幾類不同增長的函數(shù)模型

3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型第1課時(shí)（1）利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長差異；（2）讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；（3）學(xué)會(huì)分析問題、認(rèn)識(shí)問題、和創(chuàng)造性的解決問題；(4)有意識(shí)的培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高自身的語言表達(dá)能力.復(fù)習(xí)回顧1、一次函數(shù)2、二次函數(shù)3、指數(shù)函數(shù)4、對(duì)數(shù)函數(shù)5、冪函數(shù)6、分段函數(shù)常見的幾種函數(shù)模型例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。請(qǐng)問，你會(huì)選擇哪種投資方案呢？思考投資方案選擇原則：投入資金相同，回報(bào)量多者為優(yōu)

比較三種方案每天回報(bào)量(2)比較三種方案一段時(shí)間內(nèi)的累計(jì)回報(bào)量

哪個(gè)方案在某段時(shí)間內(nèi)的累計(jì)回報(bào)量最多，我們就在那段時(shí)間選擇該方案。分析

我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。解：設(shè)第x天所得回報(bào)為y元，則方案一：每天回報(bào)40元；

y=40(x∈N*)方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回 報(bào)10元；

y=10x(x∈N*)方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。

y=0.4×2x-1(x∈N*)x/天方案一方案二方案三y/元增長量/元y/元增長量/元y/元增長量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4分析回報(bào)增長情況表：有人認(rèn)為投資1~4天選擇方案一；5~8天選擇方案二；9天以后選擇方案三？圖112-1從每天的回報(bào)量來看：第1~4天，方案一最多;每5~8天，方案二最多;第9天以后，方案三最多；三個(gè)函數(shù)的圖象：累計(jì)回報(bào)數(shù)：81940920410250.8251262.81.20.4三660550450360280210150100603010二4404003603202802402001601208040一1110987654321

天數(shù)回報(bào)/元方案327616389107805204801312方案一方案二方案三

三種方案的累計(jì)回報(bào)表

投資1~6天，應(yīng)選擇方案一；投資7天，應(yīng)選方案一或方案二；投資8~10天，應(yīng)選方案二；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。2、在本例中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？3、根據(jù)此例的數(shù)據(jù)，你對(duì)三種方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長差異有什么認(rèn)識(shí)？借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)圖象，并通

過圖象描述一下三種方案的特點(diǎn).1、課本把兩種回報(bào)數(shù)都列表給出的意義何在？反思：例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)且獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%，現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：，，，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？（1）獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元（2）獎(jiǎng)金不超過利潤的25%分析：選擇的模型需要滿足的要求如下：40060080010001200200

1

2

3

45678Xyoy=5y=0.25x解：借助于計(jì)算機(jī)先作出y=0.25x,

的圖像首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬對(duì)于模型,在區(qū)間[10,1000]上遞增，令0.25x=5，可得x=20,因此當(dāng)x>20時(shí)，y>5，所以該模型不符合要求；對(duì)于模型,根據(jù)圖像令y=5，利用計(jì)算器可知在區(qū)間（805，806）內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)滿足，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，故當(dāng)時(shí)，y>5,所以該模型也不符合要求。(1)、由函數(shù)圖象可以看出，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=1000時(shí)，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合資金不超過5萬元的要求。模型y=log7x+1(2)、再計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，資金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有成立。令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即

log7x+1<0.25x所以，當(dāng)x∈[10,1000]，反思：①此例涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例實(shí)質(zhì)如何？

②根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，如何判定所給的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合公司要求？

思考從上面的兩個(gè)例子中可以看到，這三類函數(shù)的增長是有差異的，那么，這種差異的具體情況到底怎么樣呢？12345678y1y2y3011.5822.322.582.813觀察：在圖像上分別標(biāo)出使不等式

成立的自變量大

的取值范圍？說明增長差異？

結(jié)論1：一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會(huì)小xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有ax>xn.結(jié)論2：一般地，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，隨著x的增大，logax增大得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax<xn.綜上所述：(1)、在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)。(2)、隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長速度越來越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長速度。(3)、隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長速度越來越慢，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xn(n>0)的增長