酸600升，問應(yīng)從甲、乙兩種流酸中各取多少升？解：設(shè)甲種流酸取x升，乙種流酸取y升，根據(jù)題意可得如下方程組：由（1）得y=600-x.代入（2）得x=340（升）y=260(升）故應(yīng)取甲種流酸340升，乙種流酸260升。天津市1．（1）在什么條件下，①是正數(shù);②是負(fù)數(shù);③等于零;④沒有意義？解：①x和y同號;②x和y異號;③y=0,x≠0;④x=0.（2）比較下列各組數(shù)的大小，并說明理由。①;②.解：①因?yàn)閏osx在是遞減函數(shù)，所以。②（3）求值：①;②解：①原式=.②原式=（4）計(jì)算解：原式=（5）解方程解：略x=1.2．（1）某工廠準(zhǔn)備在倉庫的一側(cè)建立一個(gè)矩形儲料場（如圖），現(xiàn)有50米長的鐵絲網(wǎng)，如果用它來圍成這個(gè)儲料場，那么長和寬各是多少時(shí)，這個(gè)儲料場的面積最大？并求出這個(gè)最大的面積。倉庫y儲料場x解：設(shè)矩形儲料場的長為x寬為y。則因其一面靠墻，所以應(yīng)有2x+y=50,即y=50-2x,設(shè)儲料場的面積為S，則S=xy=x(50-2x)=-2x2+50x=-2(x-12.5)2+312.5∴當(dāng)x=12.5時(shí)，儲料場的面積最大。S=312.5米2。此時(shí)y=25米。（2）如圖，已知AB、DE是圓O的直徑，AC是弦，AC∥DE，求證CE=EB。ECB1O2AD⌒⌒⌒證：∵AC∥DE，∴∠1=∠2?！小小小小小小小小小蠩B=EB，CB=2EB?！小小小小小小小小械獵B=CE+EB，∴2EB=CE+EB，⌒⌒CE=EB，CE=EB。（3）如圖所示的棱長為a的正方體中，①求CD1和AB所成的角的度數(shù);②求∠B1BD1的正弦值。D1C1A1B1DCAB解：①CD1和AB所成的角等于∠D1CD，所以為450。②∵D1B1=a，D1B=a，∴3．如果已知bx2-4bx+2(a+c)=0(b≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證a,b,c成等差數(shù)列。證：∵已知bx2-4bx+2(a+c)=0(b≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴（-4b)2-4b·2(a+c)=0,但∵b≠0,∴2b-a-c=0,即b-a=c-b.故a,b,c成等差數(shù)列。ABDγαβC4．（1）如圖，為求河對岸某建筑物的高AB，在地面上引一條基線CD=，測得∠ACB=α，∠BCD=β，∠BDC=γ，求AB。解：由正弦定理得（2）如果α=300，β=750，γ=450，a=33米，求建筑物AB的高（保留一位小數(shù)）。解：5．（1）求直線3x-2y+1=0和x+3y+4=0的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：略（-1，-1）（2）求通過上述交點(diǎn)，并同直線x+3y+4=0垂直的直線方程。解：所求直線的斜率為3。所求直線方程為y+1=3(x+1),即3x-y+2=0.6．附加題.（1）求解：應(yīng)用羅比塔法則。（2）計(jì)算河北省1．解答下列各題：（1）敘述函數(shù)的定義。答：略。（2）求函數(shù)的定義域。解：由（3）計(jì)算解：原式=2。（4）計(jì)算解：原式=。（5）分解因式x2y-2y3.解：原式=（6）計(jì)算解：原式=2．證明：從圓O外一點(diǎn)P向這個(gè)圓所引的兩條切線PA、PB所成的角APB被PO平分（本題要求寫出已知、求證、證明并畫圖）。解：已知：圓O及圓O外一點(diǎn)P，PA、PB是圓O的切線，A、B是切點(diǎn)（如圖），APOB求證：∠OPA=∠OPB。證明：聯(lián)結(jié)OA、OB?！唷螼AP=∠OBP=900在直角△OPA與直角△OPB中，∵OA=OB，OP=OP，∴△OPA≌△OPB，∠OPA=∠OPB。3．證明：證：左邊==右邊4．已知求x。解：由原方程可得故原方程的解為x=2.5．某生產(chǎn)隊(duì)要建立一個(gè)形狀是直角梯形的苗圃，其兩鄰邊借用夾角為1350的兩面墻，另外兩邊是總長為30米的籬笆（如圖，AD和DC為墻），問籬笆的兩邊各多長時(shí)，苗圃的面積最大？最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC長為x，苗圃面積為S.DC1350450AEB過D作DE⊥AB交AB于E.由已知條件可得AB=30-x，∠DAB=450，AE=DE=BC=x，CD=BE=AB-AE=30-2x，由此可知，當(dāng)x=10時(shí)，S取最大值。