數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)全總結(jié)空間向量

TOC\o"1-4"\h\z\u 空間向量的數(shù)量 要點(diǎn)五、用向量方法求空間距 空間向量的長度（模表示空間向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作|AB|或|a單位向量：1的空間向量，即|a|共線向量或平行向量．a(chǎn)平行于b記作①當(dāng)我們說向量a、b共線（ab）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是A1A2A2A3A3A4An1AnA1An即：A1A2A2A3A3A4 An1AnAnA10；定義：實(shí)數(shù)a的乘積a仍是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)＞0aa方向相同；當(dāng)＞0aa方向相反；當(dāng)=0a=0．結(jié)合律：(μa)=(μ)a．0＜1時(shí)，向量縮短；當(dāng)＞1時(shí)，向量伸長；當(dāng)＜0時(shí)，改為反方向的向量．量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b．a(chǎn)空間任意兩個(gè)向量a、b（b0），ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)a①a∥b（b≠0）存在唯一實(shí)數(shù)a②存在唯一實(shí)數(shù)ab（b≠0），則a∥b．注意:b≠0不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．如果兩個(gè)向量a,bp與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y），使pxayb．MPxMAyMB或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有OPOMxMAyMB【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.

即a·b=|a|·|b|cos〈a，b〉．②②abab0③|a|2aa或|a aaa④cosa,b

|a||b⑤⑤|ab||a||babac不能得出bc，即向量不能約分．a(chǎn)、b、c，有(abca(bc根據(jù)空間兩個(gè)向量數(shù)量積的定義：a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉，那么空間兩個(gè)向量a、b的夾角的余弦cosa,b 特別地，如果ab0a與b同向；如果aba與b反向；如果ab900a與b垂直，記作ab。a a表示所求向量，然后利用|a|2=a2來求解。若a,b 2ab?a·b＝0是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一，通?？梢耘c向量的運(yùn)算法則、有關(guān)運(yùn)算律聯(lián)

y、z，使p=xa+yb+zc．a(chǎn)、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是{p|p=xa+yb+zc，x、y、z∈R}a、b、c生成的，所以我們把{a、b、c}稱為空間的一個(gè)基底．a(chǎn)、b、c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可要點(diǎn)詮釋向量不共面，就隱含著它們都不是0；{ijk}在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,jk}，以點(diǎn)Oi,jk的方向坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn)Oijkzk ixai，j，ka=a1i+a2j+a3k，則有序在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，對于空間任一點(diǎn)A，對應(yīng)一個(gè)向 ，OAxiy ①ABOBOA(x2,y2,z2)(x1,y1,z1)(x2x1,y2y1,z2z1 (xx)2(xx)2(yy)2(zz a(a1a2a3b(b1b2b3，則 ①|(zhì)a aa a2a2a2， ②cosab a (a0,b0)|a||b a2a2a2b2b2b ab|a||b|cosabcosab a|a||b|

AC,BDAC,DBCA,BDCA,DB①a//babx1x2，y1y2，z1z2(R)x1y1z1(xyz22②abab0x1x2y1y2z1z2

A、B是直線lAB為直線lAB平行的任意非零向量也是直線l的方向向量。平面的法向量定義已知平面，直線l，取l的方向向量a，有a，則稱為a為平面的法向nal1l2的方向向量分別是abl1l2ab，即akb(kR)①設(shè)直線l的方向向量是a，平面u，則要證明l//，只需證明au，即au0。設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為ab，則要證明l1l2，只需證明ab，即ab0①設(shè)直線l的方向向量是a，平面的向量是u，則要證明l，只需證明au則cos 設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為a與u的角為，則有sin|cos

。|a||unn分別為面nnarccosn1

||n2則二面角的平面角AEBn1n2或n1n2，即二面角等于它的兩個(gè)面的法向的夾角n1n2的大