所以，當(dāng)BC=10米，AB=20米時(shí)，苗圃面積最大，這時(shí)S=150米2。6．工人師傅要用鐵皮做一個(gè)上大下小的正四棱臺形容器（上面開口），使其容積為208立方米，高為4分米，上口邊長與下底面邊長的比為5:2，做這樣的容器需要多少平方米的鐵皮？（不計(jì)容器的厚度和加工余量，不要求寫出已知、求解，直接求解并畫圖即可）解：設(shè)正四棱臺形容器上口邊長AB=5x，則下底面邊長A1B1=2x，ECBDAFC1E1F1B1D1A1EHFE1F1設(shè)表面積為S。因正四棱臺的體積故共需鐵皮1.56平方米。7．已知：如圖，MN為圓的直徑，P、C為圓上兩點(diǎn)，連PM、PN，過C作MN的垂線與MN、MP和NP的延長線依次相交于A、B、D，求證：AC2=AB·AD。DPCBMNA證：在△ABM與△AND中，∠BAM=∠NAD=900∠AMB=∠ADN=900-∠MND，∴△ABM∽△AND，AB:AN=AM:AD,AN·AM=AB·AD……①又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，∴AC2=AM·AN………②由①，②得AC2=AB·AD。8．下列兩題選做一題。（甲）已知橢圓短軸長為2，中心與拋物線y2=4x的頂點(diǎn)重合，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)恰是此拋物線的焦點(diǎn)，求橢圓方程及其長軸的長。解：設(shè)所求之橢圓方程為∵2b=2,∴b=1.由拋物線方程y2=4x可知它的焦點(diǎn)而（1，0），所以點(diǎn)（1，0）也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，于是c=1,從而故所求之橢圓方程為，長軸的長為。（乙）已知菱形的一對內(nèi)角各為600，邊長為4，以菱形對角線所在的直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，以菱形600角的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，并且過菱形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)作橢圓，求橢圓方程。解：設(shè)以菱形內(nèi)角為600的一對頂點(diǎn)為端點(diǎn)的對角線所在的直線為X軸，建立直角坐標(biāo)系YBC＇300COXB＇設(shè)欲求之橢圓方程為。由圖及已知條件可得b=BO=BC·sin300=2=BC=4.故所求之橢圓方程為參考題1．將函數(shù)展開為x的冪級數(shù)，并求出收斂區(qū)間。（e=2.718為自然對數(shù)的底）所以函數(shù)可以在區(qū)間[-r，r]上展開成冪級數(shù)，因?yàn)閞>0是任意的，所以，函數(shù)在區(qū)間上可展成冪級數(shù)，特別的它的馬克勞林級數(shù)是2．利用定積分計(jì)算橢圓所圍成的面積。解：因?yàn)闄E圓關(guān)于x軸和y軸都是對稱的，所以所求之面積為福建?。ɡ砜疲?．（1）計(jì)算解：原式=7。（2）的值是正的還是負(fù)的？為什么？解：y的值為負(fù)的。因?yàn)閠g1550<0,又第二象限角的余弦函數(shù)值隨著角的增大而減小，所以，cos1600-cos1700>0,故y<0.（3）求函數(shù)的定義域。解：略1<x<2。D2CMNPQA3.5B（4）如圖，在梯形ABCD中，DM=MP=PA，MN∥PQ∥AB，DC=2cm,AB=3.5cm求MN和PQ的長。解：根據(jù)梯形中位線性質(zhì)可得：解之，可得PQ=3（cm),MN=2.5(cm)(5)解：lgx=-3.5229=∴x=0.0003.(6)求解：（7）解方程解：移項(xiàng)得兩邊平方，得（增根）故原方程的解為x=2。（8）解：原式=（9）求函數(shù)的極值。解：略。y的極大值為.（10）畫出下面V形鐵塊的三視圖（只要畫草圖）2．（1）解不等式解略：-2<x<3.（2）證明：（3）某中學(xué)革命師生自己動手油漆一個(gè)直徑為1.2米的地球儀，如果每平方米面積需要油漆150克，問共需油漆多少克？（答案保留整數(shù)）解：設(shè)地球儀的表面積為S，則所以，共需油漆（4）某農(nóng)機(jī)廠開展“工業(yè)學(xué)大慶”運(yùn)動，在十月份生產(chǎn)拖拉機(jī)1000臺。這樣，一月至十月的產(chǎn)量恰好完成全年生產(chǎn)任務(wù)。工人同志為了加速農(nóng)業(yè)機(jī)械化，計(jì)劃在年底前再生產(chǎn)2310臺，求十一月、十二月份平均每月增長率。解：設(shè)十一、十二月份平均每月增長率為x，則根據(jù)題意可得：1000（1+x)+1000(1+x)2=2310,100x2+300x-31=0,x=0.1,x=-3.1（舍去）故十一月，十二月份平均每月增長率為10%。3．在半徑為R的圓內(nèi)接正六邊形內(nèi)，依次連結(jié)各邊的中點(diǎn)，得一正六邊形，又在這一正六邊形內(nèi)，再依次連結(jié)各邊的中點(diǎn)，又得一正六邊形，這樣無限地繼續(xù)下去，求：（1）前n個(gè)正六邊形的周長之和Sn;（2）所有這些正六邊形的周長之和S.解：如圖，半徑為R的圓內(nèi)接正六邊形的周長為6R，ABCEDO設(shè)C為AB的中點(diǎn)，連結(jié)OC，OB，則OC⊥AB?！郞C=CD=第二個(gè)正六邊形的周長同理可得第三個(gè)正六邊形的周長第四個(gè)正六邊形的周長…………于是可以得到一個(gè)表示正六邊形周長的數(shù)列：6R，……①前n個(gè)正六邊形周長的和②所有這些正六邊形周長的和4．動點(diǎn)P（x,y)到兩定點(diǎn)A（-3，0）和B（3，0）的距離的比等于2（即），求動點(diǎn)P的軌跡方程，并說明這軌跡是什么圖形。解：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得故動點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)（5，0）為圓心，以4為半徑的圓。5．某大隊(duì)在農(nóng)田基本建設(shè)的規(guī)劃中，要測定被障礙物隔開的兩點(diǎn)A和P之間的距離，他們土法上馬，在障礙物的兩側(cè)，選取兩點(diǎn)B和C（如圖），測得AB=AC=50m，∠BAC=600，∠ABP=1200，∠ACP=1350，求A和P之間的距離（答案可用最簡根式表示）。CA600PB解：連CB，AP?！摺螩AB=600，AC=AB=50m，∴△ABC為等邊三角形。于是，∠BCP=1350-600=750，∠CBP=1200-600，∠BPC=1800-（750+600）=450由正弦定理，得由余弦定理，可得故A、P兩點(diǎn)間的距離是米。6．已知雙曲線和圓相切于點(diǎn)A（），求的值。解：∵點(diǎn)A（）在雙曲線上，∴故雙曲線方程為又圓的方程為從（1）得代入（2）得因?yàn)榻稽c(diǎn)A是切點(diǎn)，故方程有等根，即其判別式為由此可得，圓的圓心為（），半徑7．設(shè)數(shù)列1，2，4，…前n項(xiàng)和是求這數(shù)列的通項(xiàng)的公式，并確定的值。解：依題意得S1=1，即……①S2=3，即………………②S3=7，即………………③上面三式雖然成不定方程組，但可如下解：②-①得………………④③-②得………………⑤⑤-④得……⑥將⑥代入④得……⑦將⑥⑦代入①，得……⑧當(dāng)n>1時(shí)，上式在n=1時(shí)，成為∴將分別代入⑥、⑦、⑧中得：參考題1．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：2．求定積分解：其中福建?。ㄎ目疲?．（1）計(jì)算解：原式=7。（2）求的值。解：（3）化簡。解：根據(jù)算術(shù)根的定義，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（4）如圖，在△ABC中，MN∥BC，MN=1cm,BC=3cm求AM的長。AMNBC解：設(shè)AM為x，∵M(jìn)N∥BC∴△AMN∽△ABCx=1(cm)(5)解：x=3000.(6)求解：（7）求函數(shù)的極小值。解：∴y的極小值為-5。（8）已知的值。解：∵∴∴（9）寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：2．（1）求函數(shù)的定義域。解：略。1＜x＜2。（2）證明證：左邊==∴左邊=右邊。（3）解方程解：移項(xiàng)得兩邊同時(shí)平方，得x=12,x=4（增根）。∴原方程的根為x=12（4）解不等式解略：-2<x<3.（5）把分母有理化解：原式=（6）某中學(xué)革命師生自己動手油漆一個(gè)直徑為1.2米的地球儀，如果每平方米面積需要油漆150克，問共需油漆多少克？（答案保留整數(shù)）解：設(shè)地球儀的表面積為S，則所以，共需油漆3．某農(nóng)機(jī)廠開展“工業(yè)學(xué)大慶”運(yùn)動，在十月份生產(chǎn)拖拉機(jī)1000臺。這樣，一月至十月的產(chǎn)量恰好完成全年生產(chǎn)任務(wù)。工人同志為了加速農(nóng)業(yè)機(jī)械化，計(jì)劃在年底前再生產(chǎn)2310臺，①求十一月、十二月份每月增長率;②原計(jì)劃年產(chǎn)拖拉機(jī)多少臺？解：①設(shè)十一、十二月份平均每月增長率為x，則根據(jù)題意可得：1000（1+x)+1000(1+x)2=2310,100x2+300x-31=0,x=0.1,x=-3.1（舍去）故十一月，十二月份平均每月增長率為10%。②設(shè)原計(jì)劃年生產(chǎn)拖拉機(jī)y臺，則（臺）4．求拋物線和圓在第一象限的交點(diǎn)處的切線方程。解：解方程組（1）代入（2）得x=3,x=-12（不合題意）將x=3代入（1），得（僅取正值），∴在第一象限的交點(diǎn)為（）從拋物線得∴過點(diǎn)（）的拋物線的切線方程是過點(diǎn)（）的圓的切線方程是即5．某大隊(duì)在農(nóng)田基本建設(shè)的規(guī)劃中，要測定被障礙物隔開的兩點(diǎn)A和P之間的距離，他們土法上馬，在障礙物的兩側(cè)，選取兩點(diǎn)B和C（如圖），測得AB=AC=50m，∠BAC=600，∠ABP=1200，∠ACP=1350，求A和P之間的距離（答案可用最簡根式表示）。CA600PB解：連CB，AP?！摺螩AB=600，AC=AB=50m，∴△ABC為等邊三角形。于是，∠BCP=1350-600=750，∠CBP=1200-600，∠BPC=1800-（750+600）=450由正弦定理，得由余弦定理，可得故A、P兩點(diǎn)間的距離是米。黑龍江省1．解答下列各題：（1）解方程解：方程兩邊平方得x=4,x=-1（增根）故x=4是原方程的根。（2）解不等式|x|<5.解：-5<x<5.（3）已知正三角形的外接圓半徑為cm，求它的邊長。解：設(shè)正三角形的邊長為，則2．計(jì)算下列各題：（1）解：當(dāng)當(dāng)（2）（不查表求值）解：原式=（3）解：原式=3．解下列各題：（1）解方程解：（2）求數(shù)列2，4，8，16，……前十項(xiàng)的和。解：由題設(shè)可知，此等比數(shù)列的首項(xiàng)公比4．解下列各題：（1）圓錐的高為6cm，母線和底面半徑成300角，求它的側(cè)面積。解：由題設(shè)條件可知，圓錐底面半徑R=圓錐母線∴側(cè)面積（2）求過點(diǎn)（1，4）且與直線垂直的直線方程。解：因?yàn)橹本€的斜率為，所以所求直線的斜率為。所求直線的方程為。5．如果△ABC的∠A的平分線交BC于D，交它的外接圓于E，那么AB·AC=AD·AE。CEDBA證：連結(jié)BE（如圖）∵∠CAE=∠EAB，∠ACB=∠AEB，∴△ACD∽△AEB，∴∴AB·AC=AD·AE。6．前進(jìn)大隊(duì)響應(yīng)毛主席關(guān)于“綠化祖國”的偉大號召，1975年造林200畝，又知1975年至1977年這三年內(nèi)共造林728畝，求后兩年造林面積的年平均增長率是多少？解：設(shè)后兩年造林面積的年平均增長率為x，依照題意可得200+200（1+x）+200（1+x）2=728，200（1+x)2+200（1+x）-528=0，（1+x)2+（1+x）-2.64=0，[（1+x）-1.2][（1+x）+2.2]=0，1+x=1.2，x=0.2=20%1+x=-2.2，x=-3.2（不合題意，舍去）故后兩年造林面積的年平均增長率為20%。7．解方程解：8．已知三角形的三邊成等差數(shù)列，周長為36cm，面積為54cm2，求三邊的長。解：設(shè)三角形三邊的長分別為則依題意有由（1）得代入（2）得故此三角形的三邊長分別為9cm,12cm,15cm.9．（參考題）如圖，AP表示發(fā)動機(jī)的連桿，OA表示它的曲柄。當(dāng)A在圓上作圓周運(yùn)動時(shí)，P在x軸上作直線運(yùn)動，求P點(diǎn)的橫坐標(biāo)。為什么當(dāng)是直角時(shí)，是最大？ARαOBPX解：過A作AB⊥OP設(shè)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，則x=OP=OB+BP=因?yàn)椤螾隨連桿位置的變化而改變，但連桿上下擺動的幅度是一樣的，所以∠P的最大值是一樣的。故可以考慮內(nèi)∠P變化的情況，由正弦定理得在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，的值最大，因而的值也最大∵OA＜AP，∴∠P＜，即∠P總是銳角。在內(nèi)，是單調(diào)上升的，所以時(shí)，∠P最大。10．（加試題）求曲線在上的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